книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие

- 90

-

а _

a - X e W

- g J t t - X , , ( х )

, a

в силу утверждения

леммы 75,

. Покажем, что остальные

гоже

равны

i , .

Пусть

гг-»И(1г) н регулярное

представление

кольца

XL

* Тогда

след

элемента х

равен Л1НЫН!

и совпадает с суммой всех соб­

ственных значений матрицы & (* ) .

Однако,

в силу

условия

й(эе.)г* aR(x)

собственными значениями для

R(x)

являются

О

и

л-

,

а

число нуле­

вых

собственных

значений равно IU - ILI

. Поэтому,

если

х *

- Т 1 Х &

,

то

для

элемента

хх*

,

удовлетворяющего

условию

(хх*) = а*х х

,

число

ненулевых собственных

значений

по

крайней

мере

If |

ILI

и след его

регулярного

представления равен

I U—

i L l Z X t

.

Тогда

l U E X U r ?лIU

и

I

ь

1 .4 ,

i-i

П

в

силу выше

доказанного. Отсюда Л*

равно

0

или

1

и в

силу ра­

венства

ха« а х

элемент

U L

И L

имеет порядок

п. .

Сле-

,

L < H

довательно,

ввиду

центральности

х

и

согласно

предположению

э,

Ж

=

как

аннулятор

элемента

х .

Поэтому,отображение

5"W=L

взаимно

однозначно,

сохраняет порядок,

включение, пересече­

ние и объединение,

так

как

l+y(NVflG

* N

.

Пусть М

, W

-

конечные

нормальные подгруппы группы

G ,

N sM

и фактор-группа

%

- абелева. Тогда Ш ~ Ж ш )

и

по

лемме

73, 3)

й y(M)/fc(ZG)y(M) + y(»0

. Так как

М

наименьшая

из

подгрупп

Р

,

для

которой

М/р

-

абелева,,

то,

в силу

доказан­

ного изоморфизма,

Взаимный коммутант

(к,е)

является

наименьшей

подгруппой

груп­

пы

И

такой,-что

^/(N ,0

тривиальный

ZG -модуль. Поэтому при

ZG -изоморфном

отображении % •

на

^ N/ ( S N ) '

подмодуль

^ ^ У н '

отображается на

й

=

)

Докажем, что

для

любых

конечных

нормальных

подгрупп N

и

М

группы

G

( M , N ) * G O h l m \ m ] Z G

. В силу включения

У(СМ,И))

s z f t ( M

) , m ] z G

можно считать, что

.

Тогда для

любых

CL6.M

, h N

и

[(a -i)^ , ( i - l t y i ] « (a.-i)(£K i)yyl . (a?l- i) ( i- l) y ty ,

где

{

1

и

fa »^]

- лиевый коммутатор. Поэтому

[ № 0 , Ж

] 1 С е А ( У 1 ) У ( Ю * У Ш)

.

(2)

Пусть

W-А Ш

,П ( М% ) - Л ( % )

и

£-1

принадлежит

идеалу

A(ZM)A(ZH)

гр.к. ZMN

.Тогда

f l - i - Z Z a J *

,

( a i eA(ZM),^€A(ZN)

ч „

1

%Ccu)^i € A ( Z W ) A ( Z N ) - A ( Z H ) A ( 2 W )

(определение

у/#

см. в

начале §16), Ввиду лемм 73 и 74

4i(9) tS 6 a( 2 W ) - i

,

так как Ад/ - абелева. Аналогично

получаем,

что

«{<(?>» 1

,

если

Л (МЫ - П ( % )

. Следовательно,

и ввиду (2)

i«MNflA(ZM)A(ZN)= G Л l+[X(M),y(N)]ZG .

В

силу

доказанного

утверждения,

„ это

наибольший идеал

среди

идеалов

У (А)

,

индуцируемый конечной

нормальной подгруппой

Р

и принадлежащий

ZG

. Согласно определению

отоб­

ражения

5"

У(Ы)*У(ИИ)

и У(М)-У(8М)

, Поэтоиу

y(SM ,SN ))

обладает тем же свойством,

что и идеал

if((M,N)) .

Так как отобра­

жение

5" сохраняет

порядок группы,

то

SiM ,N )m (m tSN)

. ■

Следующий результат

был получен

Хигманом и Пассманом

для

г р .к .

ТЕОРЕМА

77. Пуст'ь G -

разрешимая группа

класса 2 и G/jJ1

_

периодическая

группа.

Если Н

- базисная подгруппа

гр. к. ZG

, то

G =

, а

nF:i конечности коммутанта

С*

группы G

,

G

-

92 -

группы

и Н

изоморфны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме

75 в кольце

вое

элементы

конечного порядка исчерпываются

*С + «/(в')

.

Идеал У(б')

допускает

инвариантную

характеристику - это наименьший идеал гр« к .

ZG

,

фактор-кольцо

по которому коммутативно. Отсюда.

и по лемме

74,

&/(* а

% ■ . Поэтому для

каждого

оущеотвует

такой

y e G

,

что

i - 0 (* « ;« < * ,* * < ? >

. Тогда

А=9 +21 <4(?ri)(»t-0+S A fa-i) * * +ZI

A(ZG)y(<r)) ’

а в силу тождества U )

^

А { г т { в '^

«

& у Q V’i i ('a»dA(ZG)y(G))

.

Покажем,

что

* ф в £*,‘

однозначно

о п р е д е л я е т

элементом & . Действительно,

воли * * * * *

и

^ « ^ т о о ^ Й С О Э Д в 1) )

,

то

^ А * » * 6 A (Z e)tf(tf)

и по лемме

73

и 74

»

i

. Следовательно,

^

и отображение

■ЛО- j i

гомоморфно отображает группу U

на группу

6

о ядром

Если

G 1,

-

конечна, то из равейотва

следует, что

SCWi'

и по теореме

76

группа

М'

абелева.

В силу леммы 74

И

Н й С

.

•

§17.

ЙЗШУТАТИВНЫЕ ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ

Для каждого

порядкового

числа

X

определим

индуктивно подгруп­

пу

<

/

абелевой группы

6

. Пусть

6 }

и определены

G

1

.

Тогда,

если

оудеетвует

Л Н

для всех

а

для

предельного

<£

- g < a

g

>*

Пусть^ />

-

Фиксированное

простое

число

в

1*л

-

подгруппа

группы

G?

.порожденная

всеми

элементами

порядка

^

. Тогда

-

94 -

моморфизм. Поэтому

зс£ Al (KW*)

,

и

следовательно

ш ^ т ю

*

A(KV°

‘ H

,

-

y(L ' V

•

, Пусть

П < « -Л > - разложение ч

в прямое произведение

цикли-

ХеЯ

ческих

групп порядка

f>

и

w =» с ц ^ а !^ ...

t

.

Тогда в

силу

тождества

tc tr-l

+ (tr-l)

w - l

(mx>cLA (KW f))

и

a t e

A(KV£)

по модулю

АЧКУЛ^)

является ли­

нейной комбинацией

элементов с ц - i ( i e M )

.

По теореме

62

4

m

) -

i

, а

это

влечет

в

силу леммы 56

линейную независимость

элементов

а .г-1(Ъ еМ )

по модулю

А Ч к ч . ) .

Следовательно,

d i m F L*/L^

-

A( f CWi V

(

Ky t ) =

.

Идеал

!/(Lj.)

является

инвариантом

г р .к .,

так

как

порождается

инвариантным подмножеством

Х£ = ^ ^ K G * ’ 1

.Действительно,

если

х

£ S O * )

,

то

х

%

* ( « * - О

,

где

"iiit n C

V ) .

^ t C

P

И

u-i €.(_,£

. Если

x * S X

^ e ^ ( u j - i ) ,

то

^ [ - о

и

Если же

( » ^ K U

l 5 K «

n

(

e

^ )

)

,

то

по

сокращенной

формуле

бинома

Ньютона

у [ е К

и

+

f

,.Р

Отсюда

«о

, ибо

иначе

для

некоторой

|>

h

/

^

Л- = 9*

и

>

а

910 противоречит тому, что

и

представители различных смежных классов группы

G p

по

подгруппе

Ljr

.Поэтому

i^eA O iJL *)

и

^ е У ( и ) .

По предположению

Kf=K

и К£т = КН

. На основании

сокращен­

ной

формулы

бинома

Ньютона

и

по индукции легко

проверить,

доказывает инвариантность

oUm.p Ц /l **!

•

Так как по предложению 6

\i(Gt) состоит из всех

нильпотентных

элементов г р .а .

KG , то

1/(в^) *

и

ICC/Gf>S K% (G J “

к % (и г) ~ К

\ .

2)

Совокупность всех

алгебраических

элементов Cb>(KG)

есть

инвариант г р .а .

и является

подалгеброй.

Ввиду этого достаточно до­

казать,

что & (К & )« KG.

. По теореме 9

г р .а .

KG

не имеет

нену­

a ( K G ) s K G .

. Обратное включение очевидно.

.Так

как

идеал

г р .а .

&G

,

порожденный A(KGd) ,

совпадает о

ж . )

, то в силу равенства

Я б .-Я Н .

идеалы

Ж . )

и tfO O

равны. Поэтому

К е/й , *

* КМ/У(Н.) *

К Н /но

•

Откуда на

основании теоремы

46

С/е.- V(KV) *V(K%.) • "/#..

■

Ввиду теоремы Ульма из теоремы 76 получаем следующее следствие,

которое было доказано ранее для

с р .а .

конечных абелевых групп Дже­

ннингсом

и Дескинсоы.

СЛЕДСТВИЕ. (СЛ.Берман-) Пусть.KG

- гр .а . счетно абелевой

f>- группы G над

полем характеристики

f>

. Тогда все

базисные под­

группы г р .а .

К б

изоморфны.

ЛЕША 79.

Пусть

KG

-

полупростая

коммутативная

г р .а .

над ал­

гебраически замкнутым

полем К

и

G.

-

периодическая

часть

группы

G . Тогда

V(KG„)

_ полная

группа

и в

V( UG)

существует

такая

подгруппа

Gi =

,

что

G„* Gt

базисная подгруппа г р . а .

KG .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Если

i f

V(KG .)

,

то

^.(Suppac.^

конечная

абелева группа и в силу алгебраической

замкнутости

поля К

имеет

место ортогональное разложение:

* > » е,Ю © ...©

е*В

. Следом

вательно,

из

каждого

обратимого

элемента г р .а .

K <S«p|»*>

йожно

извлечь корень, что доказывает полноту

группы

У (К *ч) .

Исходя

из

G ,

, определим G,£.4

как подгруппу,

порожденную

G*

и

l*^t £ G \ Gj<

,

а

если

JE.

предельное

порядковое

число, то

Gj-

. Для

каждого

порядкового

числа £

построим

обратимый

элемент

X j- e K G ^

оо

следующими свойствами:

х А (££eV (K G.) , под­

группа

l t £+i ,

порожденная

,

без кручения

и

GeKllx » i

-

базисная

подгруппа

г р .а .

fCG^.j

. При выполнении

условия

<$*> П

H G j.» /

полагаем

х £ -

.Очевидно,

что

обладает

этим

свойством. Предположим, что найдены

и укажем способ по­

строения

,

В силу изложенного можем

считать,

что

существует

на­

именьшее

к

,

для

которого

e G

и

-A c

6 )

. Тогда

по

построению

х ^

...

(»^eV(KG.))

и в оилу полноты существует

такой

x.tV(KG*) .

что

.

Если

,

то

и подгруппа

1

-

без

кручения.

Тогда

из

построения

И х .*

следует,

что она линейно неза­

висима,

G

и

по теореме

78

G£^

• ■

IiE:.UA 8 0 .

Пусть

JC&

полупростая

коммутативная

г р .а .

периоди­

ческой

группы над

алгебраически

замкнутым полем

К

.

Тогда

существу­

ет

базисная

подгруппа

г р .а .

KG

,

разложимая

в

прямое

произведение

цикличе ских

групп.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

-

циклическая

подгруппа группы

Ст

и

определим

как

подгруппу

порожденную

для предельного порядкового числа Л

-

=

.

Предположим,

что

для

всех

порядковых чисел Л<Ъ

г р .а .

обладает

базионой

подгруппой

,

разложимой в

прямое

произведение

циклических групп

97 -

к для

£

4. f l < r

. Тогда для предельного порядкового числа

Нх я

»

а

не

предельного

порядкового

числа — Н*

постро­

им так:

если

и *

[ G ^ G ^ ]

,

то

« ^ c G i . j

и в

СИЛУ полноты группы ■

V(KGr.j)

в

ней

существует

такой

элемент

х

,

что

х а-

Подгруппа

является

базисной подгруппой г р .а .

KG*

и ее можно выбрать за

Ц *

. ■

ТЕОРЕМА 6 1 .

(Берман,

Мэй И

)

Пусть характеристика алгебраи­

чески

замкнутого

поля

К

не делит порядок ни одного элемента абеле­

вой

группы

G .

Тогда мощность JG J

периода ческой

части

группы

G

и фактор-группа

&/&,

являются

полными инвариантами г р .а .

К б

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 78 16.1

и

С /с9

-

инвариан­

ты г р .а .

KG .

Покажем,

что они однозначно, с

точностью

до изомор­

физма

определяют

г р .а .

KG

, причем в

силу леммы 79

это

достаточ­

но проверить, когда G

периодическая

группа.

Пусть

G

-

счетная

периодическая

абелева

группа

и Gt e: Gk«= G,<=-

«О

такая возрастающая цепочка ее конечных подгрупп,

что

G » U tG i

,

По­

строим

"дерево идемпотентов"

г р .а .

KG .

Пусть

f « e t+ej,

-

разложение в

сумму ненулевых

ортогональных

идемпотентов

г р .а . KG£

.

Если

не

минимальный идемпотент г р .а .

iKGt

,

то

ej,

разложим

в сумму ненулевых ортогональных идемпотен­

тов

e it

и

fci.*,

г р .а .

Кб»

,

а в

случае минимальности

е*.

,

отро­

им такое

же разложение

ер

в

г р .а ,

KGj.

. Далее, снова

отроим

та­

кое

же разложение

и процесс

продолжаем до бесконечности.

Тог­

да идемпотент

,

полученный на

п -ом

шаге,

однозначно

характеризуется

вектором

t m)

,

а

при

фиксированном

т

множество

таких

векторов

конечно и

i - 2 2

-

разложение

в

•u*М,

сумму попарно ортогональныз идемпотентов.

Согласно построения "дерева идемпотентов" каждый идемпотент

гр .а . KGt

ему

принадлежит

и этими-мдемпотентами

исчерпываются

все

идемпотенты

г р .а .

К б

,

в

силу

конечности

подгруппы

носителя

каж­

дого

идемпотента.

-

99 ~

ны и

совпадают,

когда

G.

и

Ц .

-

конечны или

G*

и

Н*

- бес­

конечны;

3)

если

G ./g i

-

бесконечная

группа,

то

/G*j

- i

тогда и

только

тогда,

когда

.

■

§18.

МОДУЛЯРНЫЕ ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ

Обозначим

произведение Ли (аддитивный коммутатор) элементов

г р .к .

KG обычннм

способом;

[х0хд] = сс.эс*,-х*х,

,

а произ­

ведение

i , ]

будем записывать

так

Определим следующие

К

-модули гр .к .

KG

:

А Ш(Кe ) - A ( K G )

,

а для

л > 1

Л

ЧКй) = [ Afl*” ^(Кв), А (К б)]

,

где

ACKG)

-

фунда­

ментальный идеал

г р .к .

# 6 .

Очевидно,

А ^ О г ф е А 'Ч к б )

, а

и з-за

билинейности произведения Ли

К-модуль

А (Кб)

порождается

аддитивныш

коммутаторами

J »

где

« ^ е С .

Пусть

и

-

простой коммутатор группы

G . Тогда

л -в й член

G n

нижнего

цент­

рального

ряда

группы G

порождается

простыми коммутаторами вида

ЛИМА 83 .

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим

через

e t* g ,4 ,

а для п >1

с а *

• Тогда

^~<1*-1£ А

(KG)

и

cft- i

•(<& $?•

,

^ Поэтому для

я « а

лемма верна

и предположим ее справедливость для

л-1

.

Тогда

= d-n-i + ^

( t t t

А"(КЙ)), откуда

на основании

( I ) следует утверждение леммы.

В

СЛЕДСТВИЕ.

Ж

п)+А "Чкв)-А м ( к е ) + А"4(К £)

>