книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие

тождеотво:

^ ^ + . . . + - ^ ^ * 0

для всех

С

.Т огда

в ( ° 0

/ ^

- + © (А )& -

о

*

и

№

О в ( д ) + . . . + e (jc t ) & (/it ) х о .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

х *

+

. X’l *dCl - e { <f t ) i

У

S u p /tJ ,i s

{9'*’ 9 t ’ '•■ * % * }

и U

Д г} .

Тог­

да

централизатор

подмножества

^

Supf> 6 (^ 0 подгруппа конечного

индекса в

G

и для

каждого

€ С

х =

f X y i k - - - 3 % f h

(2 )

Если U f e ^ u ^ x

,

ТО в

силу равенства

(2)

для

каждого < ^ е С

суще­

ствуют

такие

cjfc

,

что

.

Все ^

нз

С

•

кото­

рые удовлетворяют равенству

при

фиксированных

и

• принадлежат одному смежному классу группы С!

по подгруппе

H i 9 C [\C g fcjfi).

Таким образом,

подгруппа

С!

покрыта

конечна!

чис­

лом смежных классов

по

подгруппам

Н i

( i=

4,2.,..., S

) .

Конечность

ин­

декса С

позволяет

построить конечное

покрытие

группы

G

смежными

классами по этим же подгруппам. В силу леммы 12

< « °

для

не­

которого

i

.

Это

противоречит бесконечности индекса подгруппы

Cg(уд,

так

как

Gitpf>X'if]/\(6)s ^

• Следовательно,

ос.= 0

,

а

отсюда

непо­

средственно

имеем,

что

© С Х .)в (^ Л + —+ 0

(Х4) 0

{ |\ ) - О

. ■

В дальнейшем вам понадобится следующая теорема Йеймана-Уайголь-

ца, доказательство которой мы не приводим.

ТЕОРЕМА 17. Если существует такое

nv ,

что

[ ^ гС(>(^)]<щ

для

каждого

c ^ t £ r

р *о коммутант

группы

G

конечен. ■

§4.

ПЕРВИЧНЫЕ И ПОЛ/ПЕРВИЧНЕЕ ГРУППОВЫЕ

КОЛЬЦА

ДВД/.А 18. Пусть

-

идеал

г р .к . К(т

и

х

-

.

ненулевой элемент наименыаей длины из

£/ .

Тсгда

коэффициенты

,,

«

/ а

. X*

попарно

перестановочны,

а

если

хольцо

К

содержит

только нулевой виль-ядеал, то средя элементов

наименьшей длины суще­

ствует такой

ас

,

что

о£0

ке

нильпотентея,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Длина элемента

й3 £/ меньше, чем

длина

х

, а это возможно лишь при

х Х {,= А х

, что доказывает по­

парную перестановочность

коэффициентов ofс .

Если К

имеет только

нулевой ниль-идеал, то

К<£,КфО

и оуществует ненильпотевтный эле­

мент

<T=ZZ

£ К

. Тогда

Xtx ^ v •

ненулевой элемент о

искомым

свойством.

II

ТЕОРЕМА 19. Если кольцо К имеет только нулевой ниль-идеал и

порядки

элементов

группы

G не являются делителями

нуля в кольце

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 18 в

ненулевом ниль-идеале

У

г р .к .

KG-

существует такой

ос

, что

<£„. -

ненидьпотентен,

а

такой

ОС по лемме

7 не может быть

нильпотентным.

Я

Отметим, что условие теоремы 18 не является необходимым.

ТЕОРША

20. (Пассман, I

,

Коннел, I

)

Если кольцо К

не

со­

держит

ненулевых ниль-идеалов,

то

г р .к .

KG

тогда и только

тогда

ной подгруппы группы

£г

является делителем

нуля

в К .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если г р .к .

KG

имеет

ненулевой

нильпотентный

идеал, то оно содержит такой

идеал

У

,

что

У = 0 .

Тогда при .

КА(С)-модулярном гомоморфизме

0

(определение'см. в §3) образ

идеала У является венулевым нильпотентвдо

идеалом

0 ( У ) . Действи­

тельно, если

tf-eK A (G ) ,

то

0 ( зс^ ) = 0 ( ;*:)^-

и,

если

х

= о£,

•*■...+

+

,

то

и

О

. Поэтому

0 (У )ф О

й^

из равенства У^,У=0

( «jf-cfr

) в силу леммы 16 вытекает,

что 0 («/)*О.

Выберем среди элементов 8 (Ю

элемент

х = аС0+Х(^+.„+Х5 (^

найменьоей

длины с не нильпотентным коэффициентом

«£„

. Согласно лемме 18

такой

элемент существует и коэффициенты c/Cj.

порождают коммутативное

под-

кольцо

£ .

Тогда ос2* о

в

г р .к .

HG

. В

силу

леммы 7

это возмож­

но только тогда, когда среди элементов

из

Supp ос

существует

элемент

<^t

,

порядок которого является

делителем нуля в

К

.П о

лемме Дит-

доава

наименьшая нормальная подгруппа

И

,

содержащая

^

,

конечна

и порядок

делит

порядок группы

Н

.

Значит,

порядок

Н

делитель

нуля

в

К .

Обратно, если порядок tv

конечной

нормальной подгруппы Я

груп­

пы G

является делителем

нуля

в

К

,

то в

К

существует

такой

£ф О

-

23

-

£ 4 0

• что

п' ^

!е0 .

Тогда

Ц-~

принадяеяит

центру

г р .к .

КС

,

^ г=0

и

(К6)^

ненулевой нильпотентный идеал гр.к.

КС

. «

ОПРЩШНЙЕ. Кольцо К называется первичны*, если аннулятор каж­

дого ненулевого двустороннего идеала есть нулевой идеал.

ТЕОРЕМА 21. (Коннел,

I

)

Г р .к .

КС

тогда

и только тогда пер­

вично, когда кольцо К

первично

и все конечные

нормальные подгруппы

группы G тривиальны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть г р .к .

KG

первично. Если

H<3G

и X

-

идеал

кольца

К

, то

аннулятор идеалов

и

г р .к .

КС

равны нулевому

идеалу.

Очевидно,

аннулятор

St в

К

принадлежит ан -

нулятору

идеала

’'/ С

.

С&едовательно, аннулятор ЪС

есть нулевой

идеал и согласно предложению 2

И

-

бесконечная

подгруппа.

Обратно,

пусть J/

и

- ненулевые идеалы 'гр.к.

К С

Тогда

0(<У)

и

-

ненулевые

идеалы г р .к .

K 4 (G )

и по лемме

16

6 Ш

( У

) * о

. Группа A(G)

не

обладает конечными

нормальными

ния, а

такая

группа

линейно

упорядочена. Пусть

a

t

-

€ 0 ( Ю ,

, х с е К

j f f t i &

i

+ v + f o A t

е в ф

)

,

iX i,tK .

Тогда все "первые коэффициенты"

«£<

элементов

ос из в (Ю

образу­

ют идеал

кольца

К

.

Пусть

У*

- такой

же идеал,

порожденный

коэффициентами

^

.

На основании

линейной упорядоченности

группы

4 (6 ) ,

и "первый коэффициент" произведения

х«^

равен

of1(8t

. Вследствие

равенства

0 ( У ) в ( ^ ) = О

, o£|it=0

и

^ / ^ = 0 ,

что невозможно в силу первичности кольца К .

В

СЛЕДСТВИЕ.

Пусть

KG

-

г р .к . группы без

кручения над полем К .

Если в

г р .к .

КС

нет нильпотентных

элементов,

то

оно

не имеет

дели­

телей

нуля.

а & хО .

KG

ДОКАЗАТЕДЬСТВО.

Пусть

По теореме

Коннела

первичное

кольцо. Следовательно, для любых двух ненулевых

элементов •£, a

t KG

существует такой

элемент

ъ е К С

,

что

4 О

.

Тогда

( £ г а ) = 0 ,

что

противоречит

пюедположению об

отсутствии

нильпотентных

элементов

в

к о

. ш

§5.

ПОЛШЮМЙАДЬНЫЕ ТОЖДЕСТВА

Пусть

ш

®х>—» * v l

- кольцо

полиномов над

полем К

от неком-

мутирующих свободных

переменных

осх, ас4>. . . , х л .

Поливом вида

x ^ a riv

aci,

о попарно различили

индексами

называется

линевным

одно-

членом. Очевидно, число линейных одночленов в

не

пре-

вывает

(пг+ i)! .

что алгебра А

над полем К

удов­

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить,

летворяет полиномиальному

тождеству

степени

IV

,

если существует та-

койЧголкаом

у

£

Х [ х х , ... , х та1

степени

п,

, что

для

всех

с / х ,. . .

€ А .

Очевидно, каждая коммутативная алгебра удовлетворяет полиномиаль­

ному

тождеству

.

Приведем некоторые известные факты об алгебрах с полиномиальна

тождеством.

над полем К

1)

Если алгебра А

удовлетворяет нетривиальному

полиномиальному

тождеству

степени

гь

, то в ней выполняется

полили­

нейное

тождество вида

2

3

t t f

и

а ^ е

т/

х б“(п.)

* где

Sn.

-

оим-

метрическая

группа степени!

п,

л .

,

причем

не все

а т равны

нулю,

2)

В матричной алгебре

К л

над коммутативным

кольцом К

выпол­

няется стандартное полилинейное тождество 23('-0

х ®-(пу

сте-

пени

,2 п, ,

где

(-i) 8*равен

I

,

если

подстановка

o '

- четная,

и;

- i -

в

противном случае.

Если

R.

поле,

то

Л п

не удовлетворяет ни­

какому полиномиальному тождеству степени

<

2 п ,,

(Теорема

Аыицура-Ле-

вицкого).

В 1949 году

Капланский

[I]

доказал,

что г р .а .

KG

удовлетворяет

полиномиальному тождеству, если G

обладает абелевой

нормальной под­

группой конечного индекса.

Ш.Амицур

[l]

и Д.М.Смирнов

[I]

в

некото­

Для

г р .а , над

полем

характеристики

нуль полное доказательство было по­

лучено

Айзексом и Пассманом [ i] в

1964 г . Исследование

задачи дня

поля

положительной

характеристики

начато М.Смис

[i] и

закончено Пас­

сивном

[4] .

Приводимые ниже результаты

принадлежат Пасомаву 1.41

В леммах

22-24

предполагаем,

что г

р .а . К О

удовлетворяет поди-

- 2 5

-

номиальноиу тождеств;

/

степени

п. ,

ЛЕША 22. Если К» (п !)г , то

[С = Д J

<

(

!

•

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

[ G : A j > ( K + i ) f

,

В силу выше приведенно­

го замечания I можно

считать, что г р .а . KG

удовлетворяет тождеству

^(зС д ,...,ЭСп.)= ОС12С1-.- Хгь+ 2__«-(Г

Ж’в'(2’>

°Sr(n) O v ^ K )

Определим индуктивно

полиномы

J

i

и ПУ°ТЬ определен

, Представим его в виде

=

+

> тае

есть

сУмма все*

слагаемых из

i f

,

которые не

начинаются с

. Тогда

полагаем

Л к ? ;

•

'

,

является

однородным

полилинейнда полиномом сте­

Очевидно,

j u i

пени

л ,-/ .

Докажем методом ивдухции

п о ’t

следующее

утверждение:

дия

любого набора

из

G либо

+р***

для

некоторого j

i е М,ь ,

где

Ы ъ

-

совокупность

всех

линейных

одночленов

кольца

/ ( [ х г ,... , х „1 ,

Ддя

ъ ~ 1

утвержде­

ние очевидно. Предположим его справедливость для всех

Пусть элементы

-

фиксированы,

^ .’ -произвольный

элемент

из группы

G

и

для всех

Пред­

ставим одночлен

в

виде

j .

Тогда

равносильно

тому,

что

так

как

Дк нормально в

G .

Пусть

Т

является

объединением таких

А с ^ л

. что

^

£ M j . \ М}н

. Тогда

fG «T J

> к ! ,

ибо в противном

случае в

силу

неравенства

/

M j*il4 п /

имеем,

что

[ G * A j 4 [ G -’ T l n U

к ! . п .\ < ( ы ) !

а это противоречит

неравенству

г А к ]

%

( к + i) /

,

Кроме того,

Для всех «JE.fc£M элемент

j i i q t f y n

при любом

£ Мь и, в

силу индуктивного

предположения,

О ..

Если

представить в

виде:

J* ”

~ S? aisA ж/ / ^

с a i feK

;

e f t, /It

t

)

t

все* у .€ G 'T .

T0

fn.)

•

Действительно,

в силу

неравенства

IMjrtUn,!

( { > 1

)

I U SuppXiH У &upf>lii }^ (n !-i)n ! < (п--)г

.Кроме

этого,

ввиду

предположения

€

А к дня всех

€. %

■

имеем,

что

59 0 ) = О .

Поэтому в

силу

неравенства

[G -:T J> k !

,

по лемме 15

заключаем,

что

0 = fl“-

( flu , - - ,

О.*)

•

Утверждение

доказано.

S„~x.n

Если

,

то

и

Тогда

=

+ 0

и

согласно

доказанному

утверждению

для всех

р

б

.

Следо­

вательно,

/ \ к =

(т

,

а

это

невозможно,

ц

ЛШМА 23.

Пусть

Ц'

-

простое

число и

(«f"> с £ с п .К )= ^

,

Если

коммутант

£ '

группы

G-

является

циклической

^

-подгруппой и при­

надлежит

центру

^ (G )

группы

G? ,

то

[ С ^ ( С ) ] й ( ь ) 1.

и £ - полино­

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если

F

-

расширение

поля

К

миальное

тождество в

Кб

, то

J

является

тождеством в

FG .

Поэтому,

в

дальнейшем мы можем считать, что

К

- алгебраически ' за­

мкнуто

и

iGl £

iKt .

Как известно,

радикал Джекобсона

^ ( К б )

кольца

fCG

есть

пе­

ресечение

аннудяторов

воех

неприводимых

КСг -модулей. Очевидно,

что

^(K G) D K G 's

^(K G ')

и по теореме

19

^(Ю 5‘)= 0 , Поэтому в

неко­

тором неприводимом

Кб -модуле

V

реализуется

точное представление

группы

G

. Докажем,

что

D * H o m ^ g fV .V )

совпадает

с

К .

Действительно, в силу алгебраичеокой замкнутости поля К

достаточно

проверить

алгебраичность

каждого

элемента

из

над

К .

Пусть

Й Ь К

И

ЖеК •

Тогда

элементы

попарно: пере­

становочны

и мощность

этого

подмножества равна

/К/

,

что

больше

с/спг-Ф в

силу предположения

I&I < /К]

.

Следовательно,

они линей-

но зависимы

и

+

+ o(s ( ^ - 4 s )

(<£i«*o)

. Умножая

это

равенство

на

f J ( ^ - £ L)

,

получим, что

^

является

корнем

нетривиаль­

ного полинома

над

К .

KG

, реализованное в

V .

Пусть

§

- представление

г р .а .

Тогда

$(KG)

является

плотным

подкольцом

кольца линейных

преобразо­

ваний векторного пространства

V

над К

и

ciimjj,V=£ 4 -^ -

. Дей-

-

27 -

ствительно,

в

случае

Ь>*£-

, по теореме плотности, для некоторого

кольцо матриц

является

гомоморфным образом некоторой

подалгебры алгебры

j(K ft)

Тогда

Кт

удовлетворяет

полиномиально­

му тождеству

степени

п.

,

а

это

возможно,

как мы указали,

когда

• Следовательно,

4 ^ .

и по теореме

плотности

y(JCC) *

»

G матрица

Для элемента

зь

из

центра

3 (C )

группы

§(й.)

яв­

ляется

скалярной а ^ Е

и в

силу

точности представления §

на

под­

группе

G

центра <*А=М

для

всех i+A е<х

. Докажем,

что

след» х ( * >

матрицы

$ (ф

равен нулю для всех

« ^ £ ^ ( 0 ) . Действительно,

если

*0

(А *£'•)

и в

силу

совпадения

следов

подоб­

ных матриц

X ( j ) =OC(ft ^ ) *

ЭС(«* ? (£ .))=

a t

X

(

f )

. Так

как

то

Х($) = 0

для 9 £*}(6 ) . Если

A e ^ G - )

,

то

X (fL )*aAt *

о

,

ибо

в противном

случае

t

есть

нудь в

К

и след

каждой матрицы из

$(KG) = Kt

равен

нулю,

что

невозможно.

Пусть

и

(X ft-K ). Тогда, умножая на

^ ( « ^ )

,

получим,

что

=0

(I)

Однако

при

f r 9 i £ 3 ( e )

и

. Переходя к

следам в

равенстве ( I ) , получаем, что

«£•£ = ©

,

что

возможно лишь в

случае,

когда

,^«=0

. Следовательно,

§ ( « ^ )

-

линейно

независимы и

[G *3(G )J<

4 d im K Kt ^ С ^ ( т Т .

■

ЛШМА 24. Если

G

имеет

порядок

к

и

принадлежит центру

3 (G )

группы

G ,

то

G

обладает

такой

характеристической

подгруппой

А

что

№ :А ] 4 (■§“)

и коммутант

А

подгруппы А

конечная

р

-груп­

па,

где

р=с&ах.К .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В конечной абелевой группе

G'

порядка

к

су­

ществует такие

подгруппы

( tt % ) ,

что %

-

примар-

ная

циклическая

группа и

Q N ; «

4

. В силу

центральности

G

под-

G

V

^

группа

нориальна в

и

г р .а . фактор-группы 6^=

fi/N ,

.

как го -

моыорфвый образ

г р .а .

/С<?

,

удовлетворяет

полиномиальному

тождеству

степени

it .

- 28

-

&i

Пусть

-

полный прообраз в

С

центра

группы

и

(к,<^с\,К )«1

.

Тогда г р .а .

KGt

удовлетворяет

уоловию леммы 23

и -

f e = 3 3 < ( » s . Поэтому, если

А —П 3

1 »

10

[& '•& ]*(% ) 4 ( % )

и

.

Действительно,

А

и из включения

следует

((r,A )?=

Q N i * * !

.

Следовательно,

-

характерис­

тическая

подгруппа.

Пусть

(к ,Л а я .К )-р > 0

и

Р

-

силовская

f> -подгруппа

группы

G

. Тогда

Р 4

G

и порядок

фактор-группы G/р

взаимно

прост

с ха­

рактеристикой

поля

К

■В

силу

доказанной

части леммы в

G/n

оуще-

а

ствует такая характеристическая подгруппа -А/p

р

что

и

Ы :А ] ** ( f )*

S3

ТЕОРЕМА 25.

Г р .а .

KG

над

полем

К

характеристики

J>*0

то­

гда и только тогда удовлетворяет полиномиальному тождеству, если

группа

О

обладает такой

нормальной подгруппой' А

конечного индек­

са, коммутант которой есть конечная

j> «группа (при

р шО

группа А

абелева).

KG

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

удовлетворяет

полиномиальному

тож­

деству

степени

п

я

Ка(л 0

. Тогда в оилу лемМы 22

G - & KU

U A .* U ...U M m

’ где m±(K*i)I .

^

А« *

Методом индукции

по

m

докажем,

что

А к

-

произведение

на

себя

А"*

раз

«

является

подгруппой. При ю =1

это

очевидно.

Предположим,

что

m.> I

,

а

й »

не

есть подгруппа.

Тогда

& Ф 4 *

и существует

такой

L

,

что

А * П А кс^, f

ф

.

Отсюда

^

и A j U

A

^ t e

А'к

. Следовательно,

£1 =

и . . . и А к § и и А м ^ ы и . - - и Д к

4

и

fC =

J

< го.

. П о

индуктивному

предположению

Н = ( А , < ) -

А*

являетоя

нормальной подгруппой.

Очевидно,

что

[ б » Ш < ( * +0 /

и каждый элемент из

Н

имеет

не

более

А” к

сопряженных в

G

,

так как является

произведением

ее

более

чем

А "

элементов

из

А к

, Соглаоно

теореме

17

коммутант

-

29 -

Я

группы Я

конечен, а

значит,

Ht= С у (Н‘)

-

подгруппа

конечно­

го индекса в И

я нормальна в

G

. Тогда г р .а .

КН,

удовлетворя­

ет условию леммы 24

и

подгруппа А

.построенная

в

этой лемме, яв­

ляется нормальной подгруппой конечного индекса в

G и удовлетворяет

условию теоремы.

Обратно, пусть

(? = <?/д1

и

•

Тогда

КС

является

правым

К ? -модулем с базисом

Д ' . ^ А

^

А '

,

в котором левое регулярное представление

г р .а .

K G

является точным»

Поэтому

KG

можем

считать

подкольцом кольца матриц

t -го

порядка

над

коммутативным кольцом

К *

и

по теореме

Амицура-Левицкого

(см .

замечание 2 на стр.

)

в

нем выполняется

стандартное

полилинейное

тождество

,

х %1)

.

Так как К f t -

^^/У (А ')

, то для всех

&,<£»,•••><£»* tK G

элемент

, l ti) s. ii(A ')

. Тогда,в силу

нильпотентности

идеала

(см .

предложение 6 ), существует такой

т

,

что

Для воех

&KG . Цяедова-

тельно,

у 1

- полилинейное

тождество в

КС

§6.

ПОДГРУППА НОСИТЕЛЯ ИДЕМПОТЕНТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подгруппа,

порожденная S u p p x

называется

подгруп­

пой

носителя

элемента

ас

и

обозначается

через

< 5 u p j » o c > .

В настоящем параграфе изучено строение подгруппы носителя идем»

потента. Эти исследования начаты Рудином и Шнайдером

[I]

. Им принад­

лежит предположение о конечности подгруппы носителя центрального

идемпотента.

Методами банаховых алгебр они установили справедливость гипотезы

для групповых алгебр над полем комплексных чисел. Приведенные ниже

результаты принадлежат Бовди и Миховскому

[3] .

Однако,

теорема

27

доказана .также Бернсом

[l]

и Пассманом .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент а.

г р .а . К (г

называется алгебраическим,

если

существует

такой

полином

J ( x )= <£

+ ... •*■<£«-

над К

,

что

^ ( а ) * 0

и

«£.

не является делителем

нуля в

К .

ТЕОРЕМА 26. Для каждого

центрального алгебраического элемента о,

г р .а .

JOG

существует

такой

центральный алгебраический

элемент

сц

,

что

а - а *

,

принадлежат

первичному

радикалу

г р .к .

К б

и под-