книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел
.pdf170 Гл. XI. Асимптотический закон
—2X^.t^2X при е-Л). Далее,
Нш |
е~вх sinП (у — *) d x = I' s in n (у —х) ^ |
|
е-»-0 |
% (у-ху |
Х (у -х)2 |
и,следовательно, предел |
|
|
|
Нш ГB ( x ) e - * x Sin2X(y- x ) dx |
|
|
е-*0 О |
Х (у — х )2 |
существует. Кроме того, поскольку подинтегральная функция неотрицательна и монотонно возрастает при е-»-0, мы имеем
limf B ( x ) e - “ |
ir“ l ( l , - x ) d x |
[ В (x)sin2%-{y~ х) dx. |
||
е-0 J |
|
h {y — x)2 |
.1 |
%(у — х)2 |
О |
|
|
|
|
Таким образом, мы получаем из (12) |
|
|||
— \ g (1 + |
it) f 1 — — ) eWdt = |
\B(x) sinU(l/-* ) dx _ |
||
2 J S V |
' I |
21 j |
|
' X ( y - x ) 2 |
—2X |
' |
|
0 |
|
(' sin2 X |
{y |
x) d x |
I k ( y |
- x ) 2 |
|
Пусть теперь г/->-оо. Тогда по лемме Римана'—Лебега б левая часть стремится к нулю, в то время как второй член правой части дает
sin2 X (у — х) dx = |
Ху |
sin2 v |
|
|
lirn 1 |
dv = я. |
|||
h(y — х)2 |
У^-осJ |
V2 |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
цтЛ в( » - т |
sin2 v |
d v = |
Я; |
|
v2 |
||||
|
|
тем самым соотношение (9) доказано.
’> См. Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, «Наука:
М., 1065, п. 60. — Прим, первв.
§ 2. Теорема Винера — Икеары |
171 |
Вторая часть. Докажем равенство (10) |
в два этапа, |
а именно |
|
lim В (х) < |
(13) |
*•*» |
|
Пт В(х) ^ 1. |
(14) |
Для данных положительных чисел а и Я пусть у~>а/Х. То гда, согласно (9), мы имеем
НшГ |
dv < я, |
!/-*■“ J \ |
X ] V 2 |
так как подинтегральная функция неотрицательна. Д а лее, функция A (u )— B(u)eu является неубывающей.
Значит, при — a ^ .v ^ a
а |
|
|
У—т |
|
|
откуда следует, что |
|
|
в [ у - -fj > в (у - т ) |
|
> В ( у - f ) е~ % |
Следовательно, |
|
2 |
а |
а |
|
lim Г |
|
|
у-1"» J |
|
|
или |
|
|
sin2 v Л > < я .
) г ¥ ! v2
Далее, для фиксированных а и Я мы имеем
Нш В {у — а/ X) = lim В (у).
У~* «9 |
у-*-оо |
172 Г л. XI. Асимптотический закон
Поэтому
2а а
—а
для всех а > 0, Я > 0 . Пусть теперь а->оо и Х-*-оо таким образом, что а/Х-*-0. Тогда
lim В (у) J1 V2
или
я lim В (у) я.
Итак, неравенство (13) доказано.
Используем теперь неравенство (13) для того, чтобы доказать (14). Из (13) следует, что | 5 (х )| ^ с при под ходящей константе с, так что для фиксированных поло жительных а и Я и для достаточно больших у мы имеем
Ху
Как и раньше, при — |
мы имеем |
|
|
|
|
|
2а |
|
|
так что |
|
|
|
|
а |
2а |
Ч |
sin2 у , |
/1СЧ |
sin2 v |
||||
|
d v ^ B ^ y + Y^JeX |
j |
— -d v . |
(16) |
|
|
—a |
|
|
Из (9), (15) и (16) мы получаем
§ 3. Асимптотический закон |
173 |
|
|
|
|
|
|
а |
2а |
sin2 v dv, |
|
|
|
|
dv + |
lim В |
|
||||
——оо |
CL |
|
|
(/-►оо |
Т. |
|
■а |
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—а |
оо |
|
|
|
2а |
а |
|
|
|
я < ;с |
|
sin р dv + |
lim В (у) е х |
j” |
|
dv. |
|||
|
1 + 1 |
У*5 |
|
у->ао |
|
|
|
|
|
Пусть теперь а-*-оо |
и А—>-оо |
таким образом, |
что а/А—»-0. |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я < я Н тВ (г/), |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(/-►оо |
|
|
|
|
|
и тем самым |
(14), |
а следовательно, |
и теорема |
2 дока |
|||||
заны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. Асимптотический закон распределения |
простых |
||||||||
чисел. Если |
тр — функция |
Чебышева |
(см. гл. V II), по |
||||||
ложим А (х)= ф )(еж) |
и заметим, что функция ф неубы |
||||||||
вающая и ф(еж) ^ 0 . |
Соотношение (4) позволяет прове |
||||||||
рить другие предположения теоремы 2, ибо функция £(s)
является аналитической при о > 0 , за |
исключением точ |
ки s = l , где она имеет простой полюс, |
и, согласно теоре |
ме 1, g(s) не обращается в нуль в полуплоскости а ^ 1 .
Следовательно, по теореме 2 ф(еж) ~ е х, или ф(х) при х-*-оо, и тем самым асимптотический закон распределе ния простых чисел доказан.
Таким образом, асимптотический закон распределе ния простых чисел следует из теоремы Винера — Икеары, если мы предположим, что £(l+tY )=^0 для t=£0. Об ратно, если мы предположим, что справедлив асимпто тический закон распределения простых чисел, то легко
вывести, что £(l+tY ) =^=0 при |
0. Действительно, пусть |
|
Ф (s) = - ЦС®) |
1 |
Г ф (*)—х dx, о > 1. |
|
||
S ? (S) |
S— 1 |
J |
Тогда CD(s) регулярна при а > 0 , за исключением про стых полюсов, которые она имеет в точках, являющих- 12—870
174 |
Гл. XI. Асимптотический закон |
|
|
ся |
нулями £(s). |
Асимптотический закон распределения |
|
простых чисел означает, что ф(х) — х-^-о(х) |
при х-*~оо. |
||
Следовательно, |
для любого данного е > 0 |
существует |
|
число х0(е), такое, что при х ^ х 0(е) > 1 |
|
||
|гр(л:) —*| < е х .
Тогда при 0 > 1 мы имеем
1 |
*2 |
J |
Х° |
|
Х9 |
|
|
и так как |
|
|
|
I |
|
8 |
|
|
|
Г |
то
\ ® ( s ) \ < K + — . о > 1,
где К = К ( х 0) = К ( е ) . Таким образом,
(а -1 )| Ф (в )| < /С (ст -1 )+ е , а > 1 .
Пусть теперь а -> 1+ 0 . Тогда для любого фиксированно
го t |
lim (а— 1)Ф (а + г7)— О- |
(17) |
|
||
|
С-*-1+0 |
|
Если 1 ~\-it при |
0 будет нулем функции £(s), |
то пре |
дел выражения |
(а — 1 )Ф (а + г'0 при а -> 1 + 0 будет равен |
|
вычету функции Ф(в) в простом полюсе s = l + i f |
и, сле |
|
довательно, будет отличен от нуля. Но это противоречит
(17) и, следовательно, £(1+ iY)=t^ 0 |
при |
i=£0. |
Таким образом, утверждение, |
что |
£ (l+ t/) =/=0 при |
t=^=0, «эквивалентно» асимптотическому закону распре деления простых чисел. Другим эквивалентным утверж дением является утверждение, что p„~nlogn, где рп оз начает n-е простое число, если простые числа располо жены в естественном порядке.
|
|
§ 3. AcuMtifoTmecKuil закон |
|
|
175 |
|
|
|
я (*) log * |
1 при ЛГ- |
оо, |
ТО |
|
Действительно, если |
|
|||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
log я (х) -(-log log X— log ЛС—>-0 |
|
|
|||
и, следовательно, |
|
|
|
|
||
|
|
logя (*) ^ j |
|
|
|
|
|
|
log* |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
я (*) log я (*) |
j |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
откуда следует, |
что pn~n\ogn, если взять х = р п. |
|
||||
Обратно, если х определить неравенствами рп^х<с. |
||||||
< р п + 1 и |
если |
p-тс '/ilogп, то |
p„+1~ ( n + l ) l o g ( n + l ) ~ |
|||
~ л log/г, |
так |
что x ~ n \ o gn , |
или x~ y\ ogy, |
где |
у = |
|
= я (х )—п, т. е. |
\ogx~\ogy и, следовательно, |
|
|
|||
log*
12
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Dickson L. Е., History of the theory of numbers, Carnegie In stitution, Washington, I (1919), II (1920), III (1923), reprinted Chel sea, New York, 1952.
2.Hardy G. H. and Wright E. M., An introduction to the theory of
numbers, Oxford University Press, 1938, 2nd edition, 1945.
3.Ingham A. E., The distribution of prime numbers, Cambridge Uni versity Press, 1932, reprinted Stechert-Hafner, New York, 1964. (Рус ский перевод: Ингам A. E., Распределение простых чисел, ОНТИ, 1936.)
4.Landau Е., Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 2 volumes, Teubner, Leipzig, 1909, reprinted Chelsea, New York, 1953.
5.Uspensky J. V. and Heaslet M. A., Elementary number theory, McGraw-Hill, New York, 1939.
6.Виноградов И. M., Основы теории чисел, «Наука», М., 1965.
ПРИМЕЧАНИЯ
Примечания к главе I
В качестве основных источников см. [2], гл. 1 — 3 и [5], гл. 1—6.
§ 2. Теорема 2 была установлена Гауссом (Gauss С. F., Disquisitiones Arithmeticae, 1801, § 16; см. также Gauss С. F., Werke, I, 1863, S. 15).
Относительно первого доказательства теоремы 2 можно сослаться на работу Цермело (Zermelo Е., Gottinger Nachrichten (new series), 1 (1934), 43—44). Согласно Цермело, его доказательство датируется
1912 г. См. также Hasse Н., J. fur Math., 159 (1928), 3—6, и Lindemann F. A., Quarterly J. Math. (Oxford), 4 (1933), 319—320.
§ 3. Относительно второго доказательства теоремы 2 |
см. |
Hecke Е., Vorlesungen fiber die Theorie der algebraischen Zahlen, |
1923, |
ch. 1. To, что мы называем модулем в множестве целых чисел, есть просто подгруппа аддитивной группы целых чисел.
Относительно теоремы 6 см. Евклид, Начала, ГИТТЛ, М.—Л., 1948— 1950, книга 7, предл. 30.
§ 5. Имя Фарея связано с последовательностями Фарея благо даря Коши, который обратил внимание на предложенную в 1816 г. Фареем (без доказательства) теорему 7 и опубликовал свое доказа тельство. См. Cauchy A., Oeuvres, 2е serie, Paris, t. 6, р. 146. Теоре мы 7 и 9, по-видимому, впервые установил и доказал в 1802 г. Харош (Haros С .); см. [1], I, стр. 156. Представляет интерес следующее замечание К. Л. Зигеля к доказательству теоремы 7: «Пусть Ы—hm — = 1, fe>0, m > 0. Однородная линейная подстановка Я =Яп—hb, р =
= — rna+lb |
целых переменных а и b имеет обратную а=Я/+/гр., |
||
6 = тЯ + йц . |
Следовательно, условия h /k ^ ta /b ^ l/m , |
6 > 0 , |
(a ,b ) = 1, |
удовлетворяются тогда и только тогда, когда Я^О , |
pjsO , |
Я + р > 0 , |
|
(Я, |а) = 1, и |
тогда b^ .m -{-k точно в трех случаях Я, jx= 0,1; 1,1; 1,0. |
||
В этом рассуждении не используется понятие последовательности Фарея F n».
§ 6. Относительно теоремы 12 см. Евклид, Начала, ГИТТЛ, 1948— 1950, книга 9, предл. 20. Доказательство Пойа теоремы 13 см. в книге Полна Г. и Сеге Г., Задачи и теоремы из анализа, ГИТТЛ, М., 1956, И, стр. 149, 366. Замечание о том, чтобы положить fо = 3 , принадлежит К. Л. Зигелю. Доказательство, предложенное Беннетом, результата Эйлера о том, что /5 делится на 641, дано в книге [2], стр. 15. Другое доказательство дано Крайчиком (Kpaitchik, Theorie des nombres, Paris, 1926, II, p. 221).
178 |
Примечаний |
Примечания к главе II
В качестве основных источников см. [2], гл. 5, [5], гл. 6, 7 и [6],
гл. 1,2.
§1. Теория сравнений была развита Гауссом в его Disquisitiones Arithmeticae, loc. cit., хотя Ферма и Эйлеру, возможно, были из вестны некоторые основные результаты.
§2. Относительно формулировки теоремы 3, данной Ферма в
1640 г., см. Ferma Р., |
Oeuvres, |
Paris, II, 209. |
Эйлер доказал теорему |
2 в 1760 г.; см. Euler |
L., Opera |
Omnia, Leipzig-Berlin-Ziirich (1), II, |
|
531. См. также книгу Диксона |
[1], I, гл. 3. |
|
|
§ 3. Относительно теоремы 7 см. Lagrange J. L., Oeuvres, Paris, |
|||
1868, II, р. 667—669. |
|
|
|
|
Примечания к главе III |
||
§ 2. Относительно |
доказательств теорем |
5 и 7 см., например, |
|
Rademacher Н., Lectures on elementary number theory, Blaisdell, New York, 1964, p. 33—35.
§3. Относительно теоремы 6 см. Lucas, Theorie des nombres, 1891, I, p. 353—354.
§4. Теорема 9 принадлежит Гурвицу (Hurwitz A., Math. Anna-
len, 39 |
(1891), 279—284). Приведенное |
здесь |
доказательство |
дано |
|
А. Хинчиным (Math. Annalen, 111 |
(1935), |
631— 637). На это доказа |
|||
тельство |
внимание автора обратил |
Рагхаван |
Нарасимхан. В |
кни |
|
ге автора Einfiihrung in die Analytische Zahlentheorie, Springer Lectu re Notes, 29 (1966), ch. 3, был дан набросок другого доказательства, которое восходит к Форду (Ford L. R., American Math. Monthly, 45 (1938), 586—601).
Примечания к главе IV
В качестве основных источников см. [2], [5] и [6].
§ 1. Относительно символа Лежандра см. Legendre А. М., Essai sur la theorie des nombres, 1798, 2 nd edition, 1808, § 135.
Мы не рассматривали случай р = 2, поскольку все целые числа являются квадратичными вычетами по модулю 2.
§ 2. Первое опубликованное доказательство (1773 г.) теоремы Вильсона было дано Лагранжем (Lagrange J. L., Oeuvres, Paris, III, 425). Эта теорема впервые была установлена Варингом (Waring Е., Meditationes algebraicae, 1770, р. 218) и была приписана Вильсону.
Харди и Райт говорят, что «есть основания считать, что она была известна задолго до Лейбница».
Примечания |
179 |
§ 3. Теоремы 5, 6, 7 можно найти в книге Харди и Райта [2], стр. 70, 297. Предложенное здесь доказательство теоремы 7 дано Эр-
митом (Hermite С., Journal de Math. (1), 13 (1848), 15; Oeuvres, Pa ris, I, 264).
§ 4. Варинг установил без доказательства, что каждое положи тельное целое число можно представить в виде суммы четырех квад ратов (Waring Е., Meditationes algebraicae, 1770, р. 204—205); Ла гранж доказал это утверждение в том же году; см. его Oeuvres, III,
р. 189. См. также [1], II, гл. 8.
Примечания к главе V
§ 1. Теорема 1 была установлена Эйлером и частично доказана Лежандром. Полное доказательство было дано Гауссом в 1795 г.
См. Bachmann Р., Niedere Zahlentheorie, 1902, I, ch. 6, где приведено несколько доказательств.
§ 2—3. Идея доказательства теоремы 1 с помощью формулы вза
имности для сумм Гаусса восходит к Кронекеру |
(Kronecker L., Мо- |
|
natsber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin |
(1880), |
686—698; 854—860; |
/. fiir die reine und angew andte Math., |
105 (1889), 267—268; Werke |
|
(1929), IV, 278—300). Однако, как указал К. Л. Зигель, в книге Линделёфа (Lindelof Е., Calcul des Residue, р. 68) имеется ссылка на работу Шаара (Schaar) 1848 г. о формуле взаимности для сумм Гаусса. Эта идея была распространена на числовые алгебраические поля Гекке (Hecke Е., Gottinger Nachrichten (1919), 265—278; Werke, 235—248) и Зигелем (Siegel С. L., Gottinger Nachrichten (I960), 1— 16; Ges. Abhandlungen, 1966, III, 334—349). Приведенное здесь доказа тельство по существу принадлежит Зигелю. Интеграл, использован ный в доказательстве теоремы 2, играет важную роль в теории дзета-
функции РиманаСм. Siegel К. L., Quellen und Studien zur Geschihte aer Math., 2 (1932), 45—80; Gesammelte Abhandlungen (1966), I, 275.
|
Относительно оценок обычных сумм Гаусса с помощью контур |
|||
ного интегрирования см. также Mordell L. |
J., M essenger of Math., |
|||
48 |
(1919), 54—56. |
|
|
|
|
Благодаря замечаниям Зигеля вывод (14) из (12) здесь несколь |
|||
ко короче, чем в книге автора Einfuhrung in die |
analytische Zahlen |
|||
theorie (loc. cit., ch. 3). |
|
|
|
|
|
Так как g ( —от, —n ) = g ( m ,n ) , |
случай |
m < 0, |
n > 0 может быть |
сведен к случаю от> 0, п < 0 . |
|
|
|
|
|
Соотношение (21) показывает, |
что — 1 |
является квадратичным |
|
вычетом для простых чисел, сравнимых с 1 (mod 4), и квадратичным
невычетом для простых чисел, сравнимых |
с 3(mod |
4). |
|
§ 4. Теорема 3 принадлежит Эйлеру |
(Euler L., Opera Omnia, |
||
Leipzig-Berlin-Ziirich (1), III, 240). |
|
|
|
Примеры и замечания см. в книге Радемахера |
(Rademacher |
Н., |
|
Lectures on elementary number theory, New York, |
1964, p. 74, |
82.) |
|