книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие

-

70

-

SO^(KG) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ~ Если

, то

€ /(K G )

и

(

?

•

>

?

-

)

-

!

-

£ У - Ц * * 1 Ж« - * » Х« ) £ А*^к в > •

Поэтому

(5)ft,9)m) s

Я),^ж

и подгруппы { * . }

образуют центральный

ряд

группы

G ,

из

свойства которого вытекает,

что

о G*. • Если

К

-

кольцо

характеристики

f>>0

,

то

=

+

1+эс£ -€.^rvj>

и s f t ^ d f O s я ^ й ю )

. я

ЛЕММА 59 . Если

JM G

и $ л(Кб)=>Н

,

то

для всех

1 4 А

-

u 6 i ( K % ) =

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

-/’s KG —*-К

-гомоморфизм,

индуци­

рованный естественным

гомоморфизмом

(г-*-

6/ы .

Тогда

*Р

сохраняет

сумму коэффициентов,

JC erf-У Ш )

и в

силу предположения S6n(KC)»H

s

/ (KG) .

Поятшу

Л К Й /д а ^ А Х К ^ )

и представитель

срЛ

смежного

класса

у\1 £ . $ $ % )

допускает

запись

t^ii -

f »

^

»

где

H) g A(KG)

и

y ^ tA (K G ) .

Отсюда,

£ » t osc)

,

s » ,( ) e % ) c = 4 i < « y H

, а

обратное включе­

ние очевидно.

■

ТЕОРЕМА 60. (Дженнингс) Если

кольцо JC

содержит поле

рациональ­

ных

чисел,

то

совпадает

с изолятором

ч

Л -го

члена

нижнего

центрального

ряда

группы

G .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. фсУГ/» с^™ Сга

для некоторого

п

> о

Так

как

-

нильпотентна,

то

^

л/ $ л

состоит из всех

периоди­

ческих элементов фактор-группы G/Gn

и

( 4 > 4 ) < = W л+m.

•

Пусть

tp W a

и

{^-1сАЬ(К б )\ j t

(KG)

. Тогда

$ П(-Сп

при не­

котором

обратимом

в К

натуральном

числе

т.

и ^ 5 u j f ( K e )

, По

формуле

бинома

Ньютона

- 7 1 -

,

А<?"-i)-<r')* яС(г‘А± с:(»-<)'+

а отсюда

t> n , , ибо в противной

случае

y - l € A*(!kG)

, что

не­

возможно.

Следовательно,

д A (to)

и

с з6Л(КС).

Покажем,

что обратное

включение достаточно проверить

только

для

г р .к .

конечнопорожденной группы. Действительно, если

^

А ( b , r O ( % r i ) ... (?i,*tO £ A^kg)

и U

- подгруппа, порожденная J

и

, то она конечнопорожден­

ная и

у -le. КХки) . Поэтому для

некоторого t

fc lln ^ G k ,

и

Ч - Л

. 0 » ) .

Кроме того,

ввиду леммы 59

можно

считать,

что VA,

=

. Тогда

G

конечно по­

да

= >

. . . =

» группы■G являются конечноророжденкыми

абелевыми группами без кручения. Канонический базис

группы

конечен и каждый

& W * w+i

(см . обозначения в §13)

имеет бесконеч­

Вели

S

W s

, ТО

* A ty»G)

и

9 - Й ~

Л

где

Ws*«e*

.

Так как

е

А*(#6) , то в силу

тождества

x y - i

*

+ (*~i) * ( у ~ 0

(I)

имеем

(2)

По построению

ti~>ы

и

р - и

А

^

т

.Поэтому все

V* ,

Для

которых Цщ ) * к

при

условии И 4 М

, принадлежат

А ( к в ) .

Отсюда

А‘( к е ) .

а обратное

включение

непосредственно

вытекает

из леммы 56.

Согласно

конструкции

Es

для

всех

о * а е К

. Поэтому

К-подмодуль

модуля

является

прямым слагаемым

£ s

, и

элементы у %-1 ,

для

которых

= s

•

линейно

независимы по м о -‘

дулю As"(kg)= E {и

. Следовательно,

в

(2 )

все

, $ Ш1 и

i = l .

в

из всех таки-

, что

для некоторого X -числа т, , назы­

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Кольцо К

содержит

кольцо

целых рациональных

чисел

Z

и по теореме 60 можно

считать,

что

множество X

неисчерпы-

вает всех

простых

чисел.

Пусть

-

кольцо частных

кольца А

относительно полугруппы

Р

,

состоящей из всех неделителей нудя кольца

А .

Тогда Z \ o e : P

и

5?,

содержит подкодьцо,,изоморфное полю рациональных

чисел

Q, .

Поэтому существуем

такой модулвный

Z «гомоморфизм

что

f *

Z |

а М Ъ

,

-

X -число .

Пусть

/ : G ~ ~

ft/ z

- Z

-полиномиальное

отображение

степени

(Пасси, [l] ) , т .е . такое однозначное

отображение

группы G

в

аддитивную группу

,

что ядро

его

Z

-линейного

расширения

I -

Z

G -

Q /Z

содержит

Aft(ZG)

. Тогда

-

А -п о ­

линомиальное отображение степени

^ п.-1

и

с Кеъ Ч*

для всех

f

t

SE)n(JiG) .

^

Докажем существования

такого

X -числа

Л

, что X ( $ - 0

* A ( z c )

тля

.Действительно,

т .к .

группа

имеет

элемент

любого конечного порядка,

то при несправедливости утверждения можн'о

построить такой гомоморфизм §

циклической подгруппы X g-i+A ^ZG ) >

группы А(гг,)/ д л(2 &)

в

группу

, что ц (у -1+ £ (г& )) имеет

-

73

-

в 'знаменателе не

ЗГ-число. Это возможно,

так

как 1г

не исчерпывает

вое* простых чисел, а в силу полноты группы

0-/2

гомоморфизм

S

*юж-

но продолжить до

гомоморфизма

? •

А(1С)/ «

г е Г

й / г

.

Тогда

отоб­

ражение

Ж )-<?(Ы +Ал( г е ) )

является

Т-полиномиальным отображением

степени

и

“Р ф

для

£ t

Й > „(£ §)

. В силу выше изло­

женного

имеет в

знаменателе

ЗГ-число,

что

противоречит

построе­

ние.

$ л№ )< =

Пусть

V *

-

ЗГ-изолятор подгруппы

S M Z 6 ) . Тогда

W a

.Действительно,

и пусть для

£.сФ «(£в)

существует

S' -число

Х 4 ,

со

свойством:

t ^ e J ^ Z G )

1

,

но нет такого

Зг-числа

<£*

,

что

.

Очевидно,

<^*с35Л(Рб) и ввиду вышеизложенного можно указать

такое

$"-число

X

, что

£

A'Cz g )

. Тогда

, что невозмож’во,

так

как

X X

является

£

-чис­

лом. Следовательно, SkC R G )«W ,t. а обратное включение

устанавливает­

ся методом,.изложенным в доказательстве теоремы 60.

■

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Следуя Брауэру,

центральный ряд

G »'УЛ1'Э T Jtj.'a ...

группы С

называется 171 -рядом, еоли

где

(Tfnu , С ) -

взаимный коммутант,

<ч>

-

наименьшее

целое

число

^■jr

,

a

T i ll

-

подгруппа, порожденная

р -ш и

степенями

элемен­

тов группы

TTU .

Иногда

удобно

записывать

YftK(G)

,

подчеркивая,

что это

к-ый

член

711-ряда

группы

G .

Очевидно,

что еоли

Uq G

»

то

Т О с О О с П Ц О

.

Более

того,

Для подмножества

и*»—»•*», €. TJI^CG)

существует

такая

конечнопорож-

Денная подгруппа

Н

группы

G

,

что

W t (H )

содержит

указанные

элементы. Действительно, при

t ~ l

утверждение

тривиально.

Предпола­

гая,

что

оно имеет место

для

Ш к( 0

ic<t

,

докажем его

справедли­

вость

для

VTlt (G)

. Очевидно.

Uj. '

допускает

запись:

- 7И -

, где

) -4 N ^ - ( % ) ( ^ ) • По

пы

и На

группы

G ,

что

<Дйе 7 П ы О О

И

« 1 ( ^ 0 0 .

Тогда

-

конечнопорожденная группа

и

7 n u 0 i . ) s m

u

o i )

,

т <

ч > (Н )

.

Следовательно,

u ^

m t ( и )

.

и

ТЕОРЕМА 62.

(Дженнингс) Если

К -

кольцо характеристики J? ,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу приведенных

замечаний ТУ1к(в)

и Ф * (К С )

соответственно

являются объединениями воех

и

ф * ( к н ) .

ког­

да

И

пробегает

конечнопорожденные подгруппы.

Поэтому теорему

дос­

таточно

доказать

для

коне чнопорожденной группы

G

,

Очевидно,

Й 1(КС)*7П 1( 0

и,

если

^ ( K G ) 5 № {,(&)

то в

силу ( I )

(£ # )-!

и,

принадлежат

A (KG)

для любых

^ t Ш^ДБ)

,

7ft(-у,)(С)

и

^ t G

. Следовательно,

= ЭДКС) для всех

t .

Пусть

Ф Д кв )= ттД Б )

и

Ф Ы (К&) + "Н1Ы (6 ) .

Тогда

С/Щ , Г конечнопорожденная

нильпотентная

f>-группа, а значит

она

конечна и

^'■^Kniu(G) ~

. Поэтому по лемме

59

доказательство

теоремы

сводится

к случаю,

когда

G

конечная

/>

-группа,

^ i = T 4 i

и

^

н * 1 .

Выберем канонический

базис

группы по отношению к централь­

ному ряду

... s W &5?W щ

^ i

и рассмотрим

конструкцию

Холла-Хартли. Тогда каждый элемент

ipG

однозначно представляется

в виде

«

J .

*

и характеризуется целочисленным

вектором

’ж- = С4 , > • • •

,

^

,

где

-

канонический

базис

группы Сг

и

.

- 75

-

Пусть ju t )

_

такое

целое,

что

€

^ 'Wl/jiiii+i

. Тогда

в силу равенства

'ТП.{=9}{/$б)

элемент

-A

и

E t S

A 4K G )

;

а

обратное

включение

следует из

леммы 56.

Если

S U

K 6 )

.

ТО

9 = £ * 9Ъ

- . &

1‘ .

где

.■

и

0 < 'ci.l <l>

. Ввиду ( I )

+

( moJ АЫ(Кв))

,

а это невозможно, так как

f a - l

линейно

независимы

по модулю

Еы -А ы (к «

. а

Пусть

"Z^e

-

кольцо

классов

вычетов

по модулю

и

-

fv -ый член нижнего центрального

ряда группы ' (т

. Обобщая

конструк-

даю Цассенхауза,

Лазар

определил

подгруппу

(Тп.тш Л А

, где

if> & n f>

">*

U n

. Очевидно,

что

при фиксированном

е.

подгруппы

G „.,e

образуют центральный ряд группы

G

и

(G a,e>Gm>/ ) G

G«*«,e

Пусть

i p f i n f F 1

,

и

y e G i , Если

i

-

такое

наибольшее

целое, что

f t

делит к

и

й < »

, то

£ < / - е

и биномиальный ко­

эффициент

Ср*

делится

на

^>е .

Следовательно,

7

C j - ( y - i )с A ( I p « G )

«-№

г

*

г

Для

е = 1 точно также

проверяется, что

T U ^C ^sG ^^JflaC Z pG )

и в силу

теоремы

62

TYlft(G)=

Морану.

bJJLffG ) = Gn^e.

i

ТЕОРЕМА 63.

, если G -

свободная

группа,

либо если

G -

f>-группа д

n4f>

.

В

Моран-

I построил /^-группу,

для

которой

Gp«,e +

^е>1^ •

Вычислению целочисленных

размерных

подгрупп

посвящено

довольно

-

76 -

много работ. Qo лемые 74

23t(zG)*Cl(

а Пасси,

Хигмэн и Хоар

[ i]

доказали,

что

$*(ZG )-G »

.

Однако,

& CZG )

не всегда

совпада­

ет с

Gi,

, как показывает

пример Рипса.

Используя

гомоморфизм

Z G - Z ^ G

при помощи теорем

62

и 63

легко

доказать,

что если выполняется одно из условий:

Кроме

этого,

Сендлинг

[2] для

конечных групп

G показал, что

S6a(ZG) - G a ,

если G

является циклическим

расширением абелевой

группы или,

если

G является полупрямым

произведением

абелевойонор-

мальной подгруппы

А и подгруппы

U ,

удовлетворяющей

условию

5 йл( 2 £ ) -

Н а

дня всех

п. .

§15. О СТЕПЕНЯХ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ИДЕАЛА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментальный-идеал A(KG)

г р .к . К€

называется

та

•

обобщенно иильпотевтиыы.

если £ Ш

* С ) - о .

Задачу об обобщенной

нильпотентности идеала

A(KG)

впервые рас­

тений

на нильпотентность.

Напомним некоторые факты из теории групп. Пусть

G a

-

Л-ый

член

нижнего

центрального ряда

и

G -

обобщенно

нильпотентная

группа,

Q0

т . е .

H G ^ l

.

Если порядок элемента

g G a

в

при

любом п.

конечен (степень

одного и того

же

проотого

числа

f>

) ,

то

у,

назы-

- 7 7 -

вается

обобщенный периодическим (обобщенным

|»-элементом).

Группа

С

называется

аппроксимирумемой

группами

из класса

И. ,

если

для каждого

существует

такая

нормальная

подгруппа

Н

группы

G ,

что

g.tH

и G/н £ Й»

,

ЛЫкк 64. Пусть класс

групп

II

замкнут

относительно

взятия

под­

групп и прямого произведения и для каждого

Н * R,

фундаментальный

идеал А(КН) обобщенно

нильпотентев. Если

группа

G

аппрокснииру-

етоя

группами иэ

наоса

(L

, то

А (К 6)

-

обобщенно

нильпотевтеы.

ДОШАТМЬСТВО.

Пуоть

0 * х - Х 1Х ^ С

0А *(ИС)

.

Тогда суще-

отвуе* такая нормальная подгруппа

L

,

что

и

попарно различные смежные клаооы. Если

-

гомоморфизм,

индуцированный естественна!

гймоморфиэмом

&-*■

,

то

• .

,

и

£ 1 А Ч Ч )

что невозможно.

в

,

Следующая теорема,

доказанная Бовди и Киралем,

обобщает ряд ре­

зультатов, полученных Грюнбергом, Митальт, Парментером, имисом и

Кальюлайдом.

G

в»

ТЕОРЕЩ,

65.

Если

содержит обобщенный

|>-элемент, то

«в

Г Щ м ) « *

тогда и только

тогда,

когда

f lp 'K - O

и

G

-

аппрок-

П»1

Hal'

оимируема нильпотентндои

{>-группами

конечного показателя,

ДОКАВАТЕДЬСТВО. Докажем, что для обобщенного

f>-элемента

«J,

существует такое

л

, что

А О^б), Выберем

л.

так,

чтобы

я

р п

был делителем

С^*

для всех

I w t c m .

. Тог­

да в равенстве

♦ £ Ф

с г ( » - л ‘

( D

последняя сумма я элемент

прянадлежит

А (КС),

а сумму

можно представить в виде

р *($ -О л

,

где

x t

А(Кб).

В силу (I) J**(f"О 6 A4W»)

в, повторяя аналогичные рассуждения, из

этого

же

равенства легко

заключить,

что

рЧ *?"1) £ A (KG) .

Пусть

ЛА*(КС)-0

.

Если

П рпК + о

,

то

для любого

ft-

и

<30

»lei«

9

Л / К * о

существует

такой

ч.*

,

что

Ч-«)>,Ч Л

.

Выберем

ft-

так,

что

£ А*(Кб)

,

где

-

обобщенный

|»-элемент. Тогда

a A"(k g )

для

любого

m

,

а это

невозможно.

Следова-

тельно»

Л

^

к -

О .

а» 4

Рассмотрим

подгруппу

55лж^скс)» {^e€l| f-i ь А^)+р"А(ке)} .

Очевидно, что подгруппа jSft>lftij,(KG)

нормальна в

G

и фактор-груп­

па

m j,(KG)

нильпотентна,

так как

SD№>m.

,

|

»

содержит

f t -ый

член

нижнего центрального

ряда

группы

G .

Пусть

у

удовлетворяет условию

t

,

Представим

я

jr >af>n

К - I

в виде

Л

J

-

Л

t i - t . s c u - t e ^ d - i f

C f

t Ml

r

t*n.

Тогда

jb™

делит

для

и первая

сумма принадлежит

рАО Ю )

,

а

вторая

- А*(Кб)

. Поэтому

(KG)

и фактор­

группа

G/$

^

J kg)

является

jj-группой

конечного

показателя.

'

*

оо

Если

1ф£ с П $ л,т,ь (KG)

t

то

для каждой

пары

чисел

и,

и иг

*>m*t

Г

t

ЧТ0

существуют такие

х^е АХКб)

и

А (Кб)

,

Как выше показано, для обобщенного

/> -элемента

^ можно подобрать

такое

число

i

, что

f>4<$-t)е Аа(К 6 )

.

Тогда

(<^-*)(l-i)

х а +

£

А (КС) .

Так

как

ft

-

произвольное,

то

это

возможно,

когда

Об

' Р

.

Отсюда,

о = &

,

р -2 .

и

Z

есть

нуль в

К .

К-1

Поэтому

£

Л А Ч К б)

,

что

невозможно.

H.I

Обратное утверждение непосредственно следует из леммы 63 и тео­

ремы 57 .

I

С

ЛНММА 6 6 .

(Хартли,

)

Пусть

-

конечнопорожденная нильпотент-

-

79

-

ная группа без кручения класса нильпотентности

с

, а

Н

-

ее

под­

группа. Если аддитивная группа кольца

К

без

кручения,

то

А’Ч к О П Ш е А Ч к м )

для всех

*v .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Факторы верхнего

центрального

ряда

i«

GC+1C=

с G ^ -- *

группы

С

являются

прямыми произведениями

конеч­

ного числа бесконечных циклических групп и (

G

i <=

. Тогда

подгруппы

удовлетворяют

условию:

и

, По основной теореме о конечнопороясденных абе­

левых

группах

без кручения, существует такой

базис

9к

GiH,...

,

с^.. ч &Л>1

группы

Gi/G i

и такие

положительные

целые

числа

S4; »

(ei6 S{) ,

что

'

•• ’

являегся базисом

группы

и . ,

,

Тогда

элементы

у 1ъ-~ ,у п

составляют

канонический

базис

' / H i-

группы

G

по отношению к верхнему

центральному

ряду, а

элементы

,

нде

г

пробегает некоторое

подмножество V

последовательности

чисел

, т

, -

канонический

базис

группы Н

по отношению к ряду

Пусть Ji(i)

такое целое, что

^ ч €

Сл(1)+4

• Ири помощи кон­

струкции Холла-Хартли для гр .к .

KG

построим

функцию веса

и

под­

модуль

Е ^ \

Зафиксируем

т

и выберем М

так,

что

М > ч с .

Если

х t

ПКН

,

то по лемме 53

х - Х , ui*jEX —

X4u i ,

где

каждый

и[

принадлежит

К -базису

г р .к .

KU

построенного

для

выбранного

канонического базиса

группы

И

по конструкции Холла-Харт­

ли. Покажем, что

u i £

АЧ^Н)

для всех

i

. Очевидно, что для

любого

t >0

,

ввиду

тождества

«А -1

« (a-.l)(G-,i) + (a - i ) * ( t - i )

( 2)