книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел
.pdf60 Г л. V. Квадратичный закон взаимности
Тогда из (20) и (2) |
следует, что |
|
|
яг , |
я г ,, |
1— g ( — n,m), |
|
= е 4 |
(п — 1) |
- г (1—ш п ) |
|
п > |
|
|
Ут |
и, снова используя |
(2 0 ), |
мы получаем |
J l i (. л —
— e 4
р *1
Но, согласно (21),
—n
m |
- ) |
( - ) |
m |
\tn |
, . |
3 t t . . |
. |
— |
JT t . |
|
|
|
1) |
-j - (1— m n) |
|
( m— 1) / _ n |
) . |
|||
e 4 |
|
e |
4 |
|
'(— |
||
|
|
|
|
|
|
\ tn |
1 |
|
|
m—1 |
, |
|
‘Ш |
|
|
|
|
|
|
|
= |
— (m—1 ) / n |
|
= |
( - ! ) “ |
|
- |
P 4 |
|
||
|
|
|
|
\ m |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
= |
|
!) (. M = (_ |
1}V •V |
Ij l |
n |
|
m ) |
' |
\ m |
ti \^ |
, то |
|
|
|
и так как |— |
— 1 |
|
|
|
m I |
|
n—1 |
m—1 |
|
|
|
|
||
|
.£ L jp L j = ( _ l)^ |
2 ~ . |
|
Тем самым доказательство теоремы 1 завершено.
§ 4. Некоторые приложения. Теорема 1 касалась ве
личины > гДе Р и Я — различные нечетные простые
числа. Для того чтобы определить, будет ли данное чет ное число квадратичным вычетом или невычетом по мо дулю нечетного простого числа, мы должны научиться
вычислять символ Лежандра |
|
j •Это можно сделать, |
||||
используя формулы (2 ) и (2 0 ). |
|
|
|
|
||
Теорема 3. Если р — нечетное простое число, то |
|
|||||
|
|
(Р2—1)/8 |
|
(22) |
||
|
= ( - 1 ) |
|
|
|||
Другими словами, |
|
|
|
|
|
|
2 \ __ | + 1 |
1 если |
р = |
+ |
1 (mod 8 ), |
(23) |
|
р ) 1 — 1 |
, если |
p s |
± |
3(mod8), |
||
|
|
|
|
§ 4. Некоторые приложения |
|
61 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Согласно формуле (20), мы имеем |
|
||||||||
|
|
/ 2 \ |
1 |
— «Р-1) |
, |
|
|
||
|
|
i t |
) |
|
4 |
g(2,p ) |
|
|
|
|
|
V p |
е |
|
|
|
|
||
и в силу формулы (2 |
) |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
g(2,p) = e4 |
° |
2р) ——l g { — р,2). |
|
|
|||
|
V р |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Г 2 |
|
|
|
|
Далее, |
из определения g{m , |
п) следует, что |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
тир |
|
|
|
|
|
|
g ( — P, 2 ) = 1 + е 2 . |
|
|
|
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ыр |
|
nip |
|
nip |
nip |
р*—1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
, в_ ~ + |
«'т |
|
||||
- ) = - -------( 1 + |
е 2 |
) |
( - 1) |
|
|||||
Р I |
] / 2 \ |
|
|
/ |
I/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислим, используя теоремы 1 и 3,
/ 12703 ,
I 16361 Г
Здесь оба числа 12703 и 16361 простые. По теореме 1
мы имеем
|
|
|
|
/ 12703 |
\ |
_ |
|
/ 16361 |
\ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
[16361 |
/ |
~ |
|
\12703 |
/' |
|
|
|
|
||
и так как 16361 = 3 6 5 8 (mod 12703), то |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
/ 16361 |
|
\ |
_ |
/ |
3658 |
\ |
|
|
|
||
|
|
|
|
\12703 |
/ |
_ |
\12703 |
у' |
|
|
|
||||
Далее, |
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
, |
то, согласно |
|||
теоремам |
3 и 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ 3658 |
\ |
__ |
/ __2___ \ |
/ 31 |
\ / |
|
59 |
\ |
_ / |
|
31 |
\ |
/ |
59 |
|
\ 12703 |
/ |
_ |
\ 12703 / |
\ 12703 |
/\ 12703 / |
\ 12703 |
/ |
1,12703 |
- { - т м - т ) = ( - 1г)(тт)
62 |
Гл. V. Квадратичный закон взаимности |
|
|
|
|
|
|||
Наконец, ввиду того что |
2 2 _ |
2 |
1 |
и |
/ |
3 2 |
= |
1 , |
|
31 |
31 |
1 |
|
— |
|||||
мы получаем |
|
|
|
59 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 . |
|
Замечание. Как мы видели в гл. IV, если р — нечет- |
||||||||
ное |
простое число, то |
/ m \ |
/ т' |
\ |
всех |
целых |
|||
j = |
(— |
для |
т'= т ( mod р).
Сдругой стороны, из теоремы 3 мы знаем, что
имеет одно и то же значение для всех простых р, при надлежащих арифметическим прогрессиям 8 /п± 1 или
8от±3.
Теорема 1 может быть использована для доказатель ства более общего результата: если q — фиксированное нечетное простое число, то
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
где р' такое простое, |
что p'=p{m odA q) |
|
|||||
Действительно, |
так |
как |
p'==/?(mod 4q) , |
то р '= |
|||
s=p(mod 4) |
и тогда |
~^-(р'— 1 ) = |
1) (mod 2). По |
||||
теореме 1 |
мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
р'—1 9—1 |
Р—1 |
q- |
|
|||
) = ( - ! ) 2 |
‘ 2 |
= ( — 1 ) 2 |
~ |
|
|||
Далее, так как р '= р (mod 4q), |
то p's=p(mod q), откуда |
||||||
~ |
■ Таким |
|
образом, |
|
и |
тем са |
|
мым равенство (24) |
доказано. |
|
|
|
ГЛАВА VI
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ
§1 . Общие замечания. Напомним, что арифметиче
ская функция — это комплекснозначная функция, опреде ленная на множестве положительных целых чисел. Мно гие из арифметических функций, которые будут нами рассмотрены, являются целозначными.
Арифметическая функция f называется мультиплика тивной, если (i) f не равняется тождественно нулю и
(ii) f ( m n ) = f ( m ) - f ( n ) |
при (т, п) — 1. Условие (i) можно |
сформулировать иначе, |
а именно / ( 1 ) = 1 . |
В качестве примера такой функции можно привести функцию Эйлера ф, введенную в гл. II. Мы показали, что она мультипликативна и что ф (ра) = р а (1 — Up) для любого простого р и положительного целого числа а.
Многие арифметические функции ведут себя крайне нерегулярно, и поэтому часто более интересным пред ставляется изучение сумматорной функции арифметиче ской функции /, а именно
т = х ; / и ,
л* 1
а не самой функции f(n) .
Некоторые из рассматриваемых нами арифметических функций имеют простую геометрическую интерпретацию. С их помощью можно подсчитать число целых точек в некоторых областях, т. е. число точек л-мерного евкли
дова |
пространства, л ^ 1 , имеющих целые координаты. |
§ |
2. Функция г(п). Арифметическая функция г(п) |
определяется как число представлений целого л^ 1 в ви
де суммы двух квадратов; другими словами, значение г(п) равно числу решений уравнения х2-\-у2= п в целых числах х и у. Решения, отличающиеся друг от друга зна ком или порядком, считаются различными. Так, г( 1) = 4
64 |
Г л. |
VI. Арифметические функции и целые точки |
ввиду того, |
что 1 = ( ± 1 ) 2+ 0 2 = 02+ ( ± 1 ) 2. Следователь |
|
но, г(п) не мультипликативна. |
||
Мы |
видели в теореме 7 гл. IV, что г(/г)= 0, если |
п — простое число вида 4 6 + 3 . С другой стороны, из тео ремы 6 гл. III следует, что таких простых бесконечно много. Таким образом, г ( п ) = 0 для бесконечного мно жества значений п, и так как г(п) ^ 0 , то
lim г(п) = 0 .
Л-+оо |
|
|
Можно оценить порядок роста |
г(п) и доказать, |
что |
г ( п ) = 0 ( п е) для любого е > 0 , т. |
е. \г(п)\п~г<сК, |
где |
К — положительная постоянная, не зависящая от п. |
Од |
нако более интересным представляется изучение (не сколько измененной) сумматорной функции
N
R(N) = £ r(n), r(0) = l,
n = J
Геометрически R(N) представляет собой число целых точек внутри и на границе круга x2-\-y2^.N. Ясно, что величина R{N) приближенно равна площади этого круга.
Теорема 1. (Гаусс). R(N) = я М + 0 (1 N).
Доказательство. Целые точки на плоскости являются вершинами квадратов единичной площади. Каждой точ ке с целыми координатами, лежащей внутри или на гра нице круга x2-\-y2^.N, мы можем поставить в соответст вие некоторый такой квадрат, взяв, например, за ука занную точку его «юго-западный» угол. Тогда R(N) будет равно сумме площадей этих квадратов.
Некоторые из квадратов не полностью лежат внутри круга; с другой стороны, некоторая часть круга не по
крывается |
этими квадратами (рис. 2). |
|
Однако, так как диагональ каждого квадрата равна |
||
V 2, все |
квадраты |
содержатся внутри круга х2-\-у2^. |
( У N + |
V"2 ) 2, так |
что |
R (N) < я [У Н Н 1 /2 )2.
§ 2, Функция d(n) |
65 |
Подобным же образом эти квадраты полностью по крывают меньший круг радиуса V N — У 2, так что
R (N) > я ( V~N — ]/2 ) г, |
2. |
Таким |
образом, |
|
|
|
n{N — 2 \'ГШ ф 2) < |
R (N) < я (tf |
2 КЙУ -|- 2) |
||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
R(N) = |
n |
N 0 { УЮ- |
|
§ 3. |
Функция d(n). |
Арифметическая |
функция d(n) |
определяется как число положительных делителей поло жительного целого числа п.
Теорема 2. Функция d(n) мультипликативна.
Доказательство. Очевидно, rf(l) = l, и если (m, п) = = 1, то каждый делитель произведения тп может быть единственным образом представлен в виде произведения Делителя т и делителя п. Обратно, каждое такое про-
5 -8 7 0
66 Г л. VI. Арифметические функции и целые точки
изведение является делителем произведения тп. Следо вательно, d(m n)— d(m)d(ri).
|
Г |
|
|
|
|
Теорема 3. Если |
п — П pat — каноническое разло- |
||||
|
i=1 |
‘ |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
жение числа я >» 1, то d{n) = |
П (cti+ l). |
|
|
||
|
|
г=1 |
|
|
|
Доказательство. Поскольку d(n) мультипликативна, |
|||||
мы имеем |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(n) = П d (pf( ). |
|
|
|
||
|
г=i |
|
|
|
|
Но положительными делителями |
числа |
/?“* |
являются |
||
только a j+ 1 целых |
чисел 1, р., |
р\, .... |
р |
Следова |
|
тельно, |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(n) = П (аг + |
1). |
|
|
||
|
i=i |
|
|
|
|
Функция d(n) также допускает геометрическую ин терпретацию. Число положительных делителей числа п равно числу решений уравнения ху = п в положительных целых числах х, у. Следовательно, d{n) равна числу це лых точек (х, у) «верхнего правого квадранта» (х, у)- плоскости, которые лежат на гиперболе х у = п .
Порядок роста d(n). Из теоремы 3 следует, что d(n) может принимать сколь угодно большие значения. С другой стороны, d ( n ) = 2, если п простое. Следова тельно,
lim d(n) - 2.
П-*-оо
Теорема 4. Для каждого А > 0 существует последова тельность целых чисел яг-, для которых
<Цгц)
(log п д А |
00 |
0 ) |
|
||
|
|
при I—>-оо.
§ 3. Функция d(n) |
67 |
Доказательство. Определим целое число k следую щим образом: &=^Д<;&-{-1, если Д > 0 . Пусть ph+i будет (£+ 1)-м простым числом, и пусть
п = (2-3-5.../?й+])"\
где т — положительное целое число. По теореме 3 мы имеем
d(n) = (m-\-\)h+1> m h+l.
Но
m*+1 = |
_____ log» |
*+1 |
c (log n |
k+i |
log (2 - 3 - 5 .. .Pk-\.\) |
> |
(2) |
где константа с не зависит от п.
Положив т = 1, 2, 3, ..., мы получим бесконечную по
следовательность положительных целых чисел п, для ко торых
d(n) > c (lo g n)h+l,
и, обозначив й+1 = |
Д +б |
(б > 0 ), мы будем иметь для |
|
этой последовательности |
|
|
|
> |
с (log n f |
-> оо при п->оо, |
|
(log »)Л |
ё |
' |
* |
Тем самым теорема доказана.
С другой стороны, справедлива
Теорема 5. d (n )— o(n6) для любого 6 > 0 .
Другими словами, d(n)/n6-+-0 при «-> оо. Для доказа тельства этой теоремы нам потребуется следующее ут верждение:
Теорема 6. Если f — мультипликативная арифмети ческая функция и
f(pm)->0 при рт->оо,
где р — простое число и m — положительное целое (т. е.
0, когда п пробегает множество степеней простых чисел), то f(n)-y0 при п-+оо.
5*
68 |
|
Г л. VI. Арифметические функции и целые точки |
|
|||||
Доказательство. Так как f(p,n)->-0 при рт->оо, то f |
||||||||
удовлетворяет следующим |
условиям: |
константа А, |
|
|||||
(i) |
|
существует положительная |
така |
|||||
что |
|
|
\f(pm)\ < A |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
для всех т и р ; |
|
|
|
|
|
|
||
(ii) |
существует константа В, такая, что если рт > В , |
|||||||
то |f(pm) |< 1 ; |
|
|
|
|
|
что |
||
(iii) |
для данного е > 0 существует такое N(e), |
|||||||
если pm> |
А^(е),то |
|f(pm)| < e . |
|
|
а N (е) зави |
|||
Ясно, |
что А я В не зависят от е, m и р, |
|||||||
сит лишь от е. |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
|
а, |
„се» |
os |
|
|
/о\ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
П — pi |
' Р'2г- ■■Рг г |
|
|
(3) |
|
— каноническое разложение |
числа п > 1. |
Поскольку f |
||||||
мультипликативна, |
мы имеем |
|
|
|
|
|||
|
|
f(n) = |
f{p V )-f(p f)...f{p > ). |
|
(4) |
|||
Рассмотрим все степени простых р“, |
и пусть С — чис |
ло таких степеней, которые не превосходят В. Тогда С не зависит от п и е. Для множителей f(p“f ) в разложе нии (4), соответствующих этим степеням, мы можем применить неравенство (i); следовательно, их произве дение по абсолютной величине будет меньше чем Ас. Ос тавшиеся множители f(n) в силу (ii) по абсолютной ве личине меньше 1.
Далее, имеется только конечное множество целых чи сел вида р“ , которые не превосходят N (е). Следователь но, существует только конечное число целых, канониче ское разложение которых состоит только из множителей
вида р“, где p“ ^ iV (e). Пусть Р(е) — верхняя граница таких целых чисел.
Если мы возьмем п > Р (е ), то каноническое разложе ние числа п должно содержать по меньшей мере один
сомножитель ра > Я ( е ) и мы можем применить тогда неравенство (iii), а именно |/(ра)| < е .
|
|
§ 3. Функция d(n) |
|
69 |
||||
Следовательно, |
если п > Р (е ), |
то мы имеем |
||||||
так что f(n)-+0 при п-^-оо. |
|
|
|
6 |
||||
Доказательство |
теоремы 5. |
Функция f(n )= d (n )/ti |
||||||
мультипликативна и |
|
|
|
|
|
|
||
, . |
т+ |
1 / |
2 т ____2_ |
log Рт |
|
|||
1 \ Р )— |
|
рт6 |
ртб |
|
рт6 |
jQgр |
|
|
Так как logp^log2, то отсюда для каждого б > 0 |
||||||||
Следовательно, по теореме 6 |
|
ПРИ РМ >0° ' |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
d i^~ -> 0 при п |
оо |
|
|
||||
|
|
ri6 |
|
v |
|
|
|
|
Для каждого 6 > 0 ; |
тем самым теорема 5 доказана. |
|||||||
Можно показать, что для |
данного |
е > 0 |
существует |
|||||
такое число N(e), что |
|
|
|
log л |
|
|
||
|
|
|
|
О + е) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d (n )< 2 |
Ioglogn |
|
|
|||
при /г > N (е) и, кроме того, что существует |
бесконечно |
|||||||
много целых чисел п, для которых |
log л |
|
|
|||||
|
|
|
|
( 1- 8) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d (n )> 2 |
loglog л |
|
|
|||
Порядок роста d(n) |
в среднем. Рассмотрим сумма- |
|||||||
торную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(N) = Yld(n). |
|
|
|||
Так как d(n) =У] |
|
|
|
л = 1 |
|
|
|
|
1 = |
]У] |
1, мы имеем |
|
|
||||
t\n |
|
|
ху=п |
|
|
|
|
|
D (N )= У d(n)= |
S |
S |
|
|
||||
|
|
я = 1 |
\ < n < N х у = п |
|
|
|||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D (N) = |
S |
1. |
|
|
K x y < N