Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

80 Г л. VI. Арифметические функции и целые точки

Объединяя	первую	формулу	обращения		Мёбиуса
и теорему 18,	получаем
	A (n)=^(x(d) l o g y ,
		d\n
и так как по теореме 15		V]p(d) = 0	при	1	и log 1 = 0,
то отсюда следует, что		d\n
то отсюда следует, что
	Л ( « ) = — £ р, (d) log d.				(9)
		din			Мёбиуса).
Теорема 19 (вторая формула обращения					Мёбиуса).
Пусть функция f определена при х ^ 1 и

		* w = 2		/(f)-
			п < х
Тогда при х ^		1
		/ ( * ) = £
		п < х
и обратно.						м .
						м .
Сумма £		интерпретируется как				,	а сумма, не со-
п < х					П= 1
держащая членов, полагается равной нулю.
Доказательство. Из определения функции g								мы име
ем при	1
£ Iх (" ) в ( — ) = 2 И -И 2			f	X	=	v	\x,(n)f X
£ Iх (" ) в ( — ) = 2 И -И 2			f	mn		m,n		mn
						m,n
						1 < m n < x
Группируя	в	последней	сумме		члены,		для	которых
тп = т, 1		получаем
2	\|*w (ir)=				л\|л		=
m,n		1<Г'.л			л\|л

1 m n < х

Итак, первая часть теоремы доказана.

§ 6. Функция Эйлера <р(п)

Чтобы доказать обратное утверждение, положим при

х5>1
	f№ = 2 **(«)£ (-7	) '
	п < х
Тогда
£?(\ -т )]	= ^2 ^£i<»>Br)=\ тп }	“S Mn)g(\ тп--)/
т < х	т < х х	т ,п
		1 < т п < х

и так же, как выше, последняя сумма может быть за писана в виде

£ g (-f -) = £(*)•

п)г

§6. Функция Эйлера ср(п). Вернемся к функции Эй лера ф. Мы знаем, что ср (п )сп при n > 1. С другой сто

роны,	если	п = р т,		где		р — простое число,		р > 1/е,
0 < е < 1 , и			1, то [см. гл. И]
		ф (п) — п ^1----- ^					> п (1 — в).
Из этих неравенств следует
Теорема 20.			lim ф ^		=	1.
			П-*-оо П
Другой результат о порядке роста ф(п) дает
Теорема 21,			Для каждого б > 0 мы имеем
			ф ( п )	->оо		при П->оо.
Доказательство. Результат очевиден, если								б > 1 -
Пусть 6 ^ 1		и
			/(«)			п1- 6
			/(«)		= -		-----.
						Ф (п)
Тогда /	мультипликативна,					и в силу теоремы 6 достаточ-

6—870

82	Г л. VI. Арифметические функции и целые точки
но показать, что f (pm)->0					при р		-оо. В самом деле, для
каждого 8 > 0		мы имеем
	1	<р(рт)		т б ! - - ) >				у Р '	т б	■ ОО
	f (Рт)	рт(1_6) — Р		т б ! - - ) >				у Р '		■ ОО
	f (Рт)	рт(1_6) — Р					Р /	2
при рт-+-оо.
	Из теоремы 20 или теоремы 21 следует,								что утверж
дение ф (п) = О(яА) неверно, если А<								1.
	Порядок роста ф(я) в среднем. Изучим поведение
сумматорной функции для функции ф, а именно
			ф (/)=		£ ф(я).
					l<n<i
Заметим, что значение Ф(Ы)						равно числу			членов в по
следовательности Фарея порядка N.
	Теорема 22	(Мертенс). Ф (t) =					Q/2
	Теорема 22	(Мертенс). Ф (t) =					------- \|-O (flog0-
							я2
	Доказательство.		Мы имеем
	Ф (0 =		2		2	1	= 2	1 .
			( т , п ) = 1				( т ,п ) = 1
и,	следовательно, Ф (/) равна числу целых точек с вза

имно простыми координатами, которые лежат в прямо угольном треугольнике O c y ^ x ^ i .

Рассмотрим квадрат 0 < х = О , 0 < .y ^ t . Прямая х = у делит этот квадрат на два прямоугольных треугольника, каждый из которых содержит одно и то же число целых точек с взаимно простыми координатами. Один из этих треугольников является данным треугольником 0

Заметим, что на прямой х = у лежит единствен ная точка х = у = 1 с взаимно простыми координатами.

Обозначим через W(i) число целых точек с взаимно простыми координатами в упомянутом выше квадрате. Тогда

¥ ( 0 = 2 Ф (0 — 1,

(10)

		§ 6. Функция Эйлера <р(п)					83
так как точка х — у = 1			содержится			в обоих	треуголь
никах.	число	целых		точек в		квадрате	0 C x ^ .t,
Общее	число	целых		точек в		квадрате	0 C x ^ .t,
О< y ^ t равно [Т]2, так что
		Ш2 =		2	1.
				0 < m < f
				0<л<*
Отсюда мы получаем
		м 2 =		2	2	1-	( п )
			l < d < t		О< m < t
					О< л<<
				(m,n)=d
Далее,	(т ,	я) = d	тогда		и только тогда, когда
(mid, n/d) =	1. Следовательно,				существует взаимно одно

значное соответствие между целыми точками с координа тами т, п, где 0 < m ^ t , 0 < ns^ t, (т, n ) = d , и парами целых чисел т', п', такими, что

d d

Но по определению Чг имеется в точности Wit/d) та ких пар т', п'. Таким образом, равенство (11) может быть переписано в виде

[/12= 2 ¥ (т )’	(12)
1 <d<t

и, применяя к равенству (12) вторую формулу обраще

ния Мёбиуса, мы получаем при		1
^ ( 9 =	2
	1 < d < t
Пусть i/d=[t/d]-{-Q, где О ^ 0 < 1 . Тогда
4 4 0 = £ \| .№ { ^ - + о а ) ) г =
=' ■ £	+*•<>(	£ i ) + ° (	£ >)•
1<d<t		1<d<t	1 <d<t

84 Г л. VI. Арифметические функции и целые точки

так как |ц (п )|^1. В силу следствия 1 теоремы 7 мы знаем,что

2 ( .° {		Yi y )	=	2f.o(log* + Y +				o ( - f ) ) = 0 ( * l o g Q
	1 < d < t
и 0 (	%	l ) = 0 ( t ) . Следовательно,
	1 < d <
			=		У	»Ш. +		0(Поё 1).		(13)
					^	а2
					1 <d<t
Чтобы оценить сумму в формуле (13), заметим, что
		у	ц (d) _		у ц (d )			у	ц (d)
			d 2		^	d 2	4=[<1+1		d 2
		1<d«			d—l		4=[<1+1
		oo		oo		oo		_1_
							du	_1_
	m+i			m+i			u2	Щ
	m+i			m+i		m
Тогда из (13) следует, что
		^ ( 0 = '2Х ^					+ ° ( ^ 0 -			0 4)
					“	а*
					d=l
Ряд	У	можно вычислить следующим образом.								По-
	d=1	d2
	d=1
скольку оба ряда				Ц п -2 И		X ц(т)пг-2 сходятся абсо-
			л=1			т—1
лютно, то, перемножив их, мы получим
			оо		оо			оо
			У		у ц (т) = у _^у
			V J_		V И"0			V
			^	п2	' ^	т 2		^	’
			л—1		т —1		v = l

где

cv = S u (* ). ft|v

Но Ц п~2 = п2/6 и Ci = 1, сп= 0 при n > 1 по теореме 15.

§ 6. Функция Эйлера ф(п)

Следовательно,

п = 1	п = 1
и, подставляя это значение в (14), мы получим
4 4 0 =	-^ - + О(/log /).
	71*
Отсюда и из (10) следует, что
Ф ( 0 = ~ + О ( * 1 ° 8 0 .		П5)
	nz

как и утверждалось.

Соотношение между ср и о. Интересно отметить, что из результатов о поведении функции ср следуют резуль таты о поведении функции о, и наоборот. Это вытекает из следующей теоремы:

Теорема 23. Существует положительная константа С,

такая, что

С < ст ^	ф ^ < 1	при всех п >		2.	(16)
	п2
Доказательство.	Пусть	п =	р“ .	Тогда,	изменив
			р\п

очевидным образом обозначения, мы имеем, согласно (7),

	ра+1 — 1 '					1 — р—а—1
о(п) = П		Р —	- п				1 — р
p in				Pin
Поскольку			п п	-
Ф («) =			п п	-	— ) .
			Pin
мы имеем
а (п) ф (и)		П(*		па+1			< 1.
		П(*		па+1

р\п

86	Г л. VI. Арифметические функции и целые точки

Тем самым доказано второе неравенство в (16).

С другой стороны,

причем 1 — 1/р2< 1 и произведение в правой части рас пространяется на все простые числа р. Тем самым дока зано и первое неравенство в (16).

ГЛАВА VII

ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА

ОРАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

§1. Функции Чебышева. В гл. I мы установили, что существует бесконечно много простых чисел. Следова тельно, если мы обозначим через я (х) количество про

стых чисел, не превосходящих х, то л (д :)-» -о о при х -э-о о . Асимптотический закон распределения простых чисел, ко

торый мы докажем в гл. XI,	даст	нам много больше,
а именно
Нш п(х)	= 1 .
Х-*-°° x/logx

В этой главе мы докажем несколько интересных проме жуточных результатов. Начнем с результата Эйлера

о том, что сумма J ]l\р, где суммирование распространя

ется на все простые числа, расходится, откуда следует, что простых чисел бесконечно много.

Теорема 1 (Эйлер). Пусть р пробегает множество

всех простых чисел. Тогда сумма У,11р и произведение

П (1 — 1/р )-1 расходятся.

Доказательство. Докажем сначала, что произведе ние П (1— 11р)~храсходится, и выведем отсюда утвержде

ние о расходимости ряда 2 1/Р- Пусть

	5 ( х ) = £ у > * > 2 .
р<х	р<X

Для действительного числа и, 0 < м < 1 , и положитель ного целого m мы имеем

__ 1 _ ^	1 - -Um+1	и Ч-------1- и т.
1 — и	+	и Ч-------1- и т.
1 — и	1 — и

Положим и —1/р, где р — простое число. Тогда из по следнего неравенства следует, что для всех простых

88	Г л. VII. Теорема Чебышева

Р ( * ) > Щ +

р<х

Выберем теперь т так, чтобы выполнялось неравенство 2т^ х . Тогда

	П(' +	м
	П(' +	п—1
	р<х	п—1

Действительно, каждое целое число п, 1 < и ^ [ х ] , име ет в качестве простых сомножителей только простые чис ла р ^ х , а неравенство 2т^ х гарантирует, что после разложения левой части последнего неравенства в сум му каждое слагаемое правой части встретится среди слагаемых левой части. Таким образом,

w	М+1
^ (*) > S ~ >	[ ~ > 1оё *
п=1	i

и, следовательно, произведение П (1— 1/р)-1 расходится.

Чтобы доказать ра одимость ряда^]1/р, рассмотрим

разложение

Ч п Ы = “+ “2' + Т + • "■

Для 0 мы имеем

l°g

— « < у («а + «3 + «4 “I

)•

Геометрический ряд в правой части последнего неравен ства сходится при |и |< 1, так что

log (т~^~] — » <	,	. f 1 . » 0 < « < 1 .
Т — и)	2(1 — и)
Положим теперь и=\/р	и	просуммируем неравенства

log ( — — ) ---- — <	----- ------
e U — Upl Р	2р (р — 1)
по всем р ^ х . Мы получим
logP(x) — S(x) < -L V ___ L _ < _ L У ___L		1)
2 ^ 4Р(Р- 1)	2 ^ п ( п -	1)
р<х	П—2

§ 1. Функции Чебышева	89
так что
S ( x )> \ogP{x) — Y > l o g l o g *	— у .

Следовательно, ряд У]1/р расходится, и теорема 1 полно

стью доказана.		Функции Чебышева ■&и ф определя
Функции ^ и		Функции Чебышева ■&и ф определя
ются следующим образом:
	0 (*) = S lo g P , х >		0, р—простое число,	(1)
	р < Х
И			log р, х > 0 .
		ф (*) = S	log р, х > 0 .	(2)
		рт<х
Сумма	(2) распространяется на все пары р, т, где р —
простое, а т — положительные целые числа, такие,				что
рт^.х.	Это означает, что		если рт— наибольшая	сте

пень р, не превосходящая х, то log р в сумме (2) засчи тывается точно т раз. Например,

ф(10) = 3 log 2 + 2 log 3+ lo g 5+ lo g 7.
В § 5 гл. VI мы ввели функцию Мангольдта
flog р,	если п = рт, где т— положительное целое
А (п) =	если п =j= рт.		число,
I 0,
Из определения ф непосредственно следует, что
	ф (х) = У] А (п).		(3 )
	П < Х
Далее, из (1) и (2) вытекает, что		Равно произведе
нию всех простых р ^ х и при х~^ \ е’^ е с т ь			наименьшее
общее кратное всех положительных		целых	чисел =S+.

Если рт^.х, то р ^ .х 1/т , и обратно. Тогда из (2)		следует,
что
Ф « = о (X) + fl (х1/2) + # ( х 1/3) + ...,		(4)
причем этот ряд конечен, так как ■0{х) = 0	для х < 2 . Ес
ли рт^.х<срт+1, х~^\, то logp в формуле	(3)	для ф(х)

встречается точно т раз и т = [log лг/log р] . Следователь

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ