книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие

-

НО -

ZG

обладает нормированной

автоморфизмами, не представимой в

виде

произведения внутреннего

автоморфизма

кольца

ZG

и автомор­

физма, индуцируемого автоморфизмом группы

G

(Бовди,

£6] ) ,

ТЕОРЕМА 92. (Д

.Смирнов

[21

, Бовди

)

Если

V (Z G )« G

,

то

группа

iflu iZ G

изоморфна

полупрямоыу произведению группы

Л иМ у

на полное

прямое

произведение

X

циклических

групп второ­

го порядка, где X

- мощность множества

циклических

групп в

прямом

разложении

фактор-группы

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Каждый

^ P t^ tiiZ G

индуцирует автоморфизм

мультипликативной

группы

tt(ZG)

. Если

,

то

U(ZG)-

= & G

и для любого

CJ £ G

■ ?($)■ W

T t y )

5

где

f

ч. Ли1 G

, а

7 ф

-

целочисленный линейный характер

группы

G

, ядро

которого

содержит подгруппу

G1 ,

порожденную

квадратами

элементов группы

G .

Это вытекает

из

следующего равен­

ства

“

? ( * * ) - ? ( ? ) ? ( * ) =

•

Очевидно,

каждый автоморфизм

-f4

группы

U .(ZG )

. обладающий свой­

ство!

» Допускает представление вида ( 5 ) . Поэтому,

если

x *<^i«Ji+.

ZG

,

то

отображение

является автоморфизмом

г р .к .

ZG

, что

непосредственно

следует

из

представления ( 5 ) . Следовательно, группа

«A utZ G

изоморфна

под­

группе

СЯя *

«Аи.? li(Z G ))'i’(-0«-l^

t

Если

7 ($)

является

целочисленно

линейны!

характером

группы

^ G 4

#

то можно рассматривать

как характер

группы

G

,

и отобра.

жение

е ( е ^ ) - £ . ^ 7 ( ^ )

( £ * - О

является

автоморфизмом группы

U ( Z G )

, принадлежащим

СЬ

. Очевидно,

что каждый автоморфизм

- f t

OU

допускает однозначное представление в виде

У 8

, где

Ф

-

автоморфизм

ZG

,

индуцированный автоморфизмом

группы

G

J Iu lG

и Подгруппы

&

, которая

изоморфна

Н о т

(G/GS # )

- груп

пе целочисленных характеров абелевой группы

t Еоли

* '»

т0

W orn.O^J1, f t )

является

полным прямда

произведением групп

U o m ( « h G \@ )

, каждая

из

которых изоморфна

циклической группе второго порядка.

■

В силу теоремы 46 для каждой правоупорядоченной группы

О

нормированная мультипликативная группа V (Z £ )

совпадает с G

и

поэтому к

правоупорядоченным группам

применима доказанная выше

теорема

- 112

-

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ

Каргапоюв М.И.. Мерзляков Ю.И..

Основы теории групп, "Наука", 1972.

Курош А .Г ..

Теория групп,

Э-е издание, "Наука", 1968.

Ламбек И ..

Кольца и модули,

’Мир"^ 1971.

Пассман Д .СРоавтап. D .3 .

)

I n f in it e Group H inge, M arcel Dekker,

кольца, "Фиэматгиз", 1961.

Херстейн И .. Некоммутативные

кольца, "Мир", 1972.

Журнальная

литература

Айзекс и Пассман (

I e e e c e ,

I .

and

P ees■an,D^

Groups w ith

rep rea en ta -

tio n e o f bounded

d eg ree,

Canad. J .M a th ., 1 6 /1 9 6 4 /,

299 -709 .

Амицур (^ rn iteu r,

S .

)

Groups

w ith

r e p r e se n ta tio n s

o f

bounded

d eg ree,

I U io n i s J .

M ath., 5 /1 9 6 1 /,

1 9 8 -205 .

Ауслендер (' Aur

ender,M .) On r e g u la r group r in g s ,

P roc.

A aer.

Math.

S o c ., 8 /1 9 5 7 /,

658 -664 .

Берман С .Д .. Об уравнении x

l l

в целочисленном групповом кольце,

Укр.матем.ж.,

7(1955),

253.261.

2. Про одну необх1дну умову

1зоморф!аму ц!лочислених групових

к!лець, Допов!д|

АН УРСР, « (1 9 5 3 ), 313-316.

3. Групповые алгебры счетных

абелевых

^ -гр у п п ,

P ubl. M ath.,

Докл.

и сообщ. УиГУ, физмат., сер.3(1960), 56-57,

5 . Об

изоморфизме групповых алгебр прямых произведений примерных

Берман С Д . и Моллов

Т Д . . О групповых кольцах абелевых у»-групп лю­

бой мощности, Матем.заметки, 6(1969), 381-392.

Берман С Д . и Росса

А .Р .. О целочисленных групповых кольцах конечных

и периодических

групп,

Алгебра и матем.логика,

сборник,

Киев,

1966, 4**-53.

2. Про групоЫ

алгебри

зчислених пер!одичних

абелевих

труп,

-

и з

-

БеРНС ( Burns, R. G.

)

C en tra l

idem potents

in group

r in g s ,

Canad.

Math.

B u ll .,

1 3 /1 9 7 0 /,

527-528 .

Бовди A.A,.

О групповых кольцах групп без кручения,

Сибирский матем.

ж .

, 1(1960), 555-558.

2 .

Скрещенные

произведения

полугруппы и кольца, Сибирский ма­

тем. ж ., 4(1963),

481-499.

з . О вложении скрещенных произведений в тела,

ДАН СССР,

151

(1963),

1253-1255.

4. О пересечении степеней фундаментального идеала, Матем. за­

метки,

2(1967),

129-132.

5 . О размерных подгруппах,

Труды Рижского

алгебраического семи­

нара,

1969, 5 -7 .

6. Замечания об автоморфизмах группового кольца, Латвийский ма­

тем.ежегодник, 14(1974).

Бовди А.А. и Миховски С .В .. Идемпотенты скрещенных произведений, Из­

вестия

матем.института Болгарской АН,

13(1972), 247-263.

2 . Идемпотенты скрещенных произведений, ДАН СССР,

195(1970),

263-265.

3 . A lgeb raic

elem en ts

o f

croesed p ro d u cts,

C o llo q u ia

Math.

S o c .,

JAnos

B o ly a i,

6 .

R in gs,

Modules

and

R ad icals

/H ungary/,

1971,

I 0 3 - I I 6 .

Вильямайер (

V illam eyon,

О. E. )

On weak

dim ension

o f a lg e b r a s,

P a c ific

J .

M ath.,

9 /1 9 5 9 /,

491 -502 .

Вудс ( Woods,

S .

M. )

On

p e r fe c t

group r in g s , P roc.

Amer. Math.

S o c ., 2 7 /1 9 7 1 /, 4 9 -5 2 .

Грюнберг и

Роузблат

(O ruenberg K.W ., Roaenblade

J .

) The

argumen­

ta tio n

term in a ls

o f

c e r ta in

lo c a lly

f i n i t e

groups,

Caned.

J .

M ath.,

2 4 /1 9 7 2 /,

221-238.

ДейД (

Dade,

E .C .)

Deux

groupea

f i n i s

d is t in c t s ayant

la

mema a l-

gebre

de

groupe

eur

to u t

co rp c, Math.

Z .,

1 1 9 /1 9 7 1 /,

345-348 .

Дженнингс (

J en n in g s,

S .A . )

The

str u c tu r e

o f

the

group r in g s o f a

p-group over a modular

f i e l d .

Trane. Amer.

Math. S o c .,

50

/1 9 4 1 /,

1 7 5 -185 .

i

2 .

The

group

r in g

o f

c la s s

o f

in f in i t e

n ilp o te n t group

Canad.

J .

M ath..

7 /1 9 5 5 /, 169-187 .

мой группы, ДАН СССР, 208(1973),

916.519,

3 . 0 групповых

кольцах разрешимых групп, йэв. АН БССР, сер.

ф яз.-м ат. н .,

1990, й2, 13-21.

4 . О неприводимых представлениях

конечно-порожденных нильпотен-

Капданокий (

Kaplanelcy,

J .

)

Groups

w ith

r e p r e se n ta tio n s

o f boun­

ded

d eg ree,

Canadian J . M ath., 1 /1 9 4 9 /,

I0 5 - I I 2 .

2 .

Problem s

in

the

th eory

o f

r in g s ,

NAS-NHC, P u b l.502

W ashing-,

to n ,

1957,

1 -3 .

3 .

Problem s

in

the

th eory

o f

r in g s ,

r e v is it e d .

Ашег.

Math.

M onthly,

7 7 /1 9 7 0 /,

445-454 .

группового

кольца, Дипломная

Киоаль Б J . .

О фундаментальном идеале

работа, Ужгородский ГУ, 1972.

Колемэн ( Coleman, В.

S , )

Id ea p o tea ta

in

group

r in g s ,

P roc. A ser.

Math.

S o c .,

1 7 /1 9 6 6 /,

962.

Кон ( Cohn,

P.M.

)

G e n e r a lisa tio n

o f

a

theorem

o f Magnus,

P roc.

London

Math.

S o c .,

5 7 /1 9 5 2 /,

2 9 7 -310 .

2 .

On

the fr e e

product

o f a s s o c ia tiv e

r in g s

I I I ,

J .A lg eb ra ,

8 /1 9 6 8 /,

376 -383 .

Ков И Ливингстон (C ohn,

J . ,

L iv in g sto n s,

G.

)0 n the

str u c tu r e

group

a lg e b r a s,

Canad., J .

M ath.,

1 7 /1 9 6 5 /,

583-593v

Коинел (

C o n n ell,

I .

)

On

th e

group

r in g ,

Canad. <J. M ath., 15

/1 9 6 3 /,

650 -6 8 5 .

обобщения.

Сибирский матем.

Ктбданова

Е Л . .

Размерные подгруппы и их

ж», 12(1971), 554-561.

2 . Свободные стабильные представления и стабильные сплетения

групп, Труды Рижского алгебраического семинара,

1969,

51-73.

Дазар (

Lasard,

М. )

Sur le e groupes

n ilp o te n te

e t le a

anneaux

de

L ie ,

Ann. E cole

Nora.

S u p ., 71/1953'/,

I 0 I - I 9 0 .

Д**Е.В (

Lewin, J .

)

On

the

in t e r s e c tio n

o f

augm entation id e a ls ,

J .

A lgebra,

1 6 /1 9 7 0 /,

519 -522 .

2 .

A

note o f

sera

d iv is o r s in

group

r in g s ,

P roc.

Amer. Math.

S o c .,

3 1 /1 9 7 2 /,

357-359.

МагНУС (

Magnus,

W. )

Ober

Beseihungen

sw ischen

hbheren Kommutato-

ren ,

J .

r sin e angew. M ath., 1 7 7 /1 9 3 7 /,

I0 5 - I I 5 .

Митальт ( M ita lt,

J .

) On r e sid u a l n ilp o te n c e ,

J .

London Math.

S o c .,

2 /1 9 7 0 /,'

337-345 .

Миховоки C .B .. Групповые кольца

с условием

минимальности

для главных

левых идеалов, "Труды Пяовдиского ун-та",

Ю (1972),

15-22.

Мрран (

Moran,

S .

)

Dim ension subgroups

modulo

n,

P roo. Ceabrigde

P h il .

S o o .,

6 8 /1 9 7 0 /,

579-582.

йейман (

Neumann,

B.H.

) On ordered d iv is io n

r in g s ,

Trans.

Amer.

Math.

S o c .,

6 6 /1 9 4 9 /,

202 -252 .

Мэй ( May, V. ) Commutative

group a lg e b r a s,

T rans. Amar,

Math. S o c .,

X3 6 /1 9 6 9 /,

Z 39-I49.

In v a r ia n ts

Tor

commutative

group

algeb raa

I l l i n o i s J . M ath .,

1 5 /1 9 7 1 /,

525-531.

Обаяшя (

O bajachi, T .)

I n te g r a l

group

r in g s

o f

f i n i t e

groups,O saka

J .

M ath.,

7 /1 9 7 0 /,

6 9 -8 2 .

Пармеитер (

Parm enter,

M. )

On

the

theorem

o f B ovdi,

Canad. J .

M ath.,

2 3 /1 9 7 1 /,

929-952 .

ПВССИ (

P a s s i,

I .

)

Dim ension subgroups,

J .

A lgebra,

9 /1 9 6 8 /,

152 -182,

Пасси и Сегал

(

P a a si,

I . ,

S eg h a l,

S .k)

Isomorphism

o f

modular

group

a lg eb ra a ,

Math.

Z .,

1 2 9 /1 9 7 2 /, 6 5 -7 3 .

Пассмав (pasm snn,

D.

)

N il

id e a ls

in

group

r in g s ,

M ichigan

Math.

J . ,

9 /1 9 6 2 /,

375 -384 .

2 .

Ieomfcrphic groups and

group

r in g s ,

P a c ific

J .

M ath.,

15

/1 9 6 5 /,

561-583.

3 .

Idem potents

in

group

r in g s ,P r o c .

Amer.Math.

S o c .,

28

П 9 7 1 /,

371-374.

4 .

Group

r in g s

s a t is f y in g

a

p olynom ial

id e n t it y ,

I , I I I ,

J .

A lgeb ra,

2 0 /1 9 7 2 /,

I 0 3 - I I 7 ,

P roc.

Amer. Math.

S o c .,

3 1 /1 9 7 2 /,

8 7 -90 .

5 .

P r im itiv e

group

r in g s , P a c ific

J . M ath.,

4 7 /1 9 7 3 /,499 -506 .

6 .

Advances in

Group Ring,

I s r a e l

Math. J . ,

1974.

7 .

On

the r in g

o f

q u o tie n ts,P .A .M .S .,3 3 /1 9 7 2 /,

221-225.

Плоткин Б .И ..

Стабильность,

нильпотентность

и радикалы б

группах

автоморфизмов модулей, Труды Рижского алгебраического семинара,

1969, 209-252.

2. Замечание о стабильных представлениях нильпотентных групп.

Труды Московского м.атем.общества,

29(1973),

191-209.

-

117 -

Хартли ( H a rtly ,

В.

)

The

r e sid u a l

n ilp o ta n c* o f

wreath

product*,

P roc.

London Math.

S o c .,

2 0 /1 9 7 0 /,

565-392 .

Херстейн.

Сиолй C H aratain, I .H .,

S a a ll,

L .) Ring*

o f

quotion* o f

group

a lg eb ra * ,

J .

A lgebra,

1

9 /1 9 7 1 /, I5 3 -I5

5 .

Хигыэн .( H igoaa,

0 .

) The

u n it*

o f

group

r in g * , P roc.

London

Hath.

S o c .,

4 6 /1 9 4 0 /,

3231 -249 .

Xfi*B ( Hoare,

A.

)

Oroup

rin g*

and

low ar c e n tr a l

a a r ia a ,

J ,

Lon­

don Hath.

S o c .,

1 /1 9 6

9 /,

3 7 -4 0 .

ХюОЬ (

Hugheа , I . ) D ir ia io n

rin g*

o f fr a c tio n a fo r t group r in g * ,

I ,

I I , Co m . Pur* A ppl.

M ath.,

2 3 /1 9 7 0 /, 1 8 1 -188, 2 5 /1 9 7 2 /,

I 2 7 - I 3 I .