книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие

-

10

-

^ 1 ^ Я х ) П = Ц^И)

Очевидно,

что

г ^ ч г=<^-/

,

и из равенства

следует, что

ъ л>ъа й

•

Если

£

-

четное,

то

* 4 * % r b + b ~ b + - + b - r $ t

и в

записи

ъ а

участвует

^ =

i

. Так

как

•ьгйИг(Я)

» то

для

некоторого

L

,

что

противоречит

предположению индукции.

Если же

t

нечетное,

т*

Н

*

tyt-t

•

*/г0 0

и

снова можно при­

менить предыдущее рассуждение к элементу

Пусть

Р

-

свободное

произведение

и

14г

о объединенной

подгруппой

W

. Тогда

допускает

несократимую запись ( 2)

и

длину t

олова (2 ) обозначим через

.

Кроме

того,

полагаем,

что

% ф = О

для

g f-eli .

Пусть

3Cj,tC/aCHt)

) . Для

доказательства

равенства

достаточно показать, что из равенства

ос*+ эса* О

следует

, осае а(н).

К Р

, порожденный

Обозначим через 0£(#j,)

правый

идеал г р .к .

элементами

lL -Л

С f t c H t

)♦

Тогда

правый

К -модуль

t) допус­

кает разложение в прямую сумму

-подмодулей:

где

Uj%Fl(typ) .

Отсюда непосредственно следует,

что

достаточно дока­

зать теорему в случае, когда

G - P

.

Пусть

а^+ ас^О

и

ъ = з р А Ш - Ч ) щ .

( я и н ^ ъ ^ п & и , ) ) ,

х , ‘ 2 р & ( % - Ь « >

^

)

С3>

и rn.~rn .q.x^jt(U i)^C u})J

.Методом

индукции по

т*

докажем, что

£/г(Ю . ЕСЛИ

М Ъ - О

,

ТО

TCjeKMidKH^KH

И

Xj6^(H) .

Пусть верно индуктивное предположение для

t< .n v

и

среди

и

элементы гл ,,... ,U £ ,щ ,...,

имеют длину

m-t м ох-{Л (иО ,а(»^.)}

I

• Доказательство

утверждения

для

т *

нам

удобно

разделить на

й

j

следующие

случаи,

применяя

при

этом

также

индукцию по

й+ t

- II

-

1)

Для некоторого i& t

V-i

имеет

вид

^ u . '

,

где

и

Mv.')=m-I. Тогда

(

и для

х х

мы

можем построить такую запись вида (3)» в которой число

элементов

u i

длины пь

меньше, чем

t .

Следовательно,

к

элементу

ос1

применимо

индуктивное предположение.

(/)

2) В записи (3 )

элемента

х1

существует

Щ е1 1

( i ^ t )

. В силу

случая

I,

мы можем

предполагать, что

Щ =& гг1 '

,

где

и

2 (и') =

= nW

. Тогда

Hj%(U )

и

—О

. Как и в

предыдущем случае,

к

элементу

х ^ у .

применимо предположение индукции

■

.

а

отсюда

0Ci £

а

д .

Если не выполняются случаи I и

2,

то

из

равенства

ar,-*-a:j»0 сле­

дует, что

равна нулю сумма всех тех

слагаемых, базисные элементы кото­

рых имеют длину

пъ+L

,

причем их

первыми множителями ,в записи ( 2)

являются

элементы из

Hi

•

Поэтому

'd.jfi.iu t = °

и

U i55 ’fli’lLi

i - i

для некоторого

l <

i ^ t

.

Тогда

и снова мы нашли такую запись элемента

ос£

,

к

которой

применимо пред­

положение индукции.

Ш

KG

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Идеал £/((?)

г р .к .

называется

фундаментальна

идеалом (или кольцом Магнуса) и обозначается

через

А (К 9 ) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

3 ,

Фундаментальный идеал

г р .к .

KG

тогда

и только

тогда нильпотентен,

если

G

-

конечная

/г -группа

и

р

нильпотент

кольца. К .

А (№ ) -

А (КС!)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

нильпотентный

идеал. Тогда

обладает ненулевьх аняулятором и согласно предположению 2

G

является

конечной группой.

Если <f t G

элемент простого порядка

fi

, то

ос-р -(1 + у - + —+ $Р'1)

£

A (K G )

и

. Вы-

берем r t

так,

чтобы

2^

’) = о . Тогда

( ц

и коэффициент

^ |

№

х ^ = 0

при

элементе

равен нулю.

Следовательно,

каждое

простое

число

,

делящее

порядок

Q

,

нильпотент кольца

К

*

Воли же

(г

не р -груп­

па,

простое число

и

у ,

делит

/ £ /

,

то

в кольце

К

выполняет­

ся

равенство

и единичный

элемент

кольца

К

является

сум­

мой нильпотентов,

что

невозможно.

р

Пусть ]-/г=<х.>

-

циклическая

подгруппа

порядка

из

центра

ко­

нечной

^-группы

G

и

/Л= 0

в

кольце

К

. Выберем

ъ

так,

чтобы

р

i

был

делителем

всех

биномиальных коэффициентов

r ii

и докажем,

С р

что

произведение

( x l,- j ) ( x l±

l ) . . . ( ? S - i )

(4)

равно

нулю,

если

m z p 'L ,

Действительно,

если к

такому

элементу при­

менить

тождество

(v - l)

t

то

( 3)

есть

сумма

слагаемых вида

( z - i ) *

(-£ > /?г)

.

Тогда

,

( ■ z - t f l

#

Л

Ср-

i

... ± i

,

i

делятся

на

#

то

C^

р

они

равны

нулю в

кольце

X .

Следовательно,

А Ч К Ю - о

,

что вле*

л

чет

за

ообой равенство

Ж (Н ) = О

,

так

как

Н

подгруппа

из

центра

группы

С .

Докажем нильпотентность

А (К С )

методом индукции

по порядку

группы

G

•

Если

И

-

циклическая

подгруппа из

центра группы

G

,

то гомоморфизм

■fsKG’"т

сохраняет сумму

коэффици­

ентов и

-f(A (K G ))= A ( K G/ u ) .

По предположению индукиии идеал

М К С /„ )

нильпотентен и

А Ч к О ^ Ж Ю

для

некоторого

ф .

Значит,

( К С ) » О

.

■

§2.

КОММУТАТОРНЫЙ ПОДМОДУЛЬ И СЛЕД ЭЛЕМЕНТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Если

то

ж

называют следом

элемента

х

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

К -подмодуль г р .к ,

К С

, порожденный

элементами

о с ^ - ^ х

,

где

х

,

^

- произвольный

элементы из

К С

, называ­

ют коммутаторнш

К

-подмодулем

и обозначают

через

£ (K G ) .

- 1 3 -

Очевидно, что £(KG)

как

К «модуль

порождается

элементами

вида

( § ? Д б G ) .

В дальнейшем символ

&

будет обозначать, что элементы

у , и

4l сопряженный группе G

,

а

-

класо

сопряжен­

ных элементов группы

G ,

содержащий

элемент

cj. .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ б . (Р.Брауэр

) Дусть

J> -

простое

число

и bUpOCG)*

- &(KG)+J>KG . Тогда:

1)

IZX.Q. € £(№ <=*Z 2<£« “ О

для

каждого

.

f t G

**

2)

S Z

еьК

ДЛЯ

каждого

.

3)

Если

х , ^ . е К С

, то

( х ^ У з

t^KG)) .

4) Xj,(KG) замкнуто относительно операции возведения в

jb-ую степень,

5) f c x *

О

для

всех

х fc bt(KG) .

ДОКАВАТЕДЬСТВО. I) Очевидно, что

* £ ( j ./l)K

для

всех

^ .Д е С

и,

если «ДО »-ДО л?'

. то

~

Каждый х € ДОС)

имеет вид

(D

и из

соотношения

следует,

что

для

каждого

■ iL tC . Обратно,

если

выполняется равеяство ЛИ of. - О

для

каждого

• t e c

.

r

k .

f - t u l « e )

,

j z x } ( 9 - i ^ ( j p ^ f ) i .

у* "-Л

у€ *ч

Следовательно, а с е

*d(KG) .

Аналогично доказывается утверждение 2 ),

3 ) . Очевидно,

что

( * + • } / - х(>- / =

2 ^

u , a t . . . u,M

(2 )

u L

-

14

-

где

каждое

равно либо

*

,

либо

и в

каждой

слагаемой вида

utu ii...u p

встречается

как

ас.

,

так

и

tp

,

Слагаемые получаемые

из

u ,u L...u.f,

циклическими

сдвигами, также принадлежат правой час­

ти ( 2) и

( u t ...u l) ( u U l...u f) - ( u

i+i. . . u l>)( u i. . . a L)

е

£ ( К 8 )

Поэтому, все

такие

слагаемые сравнимы между собой

по

m ocL %t(KG)

и их

число равно

р

. Разбивая

правую часть (2 )

на

наборы слагаемых

так,

что внутри набора все слагаемые получаются из одного циклически­

ми сдвигами,

получим, что

( ас +

w +р х ,

,

где

w e'st(K G )

и

х е К О

,

4 ) .

В силу 3) для любых элементов

х ,

^ с К(г

откуда непосредственно следует

утверждение

4 ).

5 ) .

Если

х

е & (№ ) , то

х

имеет

вид ( I ) и, если

, то

^ ^

, 1 = 1

.Следовательно,

1ъ х =

О

.

щ

Пусть

R

-

конечнопорожденное

коммутативное

кольцо без делите- /

левого

элемента

" b ^ R

можно

указать бесконечно много таких простых

чисел

ji

, что

для

каждого

р

существует

максимальный

идеал

М

кольца

R

со свойством:

Ъ £ М

И

^ / \ \ -

конечное поле

характерис­

тики р .

Этот

факт

понадобится

нам

для

доказательства

следующего ут­

верждения.

K G

ЛЕША 7 . (Рассман.

I )

Если

ОС

-

нильпотент

г р .к .

и по­

рядки

элементов

из S u p fjх

не

являются

делителями

нуля

в

коммутатив­

ном хольце

К

. то

след

fc. х

нильпотент.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Обозначим

через

п.

произведение всех

простых чи­

SuppJC

бесконечного порядка, тс

положим

n. = J

Пусть

jC = o£.*dCt<jf.<+... +/ s ^ s

и

fc. х

=

-

не нильпотентен

Тогда таким же свойством обладает и

nJ,B

, ибо

равенство ( n i . ) = О

противоречит тому, что п является

делителем нуля

в

К

. Так как со­

вокупность

всех яильпотевтов кольца

К

совпадает

с

пересечением всех

-

15 -

его первичных идеалов, то п ,£ ,% Р

Для

некоторого

первичного

идеа­

ла

Р .

Тогда

характеристика

ска г,К первичного

кольца

К

без

делителей

нуля

не делит

гь .

Пусть

с&аъ K/p=f> > О

и

Х.+Р= <£

.Т о гда

+

+...+ Z %y s

ненулевой

нильпотент г р .к .

и

з/ = 0

ддя

неко-

торопо

1

•

Согласно

предложению б

x

bt

h^1«.

kt

+

—

at

w

I

r*

Z * + . . .

£

t

и

h .v s=

О

, где

w e

^ .( * /p G )

•

так как

^

i

,

to

О =

fc.х / =

,

а

это

равенство

в

сольце

К/p

без

делителей

нуля

невозможно.

Пусть

c J u x .Z .^ /p -0

.

Если /?

подкольцо

K /p

,

порожденное

4 + Р

и

элементами

Z<

,

то,

как отмечено выше, в Я

существует

такой максимальный идеал

М

•

что

ftoCc

с Ai

и fy p j

-

поле

харак­

теристики

j> .

Тогда

ненулевой нильпотент

г р .к .

,

что

противоречит

ранее

доказан­

ному.

■

Канланокий методом теории банаховых алгебр изучил след идемпотен-

та

и доказал

оледувщую теорему,

упрощенное

доказательство

которой мож­

но

найти

в

работе Пассмана

[8] .

ТЕОРЕМА 8 .

Для

нетривиального

идемпотента

€.

г р .к .

K G

над

полем

К

характеристики

нуль

i t

g.

и все

его сопряженные

являются

действительней

алгебраическими

числами

и

,0 < tz e . <

/ .

Предположение Капланского,

что

i

t

е

принадлежит

простому под­

пол» поля

К

,

недавно доказано

А.Залесским

[i]

.

Пике мы приводим

фрагмент из его доказательства.

o ( f )

Зафиксируем простое

число

/>

и обозначим через

порядок

элемента

^

группы G

, 'полагая

при

этом,

что

о ( 1 ) * 1 .

Если

зс. = ^ ~ ’ J.. п

,

то отобюажение

Т ( х . ) жЦ>2 <Lq,

является

К -линейне

и

Г/эс.) называется

обобщенным

следов

элемента

х ,

,

Очевидно,

что

Т (?х.)~

f c x

и

для

всех

Х £

1 ( Ш ) .

ЛВШ 9 .

Если еАагК^р ,

то для

Т М( ^ ) Ж[Т 'Ш)(яс^

для всякого

хе.К(г *

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно предложению б зcP" * 2 ^ e * + w , где

?еС

* ®

^ с &(KG) .

Так как T <*J(*’)c O

и для

|э-элемента

o(y)nO(«f)p,

*о

T V ')

- И

4

T(i)( j ) * SZ 4

r <i+V

- [ та*%) *

*J?/*T ™ v

r = i T ал *> ]'

,

ТЕОРЕМА

10. След идемпотента г р .а ,

КС

над полем

К

принадле­

жит простои;

подполю поля

К

•

eAa%K*f*

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Д;сть g = T T ^ g ,

-

идеыпотент,

*

превосходит порядки всех

-элементов из

S ирр>е .

Тогда Т * ( € ) * 0

и на основании

равевотва

Т (^\е)*ТШ(е.Р)я[Т <1*(е)1^(i>i)

заключаем.

что

Т ^ е ) = О

. Согласно

предложению б

£х е « £х е^= Ьс С2

^

4

^ ) *

=*f/+TW(c)= (^хсУ* , а это покаэнвает,

что

fx e

принадлежит прос­

том;

подполю.

■

Доказательство теоремы для поля &

характеристики н;ль о помо­

щью теоретике числовой техники сводится

х

полю характеристики

Ь

(см .

работ; Залесского

[i]

) .

§3.

О ШШМШКЕСТВАХ КОНЕЧНОГО ИНДЕКСА

При иэ;чении свойств групповых колен нам понадобятся некоторые

факты из'теории групп.

Т из

G существуют

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если для подмножества

группы

'

к

такие

.

что

G*JUT^i, то

наименьшее

число

К

таких

элементов обозначим

через

[G:TJ

к назовем индексом

Т

в

G .

ЛЕММА I I .

(Пассман, М)

Пусть

- подгруппы группы

G

-

I?

-

и

S m U Hityi

.

Если

T

- такое

подмножество группы

G

,

что

1*4

Я

& - T U S

,

то существуют

такое

и

элементы

t

из

С

,

что

n

s i t = 0

(пустое

подмножество)

и

[G :T J<

(*+*) ! .

i*l

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим

элементы

методов индукции по к .

Для

к « а

утверждение

очевидно,

ибо

существуют

хотя

бы два

смежных

класса

по подгруппе

и ;

и их пересечение является пустым. Согласно

уоловию леммы

S+ G

.

Поэтому

существует такой

смежный класс

Hat* ,

что

Н & Ф

S

• Тогда

W

либо

пуото,

либо

равно

к

( и у е ^ с )

. Так

как

-п у с т о ,

ТО

Н{*НаП 5*{ “

и

7-‘

применимо индуктивное предположение. Поэтому существуют такие эле­

менты

, & ix .

ИЗ

H L

,

что

Ха6 к !

И

*"А / ’Н

с

*

Ртсюда

ж Ф

и в силу равенства

S®

имеем,

что

5 П ( . П 1 ) ' И ! к м д - Ф

.Тогда

элементы

I

и

* { A u 9 i

l»i

4 0

к

*

удовлетворяют

условию леммы,

число

их равно

.

t

'

W

Пусть

n > S x l= 0

и

G = T U S

. Тогда из равенства

G

=

-T-x^USxi следует, что

и в силу доказанной

части

леммы

[G '-T ]4 (« i)1

.

■

ЛША 12. (Вассман,

Ч

)

Пусть

-

подгруппы группы

Q

.

Тогда:

I)

если

G

покрыта

конечным числом

правых

смежных клас­

сов по этим подгруппам,

то

хотя

бы

одна из

подгрупп

Mi

конечного

индекса;

t

S * G

2)

если

S = l/Hi.U;

и

для

всех

, то

t»i

if

Гос.

публичная

Пусть

X ,

<■в/А

и

-

произвольный элемент из

X

. Тог­

да элемент

не

зависит

от выбора представителей

клаосов

X

и (I

, ибо любые два элемента яз класса отличаются на

элемент

из

центра

группы

С .

Пусть

а (£ )=

f ]

. Тогда из

равенства f ( M

n >

S r ] "

■ Ш ш '> Г » « •“

>*.

4,0

a ‘ , f a tf .r ~ a-‘.K a >,r-

Отсюда

< / .

a

w

)

:

^

a r t , r

s / ] a ^

r

%

r

e

a

w

a

(/*)

r n

Если

,

то

отсюда ввиду равенства

0 -^^=

i

получим,

что

a,((L)m- a ( X

m) * a ( i ) = i

, -Так как

Д

группа

без

кручения, то

а . Ш ж1

и в

силу ( I )

a /)(1 = 1

.

Следовательно,

• ■

ТЕОРЕМА. 1».

(

Нейман

)

Коммутант J*c

-группы является периоди­

ческой группой, а периодическая часть

конечнопорожДенной J o

-группы -

конечна.

Л ) *

( a * >i t )

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

£ ,

С =

- -

—

элемент

из

коммутанта

С

и

}-]=

,tz ± d l>

. Тогда по лем­

ме 13

существует такое

т

,

что

-А.

принадлежит

центру

группы И

и

с п ‘= ( о С , С ) . . . Х а ? Л П = \ -

Предположим теперь, что

G

- конечнопорождеиная

группа.

Тогда

полный прообраз

т

периодической

части

абелевой группы

B/Q'

ис­

черпывает все

элементы конечного

порядка

группы

G ,

поскольку

G -

периодическая

группа.

При

доказательстве

леммы

13

было

установлено

существование

в

центре

группы 1г подгруппы конечного

индекса

А

без

кручения. Если

C?d

cP (G ) и лежат в

одном

смежном классе

по подгруп­

пе А

,

то

е а= с / = ^

для некоторого

ГЬ

. Тогда

из

равенства

a c

= cI

следует

а ”= 1

,

что

возможно в

А

лишь

при

c t -

1

.

Следовательно,

P(G)

-

конечная

группа,

так как в каждом

смежном

классе

G

по

А