Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.65 Mб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УССР

УЖГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ' УНИВЕРСИТЕТ

К а ф е д р а

а л г е б р ы

А. А. Б О В Д И

Г Р У П П О В Ы Е	К О Л Ь Ц А
( учебное	пособие )

У Ж Г О Р О Д - 1Ш4

Печатается по решению редакционно-издательского

совета Ужгородского государственного университета

Гпу5.” чная

Жчно-ть-'н - оеиая

>лиоте-а ОЭСР

ЭКЭМПЛЯР

t ЧИТАЛЬНОГО « 4 ДД

Jty' Ш б 3

Ответственный редактор ~ доц. В,С J p o 6oTeHKO


	А.	А.	Б О В		Д	И
Г Р У П П О В Ы Е				К О Л Ь Ц А
	(	учебное		пособие		)
Подписано к	печати	21.03.1074		г.Разреш ено к печати			26,03.1974 г.
ББ00473.	■'		Зк.299.			Тир. 500.
Формат бумаги 00 X 84			1/16.			Об"ем	7,375 пл.
	Цена одного			экэ.	51	коп.

Печатная лаборатория УжГУ ,г.Ужгород,ул.М.Горького,46.

- 3 -

	В В Е Д Е Н И Е
Пусть G - группа	относительно операции умножения	и К	-	произ-
вольвое аосоциативное кольцо. Групповое кольцо ( г р .к .)		JU?	группы G-
над кольцом К соотоит из всевозможных формальных сумм вида				,
в которых лишь конечное	число коэффициентов J .^ ( K отлично от			нуля,

причем такие суммы считается равными тогда и только тогда, когда у них

совпадают коэффициенты

J L

м я

воех

. Операции в

К &

оп

ределяются

так:

если

то

т .е . коэффициенты

/ у .

перестановочны с

элементами

группы

а ум

ножение в

K G

индуцируется

умножением в

( ? .

Еоли

кольцо

является

полем, то

г р .к .

K G

называется

группо

вой алгеброй ( г р . а . ) .

Элемент. *>"’ Х

а с К € можно рассматривать

как

функцию на группе

„

• которая

на

элементе

л .

группы

со значением в кольце К

принимает

значение

jCj. . Тогда групповое

кольцо

К б

можно отождест

вить с кольцом тех функций из

в К

KOToptie

приншают ненулевые

значения лишь на конечном подмножестве

группы

обычной операци

ей сложения и умножением типа

свертки,

т .е . умножение

функций

~f(*0

■

Y t y < Z e G

)

определяется

формулой:

Групповые алгебры были введены Фробеииусом и Шуром в начале

наше

го века и до 50-ых годов их воспринимали как формальный объект,

прис

пособленный к

задачам

теории

представлений

конечных

групп,

В начале

50-ых годов появляется интерес к групповым кольцам бесконечных групп, чему в значительной мере способствовали проблемы по групповым кольцам, поставленные Капланским £2,3] , применение целочисленных групповых ко лец в топологии и использование методов теории групповых колец прк изучении строения групп. Несмотря на обилие результатов ио групповш кольцам произвольных групп, в настоящее время, по существу, закладыва ются только основы этой теории.

- 4 -

Основные направления исследований по теории групповых колец следующие:

1) теоретико-кольцевые свойства группового кольца;

2) проблема изоморфизма н инварианты групповых колец;

3)полупростота и радикал групповых колец;

4)строение мультипликативной группы группового кольца»

Впредлагаемой Вам первой части пособия излагаются результаты, полученные в первых двух направлениях. Исследования, относящиеся к третьему направлению, хорошо освещены в недавно вышедшей книге Паесмана "Бесконечные групповые кольца" и также в его обзорной ста

тье б . Во второй части пооос&я мы надеемся подробно остановиться на строении мультипликативной группы группового кольца» Подробный обзор по теории групповых колец, а также доказательства некоторых результатов приводится в статье А.Е.Вадесского и А .В .Михалева Щ .

Для понимания основной части пособия от читателя требуется оп ределенная математическая культура и знакомство о основными понятия ми теории групп и аппаратом теории колец с условием минимальности.

Пособие предназначено для студентов старших курсов» Поэтому материал изложен лаконично, но со всеми необходимыми подробностями, Читатель должен быть готов к тому, чтобы не просто читать доказательства, а доказывать теоремы по намеченной схеме. Для удобства читателя, мы приводим без доказательства все необходимые нам результаты из теории групп к теории колец. Подробное изложение этих'фактов можно найти в монографиях: й,Г.Курош "Теория групп", Ламбек "Кольца и модули", Херстейн "Некоммутативные кольца". Автор отнюдь не претендует на ис черпывающую полноту библиографии, где, в основном, указаны работы, которые непосредственно упоминаются в тексте, Более подробную библи ографию можно найти в обзорных статьях А.Е.Залесского и А.В.Михалева Ш и Паосмана ЛбЗ .

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ И ТЕРМИНОВ

Н а с

- И -нормальная подгруппа группы

полная система представителей левых (правых) смеж

IGI

ных классов группы

по подгруппе

. . .

. .

порядок группы

или мощность множества

1 с м ]

индекс подгруппы (подмножества) Н

G . . . . .

с # ( ? )

централизатор

элемента

группе

A = A ( G ) = { ip £ |f G :C &(?)]<oo}

_ А-подгруппа

группы

, 20

A *“ A * (G 9 -{9eG |fG :C e ty)]<«e}

........................................................

[Н :С и (ф " }

........................................................

Д -радикал группы С

.........................................

**7

№

центр группы

( $ ’&)

коммутатор

элементов

<j.

и "ft

группы

G .

коммутант

группы G .

Ш )

взаимный коммутант

подгрупп Н

и L

группы

класс сопряженных

элементов группы

. содержа

щий элемент

( с )

К -й член TYl-ряда

группыG ................................

КкА

центральный,ряд

Цассенхауза-£азара

группы

кольцо целых рациональных чисел,

кольцо тснассов вычетов

помоtip*

к- ассоциативное кольцо с единицей,

KG	-	групповое	кольцо группы G	над кольцом		К
X	_	элемент группового кольца		KG	,
*
	-	окрещенное	произведение группы		0 и кольца К		51
* 5 * *	-	элемент кольца (С ,Я ,$ ,е )		.....................................		.	51
S u p p E -			- носитель		элемента	х . . . .	7
^ S u^ jX>	„	подгруппа	носителя элемента ж		.............	-«............	2ь<

6 -

1%х,ж£i

•„ след .элемента sc- ....................................................

ЗгШ)

- левый идеал гр.к.

JCG

порожденный элементами

вида &-i (ktG )

................................KG

.. ..

.........

•АЛ"'

правый идеал гр.к.

порожденный элементами

чей )

вида ^

, ...................................

порожденный элементами.............вида

_ идеал гр.к. KG

А (К Г )

* г д е Н 4 С

...........................................

Mwviv

_ фундаментальный идеал гр.к. Кб

........................

[ я ,у ] -

с с у -у х

- лиевьсй (аддитивный)

комму-

татор

элементов ос.

и ц.

гр.к.

KG .

LA,yj

К-подмодуль гр.к.

Кб

порожденный лиевыми

коммутаторами

[x,yj

(осеХ,^€

У)

в6(К6)

_ коммутаторный

К-подмодудь гр.к.

KG ..........

$(KG)

центр гр.к. KG

^(KG)

.. радикал Джекобсона гр.к."

КО

x&d-KG

_ первичный радикал гр.к.

_ вес

элемента ж гр.к. KG

................................

£•£,/»

К-подмодуль г р .к .

................................................

К-подмодуль гр.к.

КО

.....................................

£>n(KG)

- д-ая

размерная подгруппа гр.к.

KG ..................

з с - х с (

- гомоморфам

К .

e - a ( s s 4 ? ) - x : x » f

Й Д -гом ом орфам

- ......................................................................................

отображение КО

КН

...........................................

LL0CG)

мультипликативная

группа

г р .к .

КО ...................

VUCG)

нормированная мультипликативная группа г р .к .Кб

- конец (или отсутствие) доказательства,

Базисная

подгруппа

группового

кольца KG

......................

Канонический

базис

группы G

...................

................

.............................

Терминал, группы G

относительно

кольца

...................................

-7 -

ГЛ А В А I

ТЕОРЕТИКО-КОЛЬЦЕВЫЕ СВОЙСТВА ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ

§1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПОДГРУППАМИ И ИДЕАЛАМИ ГРУППОВОГО КОЛЬЦА

Пусть

подгруппа группы

. Образуем

подмножество г р .к .

К С '

Очевидно,

что

Ш )

левый идеал г р .к .

КС

порожденный элемента

ми вида

/ь- i

(

& «Я

) .

Пусть ( щ ) - полная система представителей левых смежных классов

группы

С по подгруппе Ц

(ради

удобства,

дальнейшем

это множество

будем обозначать

через

/7 ( % )

) . Тогда элементы вида

u - J t - i )

об

разуют

базис

К -модуля

$ t (H)

что

непосредственно

следует из

пред

ставления

tf.€ G в виде

'U t'/l

и из

равенства

Аналогично

определяется

пралый идеал

г р .к .

К С .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если

Х = 5 3 о С ^ ,

то

подмножество

S u ^ x ^ t C r l X ^ b

называется

носителем

элемента х

число

элементов

подмножества

S u p p X

называется

длиной

элемента

х .

Докажем

некоторые

свойства

идеала

/ и ) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

I .

i£U )

тогда

и только

тогда,

когда

нормальная

подгруппа

группы

G •

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из равенства

следует,

что

для

всех Ч е И

~ Ui x 1 + U.bOCt + ...+

tlgVCg ,

( I )

где iiie rj(G /u )

х ; £ К Н

Тогда

длина

элемента

uCi

не менее

и при

S uppU i'X i

HuppUjXj

лежат в различных левых

омеж-

ных классах по подгруппе Ц

Значит,

правая

часть ( I ) может иметь

_ 8

длину 2 лишь при условии,

когда

s = i

Сравни

вая

элементы в ( I ) ,

получим

соотношения:

Л ^ .~ щ Л ,

^ ,* г 14/ьа

отсюда

Следовательно,

Ц л С

•

Обратное

утверждение непосредственно следует из равенства

так как

? -‘. н

. .

Бели U a G

то

двусторонний

идеал ш

будем

обозначать

че-

ПРБДДСЖЕНИЕ 2 . Правый аннулятор

■ъ0 ?t <m )

левого идеала

й < Н )

отличен от нуля тогда и только тогда, когда И

конечная

подгруппа и в

этом

случае

ъ (

Уе(Н )) — (

Л 2

) K

G .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что

fc X ( t ^ ( H ) )

*=*

для

всех

Л е И

Пусть

y . = X 1U i +Xt u J+

+ х * Ч е

(

Щ * П (в/я) ) ,

OCi fc К Н

) .

Если

то из

условия

A l t = Ц

следует

'z u S i - 'r .J i •ЛЛ

Для всех

A c U

. Однако

это возможно толк

у й

*ЧН

ко при условии, что

конечная

группа, так

как в правой

части

равен

ства

встречаются

все

элементы группы

•

Более

того,

мы можем подоб

рать

так,

чтобы

Л Л

совпадал

наперед

заданный

элементом

группы

]■!

. Поэтоиу в

записи

ас*

rice

коэффициенты

равны и

элемент

у ,

имеет вид

( ^ Z A - ) z

где

произвольный

элемент

из

K G

ПРЩ10ДЕНИЕ 3 . Пусть

ядро

гомоморфизма

(г*—

Тогда

отображение

является

гомоморфизмом

K G

на К С ,

, ядром

которого

есть у ( н )

к с г /щ ц ') -

к о , .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

пусть

ml =

, / ^

Тогда

- / ( ^ ) = i ( я + у . )

Поэтому, если £ t # . то

9 -

^£K ctf

Чтобы доказать обратное включение, представим

в виде

а д о + .- . + а д а

где

x ^ JZ Jifk

. Щ * П (% )

. Тогда

0 - ? W

~ f a

щ ) * ...*f f s g / f e - j - f g j C

j f ) Л ч ) + . . . + ( д л ? ) Л й

Так

как

элементы

попарно различны, то для всех

*«W

& tU

А*Н

является

элементом из

C/(W)

Следовательно

^ с У ( Н )

Отметим,

что если

и Я *

подгруппы группы

и Я = Я £ГШг ,

то

1400п урлд з

% (ю

, но

обратное

включение

не воегда

име

ет место. Однако справедливо

) Если

ИРЩСКЕШЕ 4 . (Левин, I

подгруппа,

порожденная

H j

И Я *

то

)

тогда и только тогда,

когда

является

свободным

произведением

Я ,

о объединенное подгруп

пой

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если

подгруппа,

порожденная

и Я *

то

каждый элемент

§ ^ Р \ Я

допускает запись в

виде

f - k A v - K

( k i t H ) ,

(2 )

где любые дан соседние элементы

kiA in (у=1Л>—А-1)

лежат

в разных

подгруппах. Если разложение (2 )

для всякого

g.tP\M

единственно,

то

является свободна* произведением

Я*

с объединенной

под

группой

я .

t докажем единственность

t * i

Методом индукции

по

записи

( 2 ) , Для

утверждение очевидно.

Если существует

элемент из P \ / j

> ко

торый двумя способами записывается в виде

(2 ), то

некоторый

также

записывается в виде

(2 ),

причем

c p * iti4 (Ю .

Положим

к^

(0 4 l& t-l)

, Так как

подгруппы

и Hz равноправны, то предположим, что

k t&Ui .

Тогда

к^ еИ г

кцц г Я i

i ' t * ( k r Q f i + < k r l ) lb + < k e l) 9 s * " ' е

Ъ ъ * ( к ,г 1 ) 2 ъ + ( к г i)< f> ,+ (kz-i)$ e+-

€

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ