книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие

-

5 0 -

свойствами:

является

96fi(T w)-Hнвариантной и

ли-

бо конечна, либо все ее элементы

неподвижны относительно

группы

St)r

( Т ы ) ,

Тогда

Т СЧ)= U Дг ( т № )

в

силу

условия

E (T l'° ) * T W).

Если Э&у- нормальная

подгруппа

группы

,

порожденная

Л т ^ Т ^ Л А ^ Г » ) )

. то Я ]. 4 Г ' *

и

С

А

( ^

/т * * ).

Поэтому

Г

Ъ Е (Т < ~ > )

и в

силу

коммутативности

/ Т

^

имеем,

что

E ( T lv,1>)

" Т * '* 15

•

Следо­

вательно, £ ( Т ) - Т

и

^

С( Т ) = Г

.

Тогда

<=6С(Т ) = А ( Т )

и по

предложению 43 след каждого идеала

У

г р .к .

KG

не

нуль

на г р .к .

К А (Т ) .

■

§12.

ДЕЛИТЕЛИ НУЛЯ И КОЛЬЦО ЧАСТНЫХ

С групповыми кольцами тесно связан более'общий обьект

-

скре­

щенное произведение

группы и

кольца. Оказывается, что многие

свойства

г р .к .

остаются

справедливыми

для скрещенных произведений, а

окрещен­

ные

произведения полезны в задачах, относящихся

к г р .к .

Пусть

G

-

произвольная

группа, а

К -

ассоциативное

кольцо с

единицей. Предположим, что задано однозначное

отображение

S '

группы

G

в

группу

автоморфизмов

кольца

К

и

семейство

обратимых

элементов

кольца

Ю

,

причем

удовлетворяются

соотношения:

Р

<?

.

Р

Р ?1<Г

•

r f (}a^ ra

ГП

дня

всех

и

e- d

. Семейство

§

называется

системой

факторов.

i j,

Поставим

в

соответствие

каждому

элементу

символ

и

рассмотрим

множество V

всевозможных сумм вида jtG

Г

?

,

в

каждой

из которых лишь конечное число коэффициентов

отлично

от

нуля,.

Равенство

2 3

LX*. = X

L /S .

*

имеет место тогда и только

тогда.

« с

*

*

когда

для

всех

tj.eG

. Множество \ J превращается в ассо­

циативное кольцо, если операции сложения и умножения определены

следующим образом:

j t c

» »

ty-fij.

= 2 3 t .

r

(.X-f* f t f )

j< 6

'

*

g ta

«

•

закона дистрибутивности,

Это кольцо называется скрещенным произведе­

нием

группы

G

и кольца

К

при

системе факторов «g и отображении

6Г

и обозначается через

Если

6^

отображает

группу

G на единичный автоморфизм кольца

1C

, то

скрещенное произведение

(£ > ^,< £ ,6 -)

называется окрещенным

групповым кольцом и его будем обозначать через

( б , К , § ) . Кроме то­

го,

если

система

факторов

§

единична, т .е .

для всех

Из соотношений ( I )

следует, что

(С»

и

а . г

При помощи этих равенств легко проверить, что

t i $ /tl

есть единич­

ный элемент

кольца ( в л ? , г )

И

При изучении

свойств

г р .к ., в

частности.,

наличии

делителей

ну­

ля, оказывается полезна*

следуш ее

замечание.

ЛЕША 45.

Если

,

то г р .к . К б

изоморфно скрещенному

произведению

г р .к .

т

и фактор группы

С/н

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть группа

G

есть

расширение

своей

нормаль­

ной

подгруппы

И

при помощи фактор-группы

^ /ц ж

. Тогда

G

однозначно

определяется системой

факторов

\а ,* ж % > « = Н

и отображением

&

группы

G/ц

в группу

автоморфизмов группы Н .

Продолжая

6*(а )

до

автоморфизма г р .к .

КН

, мы получим,

что

в" —

отображение в

группу

автоморфизмов

кольца

K>U

и, в оилу овойств

расширений,

£

и

6“

,

удовлетворяет

условиям

( I ) . Поэтому, скре­

щенное произведение

изоморфно г р .к .

JCG .

■

Ниже

обсуждается

предположение Капланского об отсутствии делите­

подчиненная

условию: а.г.%

влечет o f t t y

для всех

, то

группа

G называется правоупорядоченной.

Если кроме того,

влечет

для всех

, то G называется упорядоченной.

ТЕОРЕМА йб. (Бовди, 2

)

Произвольное

скрещенное

произведение

( с д « , < г )

правоупорядоченной

группы G

и

кольца К

без делителей

ные обратимые элементы ( т . е .

элементы вида t^ £ .

, где

^ .e G

*

€

- обратимый

элемент кольца

К

)•

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

ос = £ 1 ^ .< 4

л

&

. Если

,

ТО

—

. Пусть

-

наименьший

элемент

среди

i < « )

, а

-

наи­

больший

среди

.

Тогда

, если

или

( а - ,ч ) ,

и

элементы

и

t#

X ^ tg . A a

в

произведении

не могут

сократиться. Поэтому

Ч

*

И, если

,

то

и

ос =

.

В

правоупорядочены.

Если группа G

СЛЕДСТВИЕ. (Бовди,

I )

обладает

нормальной

системой с абелевыми факторами без кручения,

то

гр.а-.

JC&

не со­

держит делителей нуля,

G

СЛЕДСТВИЕ. (Лихтман, Форманек) Если группа

без кручения

об­

ладает такой абелевой нормальной подгруппой

И ,

фактор-группа

по

которой циклическая,

т о г р . а .

КG без делителей

нуля.

Действительно, как показал Форманек, указанная группа является

правоупорядоченной.

■

А .И.Мальцев выдвинул

предположение о влокимости

г р .а .

правоупо­

-

53

-

ЛЕММА 47.

Пусть

( С ,К ,? ,г )

-

«крещенное произведение группы О

и кольца

К

;

Я

-

нормальная

подгруппа группы

G

.

Если

подколь­

цо

(Я ,К , §,<?')

обладает телом

правых частных

Т

> то отобракение

.

где

е

( Я , К, $,«“) ,

^.eG

, является автоморфизмом

тела

Т .

Утверждение леммы непосредственно следует из

того факта,

что

отобракение

ос—

является

автоморфизмом

кольца

ЛЕША 48. Пусть

(G,16,s,e“)

-

скрещенное

произведение

группы 6

и кольца

К

,

не содержащее

делителей нуля,

a

U

- такая

нормальная

подгруппа группы

G

,

что

G/ц

_

абелева

группа

о

конечным

числом

образующих. Если существует кольцо правых частных

L

кольца

(G,&,<?,<!■■)

относительно подкольца

(# ,# ,$ ,« “)

,

го кольцо

L

не-

терово.

_

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

G/д * <<24>х<«Еа>х... *<£t >х Н«

и

W

,

где

U,

- конечная абелева группа,

-

. _...........

_

...........................

) .

Обозначим

через

w

, Н*

- соответственно полный прообраз подгрупп

W

*

Н«

в

группе

G

,

а

£

-

один из

прообразов

элемента

в

группе

G .

Каждый элемент кольца

правых

частных

L ,

кольца

отно­

сительно подкольца (#>$>§>8*) можно представить в

виде 2

^

tjf* ,

где

S-i

-

представители сиехных

классов

группы

Н«

по подгруппе Н ,

^ е.

Так как

L ,

-

конечномерное векторное

прост­

ранство над телом правых частных кольца

(fW,D, ? ,6 “) ,

то

L t

кетеро-

во. Предположим, что

кольцо

правых

частных

L*,

кольца

lW

относительно

подкольца

(И ,#,?,& *)

является нетеровым и докажем, что

L

нетерово.

произвольный правый идеал

кольца

.

. Тогда,

в

силу

Пусть

У -

L

леммы 47,

каждый

элемент из

можно представить в виде

ос *

“ S

“

,

где c ^ e l L

,

Cs * 0

. Элемент

С,

будем

называть

"Ч-Лгце

старшим

коэффициентом

элемента

ос

.

Множество старших

коэффициентов

-

54 -

у элементов, принадлежащих к

2/

,

составляют

правый идеал

У«

коль­

ца

La

. Действительно,

если

^

-

старший

коэффициент элемента у.

и 1?.

определяется из равенства

J}fL=cLS

,

то

имеет

старший коэффициент

c^t

и если

v e i ^

,

то

имеет

старший коэффициент

с ,\»

.

Так

как

Lt

нетерово,

то

У„

обладает

конечной базой

,

Пусть

act

-

элемент

правого идеала

У

со старш е

коэффициентом

а.^

,

причем можно

предполагать,

что в

за­

писи

элемента

участвуют только

t j «.

(

a > o

)

и

имеет

старшим членом

b itjm .

(

m.

-

одно

для всех

i

) .

Обозначим

через

У*

правый идеал

кольца

L

,

порожденный эле­

ментами

Если

х

-

произвольный

элемент

идеала

У

,

то

существует

такой

элемент

eiК ,

что в

записи

элемента

ty*

vc-t^*

участвуют

только

t ^

,

п > о

,

и предположим,

что

й р

-

старший

коэффициент

элемента

у.

.

Тогда

,

где

^ e L % , и

если

|з ^ т ,

,

то

^ .-2 ^

а

ч я в л я е т о я

элементом правого

идеала

2/

,

в

записи

которого участвуют

лишь

базисные

элементы

tj?

.

) . Повторяя

это

рассуждение,

получим,-что

(rrto d H t ')

,

причем в

записи

i r

участвуют

(

O

i п. 4

я - (

) .

Множество

24

элементов идеала

У

, являющихся линейными комбинаци­

ями элементов

( 0 £ r t £ i n - i

)

образуют

правый

Lg,-модуль.

Этот

модуль обладает

конечным

L 2 -базисом

, так как мно­

жество

старших

коэффициентов

снова

является правым

идеалом кольца

L t

к можно повторить предыдущие рассуждения. Если

У & -

правый идеал

кольца

L ,

порожденный

а с ,,...,

х.а

,

то

=

J /,

.

Следова­

тельно,

У3= У

.Лемма

доказана.

■

ТЕОРЕМА 49. (Мальцев-Нейман, Бовди

3

)

Пусть

группа

С

об­

ладает

такой

нормальной

подгруппой

Ы

,

что

-

упорядоченная

группа,

а

М

обладает

возрастающим

нормальным

рядом

с

факторами,

ло­

кально-конечными

над

своим

центром.

Если

(

G

, D

, - произвольное

скрещенное произведение группы

С

и

тела

D

,

а подкольцо (Н .Д ? ,г)

не содержит делителей нуля,

то

(G,D, s ,< r )

можно вложить в

тело, а

подкольцо Ш

А ? , < 0

обладает Телом правых

частных.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

i - H p H ,'21— <= Н* =Н

-возрастаю ­

щий нормальный ряд группы

U

,

причем факторы

- локально-ко­

нечные группы над своим центром.

(о< Ы t )

.

Покажем,

что

кольцо

обладает телом правых частных.

Так

как

для

коль­

ца

индуктивное

предположение выполняется,

то можем

пред­

полагать,

что

кольцо ( н г А ? ,< г )

обладает

телом

правых частных

L f

для

всех

Г<-£

,

причем

эти

тела

вложены друг в

друга.

Если

Л

- предельное порядковое число, то теоретико-множествен­

ное объединение всех

является

телом

правых

частных

коль­

ца

0 и А ч >

* ) .

Если

же

существует

£ - 1

,

то

существует

тело

пра­

вых

частных

L£ _t

кольца

( H ^ D

, 3

, 0

♦

Рассмотрим

множество

S

всех

конечных

сумм

U

p

t

t

i .

где

x

i >

!

■>&>*»*&')• 4 i

е П (^ х /ц ^ {)

-

представители смежных

клав--

сов

группы

по

подгруппе

ц *

.П усть

W £ ( 4 m 4D ,? ,* ')

и

Еслв

в

теле

, то в

силу

леммы 47,

в

шожестве

£

можно определить

умно­

жение

так:

и

^

£ / 7 ^ .

Тогда, если предполагать, что

тогда

/

_

•£

для

всех

e

, то по от­

и только

тогда, когда

ъ

ношению к

естественному

покординатному

сложению и введенному

умноже­

нию

£

будет

кольцом.

Каждый элемент кольца

можно пред­

ставить в

виде

»

где

А

? > 0

*

i-i

с

n

f a

l i f a )

и

( £ * А

? » 0

будет

подкольцом в £>

. Далее,

так

как в

теле

L ^ .t

вых частных кольца

относительно подкольца

и по этому оно не содержит

делителей

нуля. Покажем, что

кольцо &

удовлетворяет условию Орэ,

т .е .

для любых двух ненулевых элементов

с

S

существуют общие

правые

кратные. Пусть

за »

и ^=Е1 £,г «'l

. где

cO U ot»,?,® ")

;

/ 7 ( ^ * / Н д ) • Обозначим

через Р

подгруппу

группы

*

порожденную элементами

и группой

. Тогда

Р / ^ - 1 - абелева

группа

с конечным

числом

образующих

и

,

UV*

принадлежат

кольцу

правых

частных

i ’t

кольца (P j &>SSgO

относи­

тельно подкольца

В

силу леммы

кольцо

£ 4

нетерово,

ловие Орэ. Следовательно, кольцо

обладает телом правых

частных

S a .

Аналогично иожно показать существование кольца

правых

частных

S a

кольца

( Ч с А * > * Э

относительно

подкольца

( Z

/ , D

, ? , 0

• Коль­

цо

не

содержит

делителей нуля и является

телом.

Действительно,

если

. г д е

Л ( UV

z A)

. а

М -

подгруппа группы

С

.

порожденная Z j;

и элементами

,

то фактор-группа

Л/ j ^

конечна и

ас.

является

элементом

кольца

пра­

вых

частных

Si,

кольца

относительно

подхольца

( Z ^ j D .9»®*)

•

Кольцо

является

конечномерным векторным прост­

ранством над телом и не обладает

делителями нуля.

Следовательно, х -

обратимый элемент

и

S4

является

телом

правых частных кольца

(Н* , 0 , <*,^0 • Таким образом, подкольцо

обладает

те­

лом

иравых

частных

L .

Lt

Строим, как выше, кольцо правых частных

кольца

( G ,D ,$ ,6 “)

относительно

подкольца

.

Ясно,

что

L & L i

. Тогда

каждый

элемент

кольца

L, можно

записать в виде конечной суммы

J Z i t X i y c * ’

где

Xi ,^ * № ,1 ) ,? ,® - ') .

^ 1 ^ П ( е/и )

.Обозначим

-

=57 -

через

смежный класс

.

Формальную бесконечную сумму

будем

называть

'l -рядом, если совокупность элемен­

тов

, имеющих перед

коэффициенты

,

вполне упо­

рядочена

по убыванию в смысле заданной упорядоченности

группы

G/н .

Складывая

по обычнда

правилам

t

-ряды,

мы снова

получим

t

-р яд . Для

того,

чтобы перемножить две формальные

суммы Z U i|LO t

•

где

; i i

€ / ! ( %

)

,

нужно каждый

член

первой

суммы

умножить

на каждый член второй,

как это

определено

в

,

получен­

ное произведение записать в виде

формальной суммы и привести

подобные

члены.

Легко^ проверить,

что произведение

двух

-рядов

определено и

является

-f -рядом,

а

поэтому

множество

t -рядов

будет

кольцом. По­

построить

обратный элемент для

-£-ряда

вида

£ |ь а-с а

-

+ м

.

В силу леммы Мальцева

Ш

и Неймана ряд

t 4

+и*-и*+...

имеет

смысл и является

€ -рядом. Тогда

( U <^i+*0( L ? ;j - u .+ u*- u V . . . ) «

^

СЛЕДСТВИЕ.

Если

группа

U

обладает возрастающим

нормальным

рядом

с абелев дай

факторами без

кручения,

то

скрещенное произведение

группы

И

и

тела

И

имеет тело частных.' ■

Исследованию свойства кольца частные групповых колец посвящены

работы П.Смиса [2] ,

Смолла и Херстейна, Пассивна

[7] и Хьюса. Отме­

тим, что тело частных

для групповых колец групп без кручения

не всег­

да существует. Нейман

показал, что таким свойством

обладает

групповое

кольцо свободной группы с двумя образующими.

Рассмотрим теперь вопрос о наличии делителей

нуля

в

г р .к . сверх-

разрешимых групп.

G

ЛЕША 5 0 . (Формавек,

3

)

Сверхразрешимая

группа

без круче­

ния обладает

такой нормальной подгруппой U

,

что

б/ц

либо беско­

нечная циклическая группа, либо является свободным произведением

Двух циклических групп второго порядка.

■ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

£ = G .= > G , :=>... = > G ^I

-

инвариантный

ряд группы

G с циклическими

факторами

и

t

-

такое

наименьшее, что

- 58

-

-

бесконечна.

Покажем,

что

Н » G |4l

удовлетворяет условию

леммы.

_

Если

- не циклическая группа, то Ь о

, й / н име­

ет конечный индекс и принадлежит центру группы

C * C g ( Ч

н ) .

Тогда С -

группа без

кручения, и по

теореме

Неймана,

она

абелева.

циклической группы.

По предположению С + б

и B/q можно рассматри­

вать как группу

автоморфизмов

бесконечной циклической группы ®t/H •

Следовательно,

G/н

является

рассширением

бесконечной циклической

ка [з] .

Ш Р Ш _ 5 1 ,

Г р .а . сверхразрешимой группы без кручения

не

имеет

делителей

нуля.

Ш ) -

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

число

бесконечных факторов

инва­

риантного

ряда

сверхразрешимой группы

G с циклическими факторами.

Так как €(& )

-

инвариант группы

G

,

то

для

подгруппы

Н

,

опре­

деленной в

предыдущей лемме,

•£ (& )< £ (G)

,

а

зто дает возможность

доказывать

теорему методом индукции по

-£(<?)

,

предполагая

отоутотвие

делителей

нуля

в

КН .

Если

G/jfj

бесконечная

циклическая

группа,

то г р .х .^ К в

явля­

ется скрещенным

произведением кольца

т

без

делителей

нуля

и бес­

G/ у

• < й,11 а1* 1 , с й а * I А>

,

где а - а . У

и

. Тогда для

C i* < o .,y >

£ (6 ,)< £ (Н ) и

ICGt

кольцо

без

делителей нуля. По теореме 49 г р .а . КН обладает

телом

частных

Q № )

и скрещенное

произведение

индуцирует скрещенное

произведение

. Последнее

-

59

-

является

телом и совпадает

с телом

частите

г р .к .

К б 4 .

,

Элементы г р .к .

К б

представим в

виде ^ .-2 И

С

^

к с ^ д

^

ш

)

. Пусть

Г

" °

.

Умножив

у.

,

если

необхо­

димо,

справа

на

-fe*

с

подходящим

s

, мы можем

считать,

что

И1

_

имеет вид 2 2> < ь

и офЪп е. КН

. Действительно,

в

теле

частных

£«о

Q (» H ) + а Q (KH)

г р .к .

К С ,

существует обратный

элемент

■af^Xi+acia)

для

Хп

и

(ocJtv x i a ) ^ in£

КН .

Тогда

вместо

у,

можно было бы взять

( ^ i + x j a ) у.

, Как выше показано,

тело

частных

дня

г р .к .K6g*K^»H^ существует. Скрещенное произведение циклической

группы < а б ,>

и

тела частных

Q(KGt }

,

индуцируемый скрещенным

произведением

( < * < ^ ,№ „ 4 ,« 0 а KG

,

является двумерным

прост­

вый делитель

нуля.

Поэтому,

для подходящего

* е К С

% ^.«о

и

%.

допускает

запись в

виде ^

J c L4

,

где

и ji,_K одновременно не

равны нулю. Кроме того нам удобно предполагать, что

v.

выбрал»

так,

что а.

наименьшее.

,

,

Если

^ шц+ ^ cl

К Н )

и

t t i

t H

,

то

К

etj, (a .1 % 1 i t 1)

a j 4

^

+ f e

;

(

a

V *

Пусть

' .

Тогда из

( I ) следует,

что

^

- 0

при

t>m+rv

и

В

jjfft

. Поэтому равенство

«р«*>

вле­

j\mb

чет за

собой

% шв

, а в силу выбора

записи

*

получаем, что

^ ^ * 0

. Как выше

показано, для

подходящего

м л

^ .

е

JCJ-J

^*г-«

и выбирая

вместо х

элемент

, мы снова можем

считать,

что