книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие

-

а д -

предыдущий случай) и по лемме

33

Vj,

изоморфеи как

ОД-модуль не­

которому минимальному левому идеалу У

г р .к .

К Щ

. Значит, сущест­

вует такой

элемент

,

что Ум-фО

и

Угг V i

,

00

, то V

Если

V = U V,

-

неприводимый

КС- -модуль. Каждый

X t K G

принадлежит

некоторой

г р .а .

КН{

,

причем

кольцо

KHi

дей-

атвует точно на V i^

. Поэтому

XVi-u*0 , а

отсюда

£ V * 0

и модуль

ность г р .к .

16G

не

всегда

зависит

от

примитивности

К

,

как

показы­

вает

G -

ТЕОРЕМА 36 . (Форманек, [I]) Пусть

свободное

произведение

не­

тривиальных

групп

А

и

В

,

причем

хотя бы одна

из

них

не является

группой порядка 2 . Если мощность коммутативного кольца JC

без делите­

лей

нуля

не

превосходит мощность группы

Gr

* *о г р .к .

К&

примитив­

но.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А » А Ч

,E « b v j

и |А|

-

мощнооть множес­

тва

А

. Согласно определению свободного произведения

групп А

и 6

каждый

элемент «^eG*\i

единственным

способом записывается

в

виде

9 яМ

§

где

A it А

или

В

,

а

любые два соседние

элемента

&i

и 'A in

( i - A

, . . . , s-i)

лежат в

разных

подмножествах

А

и В

.

Это -

несократимая

запись

элемента

у. и

&

называется

его

длиной.

Если

А

и

A j t f i

,

то элемент ц,

будем

называть

элементом

типаСА.В).

Аналогично определяются элементы типа (А,А)

, (Б ,В ) ,

(Ь ,А ) .

Пусть А

или В

-

бесконечная

группа.

Тогда можно предполагать,

что 1АЫ В/

и ввиду условия Щ Ш

можно задать взаимно

однознач­

ное

соответствие

V

между А

и й ( ? \0

. Пусть <^(а)

-

элемент

группы

G

максимальной длины из

SuppVia)

, а

4

-

фиксированный

-£ <f,(c )o + 4 '(ci)al +1

,

если с^(сь)

типа (А,В) или <^(a)’* i ;

'B f / ( o ) £ a + 'f /( a ) £ o £ + i

,

еоли ^ ( а )

типа (А ,А ) ;

^ ( c O A a i U e f f a ^ a + i

,

если

^ ( a )

типа

( В ,А ) ;

4'(ct)tt&+ ct Vla)tt+ 4

,

если

i^.(a)

типа

(В ,В ) .

-

41 -

Если

x t K C

и элементы из

Suj>px~f(a)

представлены в

несо­

кратимой записи,

то

элементы максимальной длины из

Sup}>x'f(a)

за­

канчиваются

на а

или

а{> .

Поэтому для

различных

о 4, . . . , а к С Л

равенство

I жэс< ^ ( а 4)+... ** x.Kf(a K)

невозможно,

так

как

при W

элементы максимальной длины из S u f

> f

> и £uj>|> 3Cj.~f(«f)

различны, Тогда левый идеал М

,

порожденный

•ffa)

,

где

a

-

про­

извольный

элемент из

i

, не

совпадает о

KG .

Пусть

О+У

-

идеал гр.к.

КС

и

осе У

. Тогдаоущеотвует

такой a

,

что ^ (a )« x

и

-f(a)

можно представить в виде

'4 (а )-% 1П а )* 1 +

*вУ (а)«* + 1

( * i t £ G )

Отсюда У+М»К6

и

Кб - примитивно.

"Иуоть

А

и &

~ конечны. Тогда

согласно условию теоремы можао

предполагать,

что

и

/Б[

>2.

. Йафиксируем элементы

a e i

,

-fi,e е Е (С+с)

. Тогда гр.к.

КС

является

бесконечным счетнш мно­

жеством и

- все

ненулевые

элементы

KG » а

~

элемент максимальной

длины из

Supf>"Zn .

Обозначим

через*!я

:

' i ’ba c (a i)+ x Ma t(ofc)a-bi

,

если <^(а)

-

типа (А,в) или у ( a)* i

j

4 г„ с (а£)л+Тп с (a t)1a

+1

,

если

- типа (к,А);

'**£ (ак)Ла+атлС(а1)% i

,

если

<j(o)

-

типа (Ь,А);

Ч.пвс(а1)'а + аЪлас{лЬ)%1

,

если у.{а)

«

типа (6 ,ft) .

Тогда элементы максимальной длины из

5uf>f> x~fn ( x t K G )

закан­

чиваются на

С(«*.£)*

или

на

c(ai)"a

и,

как в предыдущем случае,

левый идеал

М

,

порожденный -Д (л=Л,1,.« )

,

не совпадает с

КС

и M+J/=KG

Для любого ненулевого идеала

У

гр .к .

КС

. Следо­

вательно,

КС

-

примитивно.

■

Доказанные теоремы показывают, что гр .а. неабелевой свободной

группы всегда является примитивной и каждую гр.а.

КС

можно вложить

в примитивную гр .а. К(Я*С), где

H *G

-

свободные произведения бес­

конечной циклической группы

Н

и группы

G .

Известно,

что коммутативное

примитивное кольцо является полем.

КИ абелевой

-

42 -

Поэтому г р .а .

группы

Я

не является примитивной, в

если

G -

конечное

расширение

Я ,

то

согласво теореме А.Розенбер-

r a [i]

г р .а .

JCG также

не

првмнтивва.

Следовательно,

если

G сво­

бодное произведение двух циклических групп 2-го порядка, то

№ -

не

примитивная алгебра.

G -

MG)*l

Отметим,

что если

полициклическая

группа

и

,

то

по теореме

Оасомана

[5]

г р .а . К О -при м итивна, если

степень тран­

це ндентности поля

К

ве менее ранга

группы

G .

Если

К -

поле

без

трансцендентных элементов, то по теореме

Роуэбиата

ВД

и Ф.Холла каж­

дые неприводимый

£ 0 «модуль является конечномерным,

что влечет за

собой

вепримитивность г р .а .

JCG- .

§9.

РЕГУЛЯРНЫЕ ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА

ОПРЕЛЕДЕНИЕ.

Кольцо

f t

о единицей

называется

регулярный,

если

уравнение

а х а - о .

разрешимо в

Л для любого

c t t

ft .

Очевидно,

что

условие регулярности

кольца

эквивалентно

условию,

ствительно,

из равенства

а ^ а « ц

следует, что

е » ^ а = е*

и

Лчш

- f t e

. Обратно, из

равенства

Ла~Ае

следует,

что

в - = ^ а

и

а е =а .£ а

. Тогда

< х = а е = а £ а

и кольцо

f t

-

регулярно.

ДОМА 37 .(Дж Нейман)

Каждый конечнопорожденный левый идеал ре­

гулярного кольца являетоя главным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Очевидно,

что

утверждение

достаточно

проверить,

когда

.

Пусть

Я а

порождается идемпотентом

e t

,

а

f t £ 0 - O

- идемпотентом

ftt

.

Тогда

иэ

равенства

^ “ ftfej+ftfcCi-O

следует, что

е1е 1« 0

и

е ^ е ^ + е ^ -

- идемпотент, который .’по­

рождает левый идеал

М -

ДЗША 36 . Пусть

свободный модуль о базисом

над регулярным кольцом f t

. Тогда любой коиечнопорожденвый подмодуль

N модуля М выделяется

пряма!

слагаемым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пои

n*i

утверждение леммы являетоя

следствием

предыдущей леммы.

Пуоть

X t *CEI Л

ц

-

образующие

элементы под-

модули

М

■

“

т-

f t £ u

порождается

идемпотентом

JV

. Тогда левый идеал X

Г 1

'

Пусть М 'ш5 0 В д с и

ftl* . Тогда ^ « ^ £ [ £ * 1 -

Eoav

L •‘&U -&)ffi ® L

, to

M=L®M

.Действительно,

если

осе £.+А?

.Пусть

•~+<£n.^ll £

LflN

.Тогда

« 4 0 ^ ) 4

. Отсюда X t=0

и

L f l N - 0

,

Следовательно,

A f - L

e # .

■

Ауслевдеру, Вильямайеру и Конвелу принадлежит следующая харак­

теризация регулярных

г р .к .

ТЕОРЕМА 39 . Г р .к ,

К С

тогда и только тогда регулярно, воли

группа

G

локально

конечна,

кольцо К

регулярно я

порядок каждого

алемента

из

группы

G

обратим в

кольце

К .

ДОКАЗАТСТЬОТВО. Пусть г р .к .

KG

регулярно

и

Н

-

подгруппа

группы

G

, порожденная

элементами

. Тогда в силу тож­

дества

a e ^ -l*

левый идеал

УДН) порож­

дается

элементами

“k i^

,

а

по лемме

Неймана

^ ( Н )

порождается идемпотентом

е

. Поэтому i - e

принадлежит

правому ан-

нулятору

HfCli)

и по

предложению 2 подгруппа

И хонечна.

Пусть

Н = <А>

-

циклическая

подгруппа

порядка

п,

.

Тогда из

равенства

( c tc K G )

следует,

что

i - a ( i - K )

принадлежит правому

аннулятору Jj^OO

и по

предложению 2

i - a ( i - A ) =

~Ц +6.+ ...+ § Г ) *

( * * К С ) .

Применив

к

предыдущему равенству

гомоморфизм

JC

гр .к .

К С

получим

п-ХС31) .

Следовательно,

^

-

обрвтим в

К

и

кольцо К

регулярно,

как гомоморфный образ K G

,

Для доказательства

обратного

утверждения

достаточно

проверить

-

44

-

регулярность

г р .к .

£ G

, когда

G

конечная группа.

Пусть

—

-

конечнопорожденный левый идеал

г р .к .

К С

.

Тогда

К -модуль

У

порождается элементами

{«рцД cj,е С ^ и

по лемме

58

г р .к .

K G

как

К-модуль разлагается

в прямую сумму:

K G = y ® W

. Если мы покажем,

что

К-модуль N

можно подобрать

так,

чтобы он

был левда

идеалом

г р .к .

K G , то

и

У

порождается

идемпотентом

е.4

,

а

отсюда следует регулярность кольца

Каждый элемент

допускает

представление

.

Тогда

отображение

является

К -линей~

н ш ,

а

для

каждого

tye.G

отображение

Т^: х - *

jo a -

автоморфизм

ад­

дитивной группы

г р .к .

KG .

Так

как

порядок

гь

группы

G

обратим

в

К

,

то

S . i - S

T

^

r r -

есть

К -линейное

отображение

K G

KG

jtG

?

”

. Да­

В

,

причем

S(R G )- У

и

для

каждого

3

лее,

7^-1 STil.

T

q

t

f

Y

T

f l

- S '

в

силу

того,

что

<j$

пробе­

гает

всю группу

G при фиксированном

7L

. Из предыдущего соотноше­

ния следует, что

S>

и

5Г

коммутируют

с

.

Следовательно,

в

прямом разложении:

K G = STCJCG) ® ( Ь * ) Ш ? ) » 3 e ( i - S X B G ) М о ­

дуль Q - W G )

является левым идеалом.

В

§10 .

БИРЕГУЛЯРНЫЕ ГРУППОВЫЕ Ю Д Ш

Кольцо называется бирегулярным, еоли каждый его главный двусто­

ронний

идеал порождается центральным идемпотентом.

ТЕОРЕМА 40. (Бовди % Миховски,

I

)

Г р .к . JCG

над коммутатив­

ным

кольцом Ю

тогда

и только тогда бирегулярно, если кольцо

К

би­

регулярно,

группа

G

локально

нормальна

и порядок каждого элемента

из

G

обратим

в

К .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отображение

•« 9

4CGXj,

является

го­

моморфизмом г р .к ,

КС

на

кольцо

К

. Если г р .к .

KG

- бирегуляр­

но,

то

для

каждого

главный

двусторонний идеал

K G ( i - f) K G

-

45

-

порождается идемпотентом е

и

не

совпадает с KG

,

так

как он

при­

надлежит ядру

гомоморфизма

X

. Поэтому

Х (ь) = 0

и

C tb tK G )

. По теореме

27

-

конечная

нормальная

подгруппа

и х

можно

записать

Н У

' . x i «i

,

где

,

в виде: x « T

t .4

x i eKM к

v t t

П (G/ h) .

Тогда

1 -j sa5I!Ce-3C-t)'®'v

. Отсюда

t^e.14

,

так как в

противном случае

i = e x *

, что

невозможно ввиду

равенства

Из равенства j-j,= e - x

следует,

что (Д-е)(1-ср) - О

, а

отсюда,

в

силу

предложения

2, i-e .= (l+ f+ —+cjt l )yL

f

где

£,

_

порядок

.

Тогда 1“ £ (1 -е } = Х С 4 -1

.

Следовательно, порядок

обратим

в

К

и кольцо Ю бирегулярно,

как

гомоморфный образ г р .к .

к?с .

G - локально нормальна и порядок каждого

Пусть

элемента

из

G обратим в

бирегулярном

кольце 1C .

По предположению

Ю

-

ком.

вательно,

кольцо

К регулярно и по

теореме 39

г р .к , #G

регулярно.

Для

каждого

xeKJG Supf> эс.

содержится

в

коненной

нормальной

подгруппе

группы

G . Поэтому орбита элемента

х

относительно груп­

пы внутренних автоморфизмов

группы G

содержит только конечное

чис­

ло

элементов

... , x v

. Тогда

K G x K G -K G x 1+.--*-KG3c.^

,

и по лемме 37 идеал

KGx,HG

порождается как левый идеал

идемпо-

тенгом

е. .

‘

Покажем, что

е

центральный идемпотент.

Действительно,, посколь­

ку

1CG& идеал,

то

e,R& — K G e.

. Согласно лемме 37 для

a t K G e .

идеал

yJCG+ e.}CG

порождается

идемпотентом

у

. Тогда

JtK G e. и

= /

.Д а л ее ,

t K G ^ j K G

, огхуда

J e

- e

.Следовательно,

ж e-K £ = IC G e

, что

доказывает

центральность элемента

Ь .Щ

§11.

СЛЕИ ИДЕАЛА

Пересечение идеала

У

г р .к .

K G

с

подкольцом ЮН

называет­

ся

следом идеала Щ на подкольцо

КИ .

Изучение

следа идеала

представляет самостоятельный

интерес и применяется

при исследовании

ряда

свойств

г р .к .

Изложенные

ниже

результаты

принадлежат

А .Залес­

скому [а] .

у

Н

Ограниченные автоморфизмы.

Пусть

-

автоморфизм

группы

и

H

M

i t H

! * ( « « * }

. Тогда

называется

ограниченным автомор­

физмом,

если

< о*> .

Ввиду теоремы Пуанкаре

о

подгруппах ко­

нечного

индекса,

множество всех

ограниченных

автоморфизмов

сЛгШ)

группы

Н

является

группой. Очевидно,

что

подгруппа W

из с М Н ) .

оставлявшая

инвариантной нормальную подгруппу

Н*

группы

Н

, ин­

дуцирует

группу

ограниченных

автоморфизмов

на

группах

Nt

и

.

ЛММА 41. Пусть

И

-

абелева

группа

и

б

-

неединичная разре­

шимая подгруппа

группы оТг(Н) . Тогда для любого

tj,£

<&(И)

под­

множество

является конечной подгруппой и И

об­

ладает

неединичной

конечной

G -инвариантной

подгруппой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отображение

Т£(&) = ^ (£)&'*

есть

гомоморфизм абе­

левой группы

Н

в себя, ядро которого совпадает с

и

•

Тогда

S f

-

конечная

подгруппа

группы

Н

,

так

как

ф

ограничен­

ный автоморфизм.

Поэтому группа

U

содержит

элемент

конечного

по­

рядка и существует такое простое число

^

,

что

подгруппа

Jlj,

,

состоящая из всех элементов порядка

f>

,

отлична от

единицы.

Группу

Hj,

нам

удобно

трактовать как векторное пространство над полем

Ю

из

f>

элементов

и в дальнейшем мы будем применять аддитивную запись.

Тогда

является

JSG «модулем,

так

как она

6

-инвариантна.

Проверим методом индукции по классу разрешмости группы G

на­

личие в

Н/,

ненулевого

конечного

6 -модуля.

При этом можно предпо­

лагать,

что

Нр

не содержит таких подмодулей, элементы которых

не­

подвижны относительно

группы

G ,

ибо в

противном

случае

утверждение

очевидно. Поэтому для

некоторого

<jf.cG

подгруппа

{ * < в - м

4l с Ц,}- ф о .

G абелева,

Очевидно,

если

то выполняется

равенство

и

является

конечным

G «модулем.

Пусть

G '

-

коммутант

неабелевой группы. G .

Если

о + V

*

I

= &

для

всех

,

то

V

конечный

G

-модуль,

ибо

для

<^fcG

-ч* )* $ $ (&

- 47

-

^

. В случае,

когда V

-

О

, группа

(?'

действу­

ет без неподвижных элементов на Uf,

и , в силу индуктивного предполо­

жения, существует конечный неприводимый

G*модуль

id .

Пусть

G

состоит из всех таких элементов

»

что

(? '.модули М

и

jA i

изоморфны.

Тогда

<iM

- вполне

приводим и является

прямой

суммой

Пусть

-

G'-изоморфизм

и M * V ^ x ^- x ^ x

t ^

J" ,

где

X е С ' . Тогда

5 ^

» {*№ )-$. | £

£

^

Отсюда, в силу конечности

S r

*

модуль

L

содержит

только

конечное

число прямых слагаемых и является конечна*.

Группа

G

действует

как группа

подстановок на множестве

X *

I ^ £ ГКр/G*)

»

а

ее

подгруппа

G*

действует

тождествен­

но на

X

и

G * s G ‘

. Тогда

для любых

и

* t X

$.«|.'(ас) =

= ^ ( с с )

и

f(^L)< = t^!L + S j,

• в силу

конечности

элемент

смещает

только

конечное

число

символов из

X

• Следовательно,

множество

{ a a 'L

| а е. С ^

-

конечно

и T~l g a L

- конечный

С -мо­

дуль.

■

'

С

Пусть Н

-

подгруппа

группы

.

Положим

Очевидно,

что при

С * Н

подгруппа

Sb(,(G )-A (G )

Пусть A °(G )=A (G )

и для

каждого

порядкового

числа

X

опре­

делим

индуктивно

группу А (б )

.

Если

X

-

непредельное, то

Д Ч е )

является полным

прообразом

группы

при естественном

гомоморфизме

С - *

,

а

Для

предельных

X

- A*(G)«U

Тогда

подгруппа

E(G)x U A \G )

называется

А -радикалом

группы

Сг .

ЛЕША 42. Если ненулевой идеал

У

г р .к .

KE(G)

инвариантен

относительно

внутренних автоморфизмов

группы

G

, то

У П В Д » * о .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

Д*=Д*(6)

,

^

- идеал г р .к .

ЮДХ

и

. Предположим, что для всех

каж­

дый идеал

У

г р .к .

К/Дл

со

свойством

[б *6(У )]

<

имеет

ненуле-

-

48

-

вой

след

н а -тр .к .

К Ь

и

существует

такой идеал

У

г р .к .

КДЛ'

,

что

К Д П У = о

И ГС*С(Ю]

■С оо

,

Тогда jt>

непредельное

поряд­

ковое

число

и

элемент

« еУ

допускает

запись:

4

^

,

где

J k * K h M

и

-

представители

смежных классов

группы

по

подгруппе

А*’1 .

Покажем,

что

среди

ъ

,

обладающих

свойством

JLf+O

и

£

-

наименьшее,

существует такое,

что

Л.АьКЬ. .

Выберем

так,

что

ХйФО

и

£

-

наименьшее.

По определению

А* подгруппа

S -

конечного

индекса в

С .

Тогда множество всех

ненулевых

элементов

вида

Т " 1.

из

У

,

где

о с ^ с К Д * " *

и

Sc e

£» П G ( y ) .

име­

ют

запись

такой

же формы как

't

,

Очевидно,

что

элементы

5Г-.

c: .vt 4

y

: <’•/'

И

нуль

образуют

идеал

У,

г р .к .

1С£?1 и

в

силу включения

S n G ( S I ) c e ( ! U

. По индуктив­

ному предположению

& 0 К Д + О

«

v

можно выбрать

так,

что

0 * 4 G КД •

.

’

, 'С

? Г л / о - \

'

под­

Пусть

S u t y l^

{ £ „ £ „ » .£ * ) ■

* П С в ( * 0

. Тогда

группа

P*SnCnG(W

имеет конечный индекс

в

(г

,

каждый

& еР

перестановочен

с

<ft

и

-

£

У

■Заражение в

квадратных

скобках

принадлежит г р .к .

КД*’1

и равно

нулю. Действительно,

если

элемент

(

£ т £ - т ) д £ 4

о

*

то его

длина

по

mod КA?1 j1 меньше

чем

£

,

а

это

невозможно.

По­

этому

ж

£

1 М55

ВСех

^ 6

Р .

Отсюда

Su.pl> 4

^ i

ж

-Л 'Ч Su[>f>£ifi)&

и» учитывая

конечность

индекса

подгруппы

Р

,

за­

ключаем,

что

каждый

элемент

из

S u jfJ iq t

обладает

конечным

числом

сопряженных.

Следовательно,

”к «=К А ,

что

противоречит

предположению

У П К А - 0

• .

Я

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

43.

Если

Н < 6

и

Н - Е ( Н ) ,

то

каждый

ненулевой

идеал

У

г р .к .

№

имеет

ненулевой

след

на г р .и .

* 3 % ( Ш .

ДШСАЬАТЕЛЬСТВО. Пусть

тг= 4

+ XL X t f

{ (о * 1^К У ,

П(%)

-

-

49

-

такой

элемент из J/

,

что

i

-

наименьшее. Если

(<£*)

-

идеал г р .к .

W

,

порожденный

f a

,

то

по лемме

42 существует

iml

I

«.

( А )

П Ш Ю .

Тогда

‘K“ ^

3Ct '* y i = A‘+ !<Ejf a f i

(

/Ч « К Н

)

такой

элемент из

У

,

что

£

-

наименьшее

и

fa ziC L

.

Поэтому при

t

“ i

утверж­

дение

доказано и рассмотрим случай,

когда

t >

i .

Пуоть

С -

централизатор

элементов

из

S

fa

в

G

.

Тог­

да

для всех

&

из

С

»

в

силу выбора

'К1

,

элемент

~

fa h ik y .ifc - fi) -

Р>%~]

=

О

.

причем выражение в

квад­

ратных

скобках

принадлежит г р .к .

КЦ

. Отсюда

для всех

С,

к

Ь

и для

каждого и- с

S ujtftfa fli

элемент

fC u k

«

£

S w

^ ^ .

.

Следовательно,

[H*Cfl(u)]<' оо

и

KS&e CH) .

так как

[Н *С ]<<х>

.

■

G

TE0PEMAJ44,

Каждая разрешимая

группа

содержит

такую нормаль­

ную подгруппу

Т

,

что £(Т)»Т

и

(Т) S? Т .

След каждого

нену­

левого идеала гр.к-.

на

г р .к .

K & (j)

не равен нулю.

ДОКАЭАТЕЛЬСТВО.

Пусть .f*(G)

-

последний отличный от единида

член ряда коммутантов

группы

G

.

Определим-индуктивно

последователь-

ноств подгрупп

Т (1>

так:

Т Ш~ вЧС)

,

а. для

T

^ T

t0H i >

где

H i

» прообраз в

С(Т 10)

группы

.

Тогда

последовательность

{ т ш}

стабилизируется

на

некотором

номере

fit

,

не

превышающем длины ряда

коммутантов группы

G .

Если

Т -

» T (W). TO T4G

и

S6c(T )sT .

Очевидно,

Е (Т(Л) = Г"

и предположим,

что

£ (Т <1)) * Т <У

Каждый элемент из

S6g(TW) индуцирует ограниченный

автоморфизм

нормальной подгруппы

7 * ^

. Ото соответствие

задает

действие

разрешимой группы

§0g(Tw)

на

группе

. Если к фак­

торам ряда коммутантов

группы

T (v)

применить лемму 41,

то получим

в

T W

возрастающий

нормальный ряд

T ^ s T ^ e . . ;

со

следующими