книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие

-

60

-

Если

=2,=

C*-*v

, то

E = ^

<*- ^

.

Поэтому

t/

JLLn*KH

для $»aiz.=2Z!>L{>1

и

J-Jb-n* P^.n. • О

для

L»-r

некоторых

dC,/i e KH

в виду существования общих левых

кратных для

> _ Л

и

. Тогда

*,=<£* + |12«21

О

и

*»Ч .-0

. По

U-n*<

®

доказанному

<jn =»0

,

а это противоречит минимальности

а .

■

Отметим, , что теорема 51 является следствием следующего более

общего утверждения

доказанного Левиным

на основании

работы П.Ко­

на [2]

:

С

■Пусть группа

является

свободным

произведением

групп

А

и В

с-.обьединенной подгруппой

II

., Если г р .к .

У>к

и

КЬ

не

име­

ют делителей

нуля и г р .к .

КП

обладает

телом

частных,

то

KG

-

кольцо

без

делителей

нуля.

■

Справедливость предположения

Капланского

для одного

класса

груп­

манека [21 *

доказанный

при

помощи метода

Залесского

Ш

•

ТЮРЕЗДА 5 2 . Если группа

С

без

кручения удовлетворяет

условию

максимальности

для

циклических

подгрупп,

то г р .а . KG

над

полем

К

характеристики нуль имеет только тривиальные идемпотенты,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

f>

-

фиксированное

простое

число,

&

*

класс сопряженных

элементов

группы

Докажем,

чуо

С ( п ,й ) Л С ( * п ,& )

-

пуото, если

л + m.

.Д ействитель­

но, в противном случае существует такой

J it G

, что

для некоторой

£ >

2

. Если

1U

- циклическая

подгруппа,

порожденная

, то в силу равенства

^

цепочка циклических

подгрупп

H .c=H 4c=H t c= •••

.является

строго

возрастающей,

что

противоречит

условию теоремы.

Если

х * 2 З Д а

, то

отображение

Т

(* -) = ■^т*

j c (

« о

к<

является

К -линейным.

Предположим,

что для

идеипотента

элемент

7 ^ ( 0 *

О

для

некоторого

класса

сопряженных

элементов

.

Если

И

-

подкольцо

с единицей, порожденное

j£ 4 ( v« i,

s )

,

то в

f t

существует такой максимальный идеал

М

Тогда

+

)

«. нетривиальный

идемпотент в

г р .а .

%toG

. Используя

вышедоказанное

свойство

под-

шожества ( т ( п ,& )

и рассуждая по аналогии! с доказательством леммы

9, легко

показать,

что

( о

для всех

» 1 > о .

Так как для достаточного большого t

в

подмноже­

стве

(? (£ ,& )

нет

элемента из

Suf>/> 6

,

то

7 ^ ( £ ) =

О

,

что в

силу ( I ) влечет за

собою

Т^ЧВ.) “ О

для

всех

п

,

в это

невозмож­

но. Следовательно,

для

каждого

элемент

Т & ( е ) = 0

.

Если

Х ( 2 3

£ , « . ) =

3‘ G

3-

то

X

-

roMOMopijsiai

г р .а ,

л?е

в

А

3**

з »

и

Х ( ь )

«^ t e +2 И TR Се) .

(2)

В силу равенства

X ( b ) - f X ( e ) J

элемент

ЗС(е.) равен

О или

I . Тогда из (2)

i x i

равен 0 или I и, по

теореме

8 ,

е

является

тривиальным идеыпотентом.

§13.

КОНСТРУКЦИЯ ХОЛЛА-ХАРРИ

Изложим

конструкцию Холла-Хартли,

при помощи которой

будет оп­

Пусть

f> -

фиксированное

простое чиоло. Предположим, что груп­

па G

обладает

таким

конечным

центральный рядом

/ - G c+1<= Ge =

- « = ( ? ,* = < ? ! - G ,

( I )

что выполняются следующие условия:

1) Для

всех

*■>/*

(& i>G p — G i+ j

2)

Каждый фактор

G i / g ^

разлагается в прямое

произведение

ности. Тогда существуй* такие

порядковые

числа

О-

...4. Г , « £Г

и

элементы

что

Сс/С ы т

и

порядок

fyG in

либо бесконечен, либо равняется

р 11*

.

Элементы

(9*1 * < 5 }

называются

каноническим

базисом группы G .

Для каждого

Х<2>

через

j i O 0

обозначим

такое

целое

число,

«Тогда

у.

из

С

однозначно

записывается

в

виде

>

( 2)

где

< S

,

* )

-отличные

от нуля

це-

лые

числа и

удовлетворяет условию

р

Лу

,

если

*

имеет

порядок

р %

. Поэтому каждому

c feG од­

нозначно сопоставляется

целочисленный вектор

,

почти все

координаты которого равны нулю. Совокупность всех таких векторов

обозначим

через

S •

Пусть

М

-

фиксированное

неотрицательное

целое

число.

Каждому

x .e S

сопоставим

следующий элемент

г р .к .

К б

,

сомножители которо­

го

записаны в

порядке

возрастания

индексов;

П

ч

(3 )

US

где

если

-

если

а .г > 0

С'*)

и V

если

’Ь <

°

ЛВШ

5 3 . 'Элементы вида (3) образуют

К -б ази о

г р .к .

К б .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

иие8Т

бесконечный порядок.

-

63

-

£>

|4

Докажем,

что

К -модуль 1Лц с базисом

\1 > о , S > о ^

совпадает

с

г р .к .

К<с^,>

.

В силу

теждества

вто верно

для

М -о

и предположим,

что

U „ .rK < ? » >

. Тогда

6

11ц

,

ибо

из

равенства

+

следует,

что

/* t

\M*i

.<

/ ,

sM-i

~s*-i

/ .

чМ

*i

^ " ^ 0

<£a

+ (*"?•*)

9-»

>

* |

откуда методом индукции

no

s

/

kM**l .

.

Gie- -

имеем, что U-$»)

t

L tM

довательно,

LLM.f s

U.M

и

И н жК < ^х > .

Если (2 )

есть запись

элемента

у

, то в силу тождества (5)

есть сумма произведений сомножителей вида

< ^ -1

' .

Однако

ввиду (3)

и вшведоказанного

является линейной

комбинацией

элементов вида ( 4 ) . Следовательно,

fy-l

есть

К -линейная

комбина­

ция элементов вида ( 3 ) .

Предположим,

что и у

имеет вид (3 ) и определяется

вектором

. Пусть Y" - такое наибольшее порядковое чиоло, что у

векторов

ч}°

и

!L(*> различны

координаты о индексами

J" , Уеловим-

оя говорить, что п о ря д о к

Ц-j.

выше

порядка

.

если

’Ь ^ Ч ’ь ^ 'ъ о ,

или если

при

< О

Пусть а,,

имеет наивысший порядок

среди

элементов

tij,

( I -

■ i , 2 , - , i O

и

р п xft) .

Тогда в

записи

cl, il,+-... +

а я и а

через

элементы

группы

G

коэффициент при

А.

равен

* ct*

f

что

непосредственно

оледует

из

однозначности

запиои каждого

в

виде

( 2 ) . Следовательно, элементы (3) линейно

независимы и

ооохавляют

К -базис

г р .к .

K G . Я

Определим

на

кольце

К

функцию

")

оо

значением

в

кольце

целых

чисел

% .

в

Если

факторы

ряда ( I )

без кручения

или

фиксированное проотое

-

64

-

число р

есть

нуль в

К

, то

^(аО -о

для всех

о * а .е К

}С

в в

Если в

факторах

ряда

( I )

имеется

р -элемент

и р +0

в

,

то дополнительно предполагаем, что

О

и положим $(а)*грНа.

,

где

v

- наибольшее

целое

со

свойством

о * a

t

pvK

,

fi

-

длина

ряда (I ) я N

- такое

фиксированное целое,

что р

превосходит

по­

рядок каждого

р-элемента в

факторах

ряда ( I ) ,

Очевидно,

что для

всех ненулевых

с ц -6 е|С

* ( * * ) > *(eO + * ( i )

,

$ ( a * & ) > m i r > 0 ( a ) , $ ( 6 ) ) .

(7)

Пусть вектор

ч, =

определяет элементы вида ( 3 ) . Определим

функцию

•i

на «элементах

г р .к .

К&

вида

a i f c ( a e l C )

так:

( т + 1 2 ъ л ш

,

если

все

^ (a u .)= 4

*

I

М

,

в противном случае

где

функция

Ji-iti

для

кольца

К

с

условием

в

совпадает

jv(> )

(определение

j l O>)

см.

стр.

&Z ) ,

а для кольца о условием

®®

равна

.

Число

^(au )

называется

весом

элемента

c u t .

Обозначим

через

£yi

( O it^ ii

, А< S’)

-

подмодуль

гр.к . 1CG ,

порожденный

элементами

сил.

,

для

которых вес ■ $(eu)>t

КХршО

,

когда

.

Кроме того,

положим

Е ^ - Е и<>

для

t > M

.

Покажем,

что для всех

£

,

s

и каждого

А < 5

£ u - £ s, a ^ E -t.s .i •

( 8)

Для этого нам понадобится следующая

ЛШМА 5А. Пусть

а с К

,

U

имеет вид (3 )

и w* a u

t

г

где

Д

- непредельное

фиксированное

порядковое

число и

^ < S

. Если

( 8 )

справедливо

для

всех

,

то

( f t - i ) w

£

L » < w ),jn » ,p

,

(9)

где

£.= |

,

если

элемент

конечного

порядка,

а

в

против­

ном случае

- £ * t i

-

65 -

n r = l- ty f

f a ) . Тог­

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

,

и

да

а гХ

и

%с A

,

так как

( G

^ G

^ s C ^

. По лемме 53

t

является линейной комбинацией

,

причем координаты векторов

т.д1^

,

определяющих

и}°

,

могут быть отличны

от нуля лишь тогда,

когда

их индекс

1 4

^д (г)+ л(й • Для

таких

X

и

-a('u.(i>) = 'Z > f > w

*

*

Я В + Я В

,

если

. Отоюда

\>(ui°)> nun.(М , jt4 r)*/■(/>)}

и

X £

. По предположению

и г

е.

и в

силу ( 8)

U-r t

С

S

kjERVjn?) ’ A-*

*

Поэтому су­

ществует

такой

элемент

w e.

, (i-i

.

wo

*

а отсюда

при помощи ( 8)

следует,

что

для

»ь>0

с

£ „ .& ?) W

h H

(10)

Выше изложенное

справедливо

и для

e« -i

. Таким же методом полу­

чаем,

что

% ^ r f r ^ f i ' u r f r

£ £*J,f>-l .

( И )

Пусть

w «

Щк

> где

Л„< Лг < ... < AKi |5

»

a

равен либо

Щ { ’ ( ^ ц > о )

.л и б о

щ? c£*L( г». < о )

• выра зим

через базис ( 3 ) . Тогда

^

- ь

( ь

+ f ^- ^ о + .. .^ ( i - ^ ) М+ ( i

•

<i2)

В случае

Я».< ^

докажем (9)

методом индукции

по к,

. Для

<- 4

утверждение

(9)

непосредственно

следует из

(1 0)-(1 Т ),

Если

же ff>4

и

Wmwt iru

. то по ( ID)-(11)

•

По предположению индукции существует такой элемент

»

что

. г д е

» i -

^.гг*+

+ *', У1* У Ь

• Тогда ввиду

( 8)

w-fc e

.

а в

силу

( 12)

w»

^(w)*Я£), /i

»

Следовательно,

при

лемма

доказана.

Пусть

Д*»/&

и *'=wiUj4 . В силу

случая,

рассмотренного выше,

существует

такой

^

е

ц-i

• что

5 ^ w = w + М

ф

*

) ч

* $

й

•

(13)

Пусть

(fofiMflii

~ бесконечного

порядка и

У

-

идеал

г р .к .К ^ ф Л ,

порожденной

/

М . Если

,

то

ify

£ УI

,

и

значит

и

^

1»^

является

линейной комбинацией

элементов

(Ь Х )

И

( i - ^ V

(к>о)

,

которые

имеют вес

>М

. По­

этому

Пуоть

fyGjtfan

имеет

порядок

. Тогда

£-«4

,

=

» ц ^

( н к с ^ )

и

t^u&,= «-/i -

и £ ы

, где

£ - < ^

.

Если

KK-p^-i

,

то

из

(13) непосредственно следует ( 9 ) , Если же

£ ,

то,

полагая

i*j>n*

, мы получим, что

t

•

Используя

формулу

бинома

Ньютона,

можно

найти

та­

кие

целые

,

что

i

i-i

i

Ггц.:

/>ХЗ m *

U /»

.(W )

V « i

Тогда

(13)

принимает

вид

Если кольцо К

удовлетворяет

условию

в

, то

и

* 4 “ ±%

. Отсюда в

силу

( 8)

( v ,+ y ) i4 с

®

и лемма доказана. Если же кольцо $

удовлетворяет

условию

в в

, то j>*о

в

К

и f> K + ipi4

,

для

всех

U s t i - l

, где

£>m w »(4(w,)4^(|>)*j3 £ ) ,

Согласно определению веса

элемента

си»-

для

кольца

К

с

условием

в в

числа

4Q>) .

а также

не меньше чем

. Сле­

довательно,

'К'*')

и

утверждение леммы непосредственно

вытекает

из

(14) и (1 5 ).

■

ЛЕША 55.

£ 1>я£ 4>

для всех

Л < Б .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим метод

трансфинитной индукции по Л .

Согласно определению веса, £^>0

состоит

из

нуля и из

всех таких

c t t K

, что "На)i t

. Поэтому

из

(7) следует ( 8) ,

если

Л- 0

Предположим справедливость ( 8 )

для всех

Л</& .

Пусть

w - a u s . u s - t r ^ e

E tijl

,

€ £ ь/>

. « е

-• < ^ 1

f t

и

имеют вид (4 ) .

Если

, то по индуктивному предположению

^ t 11

,

где

Л</&

и

.Отсюда

w \»i£

. Если же

,

то

по лемме 54

,/»

и многократно

применяя

эту

лемму получим,

что дня

,£>о

>Л

И

€

&М./1 •

Поэтому

^ '* /»£ £ s t 4(o>,),a

и в

силу

доказанного

t

•

•

1

Пусть

£ г

(о ^ ц д М )

обозначает

^-подмодуль

г р .к .

,

порожденный

элементами

a u

о весом

$(<*«)> t

, а

для

• v i M

nto)x r&)

-

68

-

ЛЕША 56.

I)

Et •£ [

£ * .{

;

2)

-

идеал г р .к .

КС ;

3)

м я

ч.Ш ,М '

E f - E (f

;

4)

А Ч М ) я е £ °

;

если х.£,М

•

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Так как

£^°-КС

,

Е ^ 1

А(КС)

, то I) и 2)

непосредственно следуют из леммы 55, а 4) является

следствием леммы

53. Для

ъ&М

€ Е1"*

и

Е ^

-

идеал г р .к . Кб

, Сле­

довательно, О-

^

E v M>

и

е !^ < =

Е * ^

*

й в

скяу

°имме*~

рии

справедливо

3 ).

■

гр .к . {> -групп

Следующая теорема доказана А.И.Мальцевым 1.2]

для

над

полем

характеристики

/>

,

Дженнингсом

(2]

для

г р .к .

конечнопо-

рокденный

группы без кручения, а в общем случае -

Хартли

U1 .

ТЕОРЕМА 5 7 . Пусть

}>

-

фиксированное

простое

число и пусть

нильпотентная группа

G

обладает

таким

центральным рядом

G»Gt z>

3 Gst 3 . . . 3

Gc .ry GiH~ i

,

факторы которого

прямые

произведения цик­

лических групп, порядки которых либо бесконечны, либо,

делят

^

и

СGi,Gj.)<!—

•

Боли коммутативное кольцо К

удовлетворяет

уело-

ОО 0

вив

П/>1/Са о

при

наличии

Ь-элемента в факторах

центрального

i*4

*

ряда, то фундаментальный идеал

А(т)

обобщенно

нильпотентен,

т .е .

ПА1( т * &

*

во

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме

56

A b e l ' S

и

Е « П

_

KG

М* I

идеал г р .к .

.

Поэтому достаточно

проверить,

что

Е » О .

Пусть (2)-запись элемента

«(-

и

соответствующий век­

тор.

Тогда

дйя каждого 1 < S

определим

на группе

в

функцию

* П.* .

Покажем, что

для

ой *

а Д 4+ ... +a.As <=■Е (<ч«.

существует

такой

A-eG , что

для

всех

^<5"

и

0 &L&S

Доказательство проведем методом

индукции по

длине

С>

ряда

( I ) .

-

69 -

Пусть

и

П

. Т а к как при с * i

л » е А

такие i% G

и

Я.(>е Gt

,'ч т о

о

при всех

X,

0 « i « g

и

^ « * ,2. . Так

как

Се,

принадлежит

центру

группы

(J ,

то в

качестве

А

можно выбрать

и

х £ с

£

.

Поэтому можно

считать, что

х

удовлетворяет

уоловию

/ л' ( О

> 0

. Тогда

-ас.»

и если

записать

каждое

в

виде

( 2) , то

в силу тождества (5) зс.

является

линейной

комбинацией

произведений

***,*»,.'"

»

гяе

,

каждое

имеет

вид

и порядок

элемента

превосходит неотрицательное

число

. По лемме 53

t?jt

принадлежит построенному

К -б ази ­

су г р .к .

K G

при любом М

и

ас

однозначно

записывается через

них. Так как х е

£

при

каждом

М

,

то

вес

произведения

«»*

превышает любое

наперед

заданное

число,

что

невозможно.

Следовательно,

ас»о

и

£ я О

.

■

§ В .

РАЗМЕРНЫЕ ПОДГРУППЫ

Пуоть

A(KG) -

фундаментальный идеал г р .к .

KG

группы

G

над коммутативным

кольцом

К .

Тогда

Я * ( ю М

? ь& 1» -1 б А а ( в в Л

является нормальной

подгруппой группы

G , так как это ядро

гомо­

морфизма, индуцированного на G

естественным гомоморфизмом г р .к .

KG

на кольцо * й /А*(КС)

. Подгруппу

Ф Л(К С )

называют л. -ой

размерной

подгруппой группы

С относительно кольца

К и иногда

кратко'обозначают

через

.

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 58. Пусть

Gn— n -ый член

нижнего центрального

ряда

группы

G

. Размерные подгруппы

а

д

образуют

центральный

ряд группы

G

,

э

Gn

и для

кольца К

характеристики

f>