книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел
.pdfno Гл. VII. Теорема Чебышева
Объединив этот результат с теоремой 2, мы получаем утверждение теоремы 7.
Из |
теоремы 7 |
вытекает, |
что если предел функции |
|||||
гс ф — |
при |
х—>-оо |
существует, |
то этот предел должен |
||||
jc/log X |
|
|
|
|
|
|
|
|
быть равен |
1. |
|
|
|
|
|
||
§ |
5. |
Некоторые формулы Мертенса. |
|
|||||
Теорема 8. |
При х-+оо мы |
имеем |
|
|||||
у |
МО = |
log* + 0 (1 ), |
£ ! ° * £ . = iog* + o n ) . |
(41) |
||||
^ |
|
п |
|
|
|
“ |
р |
|
п<X |
|
|
|
X |
Р<Х |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
^ ^ - d t |
= log л: + 0(1), |
(42) |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
V |
- L ^ l o g l o g . f c + O f - ^ ) , |
(43, |
|||
р < х
где С — некоторая константа.
Доказательство. Мы используем слабую форму фор мулы Стирлинга, а именно
log(m\)— mlogm-\-0(m) |
(44) |
при m-у оо. Из теорем 2 и 3 мы знаем, |
что при m-у оо |
г|з(/п) = 0 ( т ) . |
(45) |
Далее, по лемме, полученной в ходе доказательства тео ремы 3, мы имеем
ml
р<т
или
log (ml) — £ [ 7 |
logp |
2 |
[т ]Л<">' |
(46) |
|
|
|
pr <т
где A(n) — функция Мангольдта [см. (3)],
§ 5. Некоторые формулы Мертенса |
111 |
Чтобы доказать (41), положим в формуле (46)
где 0гсСеп<1- Тогда, используя (45), мы имеем
log (m!) = ^ |
Л (я) + О (ш) |
п<m |
|
и, применяя (44), |
|
£ = log m + 0(1).
" п
п<ш
Заменяя теперь целое число m действительным перемен ным х, мы получаем первую из формул (41). Вторая фор мула следует из неравенства
п<X |
р<х |
р<X |
|
|
|
|
^ V |
[°g Р |
< 00. |
|
|
^ р (р -1 ) |
||
|
|
|
||
Используя (45), |
мы можем вывести из (41) |
формулу |
||
(42). Действительно, ф ( 0 = ^]Л (п), |
и тогда |
при х ^ \ |
||
X |
X |
n<t |
х |
|
|
|
|||
п<х |
п<х |
Наконец, формула (43) может быть выведена из (41), если использовать формулу суммирования Абеля. Пусть (Рп) — последовательность простых чисел, занумерован ных в порядке их возрастания, и пусть
А (х) = £ а „ , гДе ая = |
. |
|
Рп |
Рп <-Г
И
112 Гл. VII. Теорема Чебышева
|
В(х) |
= |
У Ьа, |
где |
Ьп = |
— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рп |
|
Тогда по теореме 6 мы имеем при х^ .2 |
|
|
||||||
|
В(х) = |
|
|
А (х) |
Г |
А (и) du |
|
|
|
|
log Рп |
log X |
I |
и (log и)2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
Р„<х |
|
|
|
|
||
Далее, в силу второй из формул (41) |
мы имеем А(х) = |
|||||||
= log x + B (x ), |
где |
\Е(х)\<,К для всех х ^ 2 |
при неко |
|||||
торой постоянной К. Следовательно, |
|
|
||||||
|
Е (х ) |
Г' |
du |
Е ( и ) |
|
|
||
( * ) = ! + |
log а: |
,] |
и logu |
и (log и)2 du = |
|
|||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
= 1 + |
7 ~ |
+ |
0 °g l°g x — loglog2) + |
du. |
||||
|
log* |
|
|
|
|
|
J «(lo g u )2 |
|
Так как | £ (x )| < /(, то интеграл
и тогда
Г Е (и) du
сходится,
.) и (logu)2
В (х) = log log х + (l — log log 2 + f -E..(u)d“ ) + E* (X),
\ |
u (log u)2 ! |
|
2 |
где |
|
E* (x) = E M __f E M du
log* |
,) и (logu)2 |
|
A |
так что при x^ .2 |
|
I E * ( x ) \ < - ^ ~ . |
|
|
log* |
Таким образом, формула (43) |
доказана. |
ГЛАВА VIII
ТЕОРЕМЫ ВЕЙЛЯ О РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
ИТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА
§1. Введение. Мы видели в гл. III, что для любого заданного иррационального числа £ найдется бесконечно
много |
рациональных чисел |
plq, таких, что |£—p/q |< |
<_l/q2. |
Из этого результата |
следует теорема Дирихле |
о том, что каждому иррациональному числу £ отвечает бесконечно много пар целых чисел р и q, таких, что q% отличается от р на сколь угодно малую величину. Дей
ствительно, для |
данного е, |
0 < е < 1 , |
рассмотрим целое |
число 1 -f- [ 1 /е ]. |
Поскольку существует бесконечно много |
||
рациональных |
чисел plq, |
таких, что |
|q\,— p\<.l/q, то |
существует бесконечно |
много дробей plq со знаменате |
лями (/^sl + n /e ], Для |
которых \q%—p \ < l/q < e . |
Теорему Дирихле можно обобщить следующим обра зом. Если заданы иррациональное число 0, произвольное действительное число а и положительные действитель ные числа N и е, то существуют целые числа п и р, та кие, что
n > N и |п0 — р — а| < е.
Если а = 0 , то этот результат сводится к упомянутой вы ше теореме Дирихле. Если 0 < а < 1 и е — сколь угодно малое положительное число, то последнее неравенство означает, что дробная часть п0, а именно {« 0 }= п 0 —
— [п0], сколь угодно близка к а. Другими словами, чис ла ({пд}), п = 1 ,2 ,3 , ..., всюду плотны в интервале [0, 1].
Это обобщение теоремы Дирихле является частным случаем глубокого результата Г. Вейля о равномерном распределении, который будет доказан в этой главе.
Для рассмотрения вопросов, связанных с дробными частями действительных чисел, введем новые понятия. Два действительных числа Х\ и х2 называются сравни мыми по модулю 1, если их разность является целым числом. Отношение сравнимости по модулю 1 будет, оче видно, отношением эквивалентности, которое разбивает все действительные числа на классы эквивалентности,
8—870
114 |
Г л. VIII. Теоремы Вейля и Кронекера |
состоящие из действительных чисел с одной и той же дробной частью. Отображение x-+e2nix индуцирует вза имно однозначное соответствие между этими классами эквивалентности и точками единичной окружности.
§ 2. Равномерное распределение в единичном интер вале. Пусть 5 — конечное множество действительных чи сел cti, иг, ..., а<э, содержащихся в интервале [О, 1), т. е.
а^ ^ Ч:•
Для любых действительных чисел а и Ь, таких, чтч через ср(а, b) обозначим количество чисел а, содержащихся в интервале [а, Ь), т. е. количество чи
сел ад для которых
a ^ a j C b , 1 ^ /^ Q .
Величина
D ■sup jI Ф (а , Ь) - (b—a) |
(1) |
Ia.b) I Q |
|
называется отклонением множества S. Ясно, что 0 < D ^ 5^1. Если мы обозначим интервал [а, Ь) через /, его длину через |/| и ф(а, Ь) обозначим через ф(/), то (1) запишется в виде
|
D — sup Ы Л _ 1/| |
(1)' |
|
Q |
|
Для бесконечной последовательности действительных |
||
чисел сбь « 2 , |
... из интервала [0, 1) через Dn обозначим |
|
отклонение |
первых п членов этой последовательности. |
|
Мы назовем последовательность (от,-) равномерно рас пределенной, если Dn->-0 при п->оо.
Пусть фп(а, & )= ф „(/) — число тех a,j, для которых
a^.a,j<.b при K /s g n . |
Из определения следует, что ес |
ли последовательность |
(аД равномерно распределена |
в интервале [0, 1), то |
|
п |
(2) |
|
при оо для каждой пары действительных чисел а п Ь, таких, что 0 ^ а < й ^ 1 . Справедливо и обратное утверж
§ 2. Равномерное распределение в единичном интервале |
Ц5 |
дение: если (2) выполняется для каждого такого интер вала [а, Ь), то последовательность (а3-) равномерно рас пределена.
Действительно, разобьем интервал [0, 1) на конечное число подинтервалов (Д ), каждый из которых имеет длину б, 0 < 6 < + Д л я любого данного интервала [с, d), где 0=е+<Д =^1, обозначим через г число интервалов Д длины б, лежащих внутри [с, d). Их общая длина равна гб, и мы имеем гб > (d—с )—26. Далее, если через г' мы обозначим число интервалов Д, пересекающихся с [с, d),
то r'6 < .(d —с )+ 26 .
Поскольку (2) выполняется для каждого интервала [а, Ь), то оно должно выполняться, в частности, для ин тервала Д длины б. Таким образом, для заданного е > 0 существует число Д (е), такое, что
б — е < |
< б + е |
п
для всех п > Д (е ) и всех k. Выберем е = б 2. Тогда мы по лучим
( 1 _ б ) б < 5 ^ < ( 1 + 6 ) 6
для всех п > Л // (б). |
Следовательно, |
|
гб(1 — б )< — |
£ |
< |
п |
“ |
п |
|
Ik(Z\c,d) |
|
|
|
< f S ф„ ( Д ) 0 '6 ( 1 + 6 ) |
для всех п > М '(б ), |
откуда |
|
((d _ с) - 26) (1 - |
б) < |
(e’ d), < ( ( d - c ) + 26) (1 +б). |
|
|
П |
Так как d— с ^ 1 , то для любого интервала [с, d )C [0 , 1)
Фя (с, d)
•(d — c) < 36 + 262,
116 |
Г л. VIII. Теоремы Вейля и Кронекера |
при n^>N'(6) и при 6, не зависящем от этого интервала. Таким образом, £>„-И) при п->-оо. Итак, доказана
Теорема 1. Бесконечная последовательность действи тельных чисел (щ ), t'= l, 2, ..., таких, что 0 ^ а , < 1 , рав номерно распределена тогда и только тогда, когда
п
при п-^-оо для каждой пары действительных чисел а и Ь, где Здесь <рп(а, Ь) есть число тех а,, кото рые удовлетворяют неравенству a ^ a j< b при 1 ^ /^ п .
Заметим, что равномерно распределенная последо вательность (о») всюду плотна в единичном интервале
[О, 1).
§ 3. Равномерное распределение по модулю 1. Беско нечная последовательность действительных чисел (сбг),
не обязательно содержащаяся в единичном интервале,
называется равномерно распределенной по модулю 1, ес ли соответствующая последовательность дробных частей ({« ,}) равномерно распределена в том смысле, как это было определено в § 2. Таким образом, если Dn есть от клонение, как и в § 2, первых п членов последовательно
сти ( { а ,}) , |
то Dn-*~0 при п >-оо. Мы покажем, что это |
||
условие имеет |
другую эквивалентную формулировку |
||
в терминах |
нового понятия — |
отклонения по модулю 1 . |
|
Пусть |
дано |
множество |
S действительных чисел |
ось 0 2 , .... aq, и пусть Т — это множество действительных
чисел (ой + 0 >гДе a t пробегает все целые чис ла. Для любой пары действительных чисел а и Ь, таких, что 6 > а , обозначим через ф*(а, Ь) число элементов
множества Т, содержащихся в интервале [а, Ь). Тогда
Ф* (<*+*, *+*)-Ф*(а, |
Ь) |
(3) |
|
для любого целого числа t. |
Далее, |
|
|
Ф*(а, Ь) =ср(а, Ь), |
если 0 ^ а < 6 ^ 1 , |
(4) |
|
где ф(а, Ь) определена для |
({o ft} ) , |
так |
же, как |
в § 2. |
|
|
|
§13. Равномерное распределение по модулю 1 |
117 |
Отклонением по модулю 1 множества S мы назовем величину
D* |
sup |
Г ± 1 » - ( Ь- а ) |
(5 ) |
|
О< b— a< 1 |
Q |
|
В последнем выражении а пробегает все действительные числа, но в силу (3) мы можем предполагать, что 0=^1
Если D — отклонение дробных частей чисел множест ва S, то из (1), (4) и (5) очевидным образом следует, что D ^ D *. С другой стороны, мы имеем D *^ 2D . Дейст
вительно, |
|
так как любой интервал [ |
а, Ь), где 0 ^ а < 1 |
и b— а ^ 1 |
, |
может быть представлен в |
виде объединения |
не более двух непересекающихся интервалов, каждый из
которых |
имеет вид [а', Ь'), где или |
или |
1 |
то |
|
Ф*(а, й ) = £ Ф*(a ',b '), b—а = £ |
(&'—а'), |
|
где каждая из сумм состоит не более чем из двух членов,
и тогда, согласно (1), |
(3) и (4), |
|
|
Ф* ( а, Ь) |
(Ь—а) |
ф* (а'.Ь') |
Ф '- а ') < 2 D. |
|
|
||
Следовательно, D *^ 2D .
Таким образом, для данного множества S действи тельных чисел (aj), l ^ / ^ Q , мы определили, во-первых, отклонение D множества их дробных частей ( { а 3}) и, во-вторых, отклонение D* множества S по модулю 1 и по казали, что
D ^ D *^ 2 D . |
(6) |
Пусть (оя) — бесконечная последовательность дейст вительных чисел, не обязательно содержащаяся в единич ном интервале. Обозначим через Dn отклонение первых п членов соответствующей последовательности дробных ча стей ( { a i } ) , а через D* — отклонение по модулю 1 первых
п членов этой последовательности. Из (6) следует, что если Dn-v 0 при /г->оо,то и £>*-»-0 при п~*~оо, и обратно.
Таким образом, нами доказана
118 |
Г л. VIII. Теоремы Вейля и Кронекера |
Теорема 2. Бесконечная последовательность действи тельных чисел (а,) равномерно распределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда ZT ->- 0 при п-+-оо, где D* —
отклонение по модулю 1 первых п членов этой последова
тельности.
§ 4. Теоремы Вейля.
Теорема 3. Пусть (а 3-) — бесконечная последователь ность действительных чисел, такая, что O ^ ccjC l при / = = 1, 2, ... . Для того чтобы последовательность (а,) бы
ла равномерно распределена, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось соотношение
П1
lim — Yi f (ан) = |
f fix) dx |
(7) |
h= 1 |
0 |
|
для любой интегрируемой no Риману на отрезке функции f.
Доказательство. Мы можем считать функцию f дей ствительнозначной — в противном случае можно отдель но рассмотреть ее действительную и мнимую части.
Достаточность условия (7) доказать нетрудно. Для
любого данного интервала |
[а, |
Ь), где 0 ^ а < Ь ^ 1 , возь |
|||
мем в качестве f характеристическую |
функцию |
[а, b): |
|||
/(х ) = 1 при |
и |
f ( x ) = 0 в противном |
случае. |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
± |
f f(ah) = |
2sL^Jl |
|
(8) |
|
п |
^ |
|
я |
|
|
1 |
|
(7) |
следует, |
что |
|
и 1 f ( x ) d x = b — a. Тогда из |
|
||||
|
H m 2 r.i f . - J ) д ъ — а , |
|
(9 ) |
||
|
п |
|
|
|
|
и, значит, по теореме 1 последовательность (ос,-) являет ся равномерно распределенной.
Обратно, если (aj) равномерно распределена, то име ет место соотношение (9), и тогда (7) выполняется для
§ 4. Теоремы Вейля |
119 |
характеристической функции f любого интервала |
[а, b), |
содержащегося в интервале [0, 1], а в силу линейности
(7) выполняется для любой ступенчатой функции на [О, 1]. Если функция f интегрируема по Риману на от
резке |
[0, 1], то для данного е > 0 можно найти две та |
||||
кие |
ступенчатые |
функции fi |
и /г, что |
и |
|
1 |
|
|
|
соотношение (7) |
выпол- |
(f2(x )—fi(x))dx<ie. Так как |
|||||
b |
|
|
|
|
|
няется для / ь то мы имеем |
|
|
|||
|
|
П |
1 |
1 |
|
|
lim— |
У, h (ah) = ( fx (х) dx^>\f {х) dx—e, |
|
||
|
Л - ~ П |
“ “ |
„I |
,) |
|
|
|
ft= 1 |
О |
О |
|
так что при достаточно большом п
П1
Y У h К ) > jf(x)dx — 2е.
ft=1 |
о |
Далее из неравенства |
для достаточно большого п |
следует, что |
|
П |
1 |
У f («/,) > |f(x)dx — 2е.
h = 1 |
О |
Аналогично, для достаточно большого п
п1
f K ) < j f(x)dx + 2е.
1 о
Таким образом, для достаточнобольших значений п мы имеем
П1
Уf ю — j f (х)dx < 2е,
h--=l |
О |
и этим соотношение (7) доказано для каждой интегри руемой по Риману на отрезке [0, 1] функции.
Теорема 4. Пусть (Pj) — бесконечная последователь ность действительных чисел, не обязательно содержа