книги из ГПНТБ / Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие

( i - $

)*= 4 ( l - ч ^

( n o d

£ iJl(i}) .

(3)

Пусть

Uj.

определяется

вектором Ч}*^ {*t\ I u V ^

g

име­

ет

отрицательную

координату

. Тогда

it-

имеет

сомножитель вида

и.

согласно

(3 )

и лемме 56,

t Егс ПАЧКН) ,

Предположим,

что все

координаты вектора

неотрицательны,

Тогда,

ввиду (3 ) ,

( n o d E ^ u^ )

,

где

ч

т а л

*

»

’4 .

.

Еоли

т£л'5{,ир=*^^ж.й

н

имеют вео

сп­

ереди

элементов

, то

по лемме 56

а с е £ г с

н

О s

ос s

+ " ‘ *

( MoJ

•

В силу линейной независимости

и ^ ( т » i,...,к)

по

пии1Е^,л (см .

доказа­

тельство

теоремы

60) Х^т^ п - й

, что противоречит

отсутствию

эле­

ментов

конечного

порядка в аддитивной группе кольца

К

.

Поэтешу

■$(«/)’Z T t-iM O 5*4.с

и, ввиду

неравенства

.5 2 г ,-

> п .

•

UW

ж. a i t f f f l )

‘

Следовательно,

ы ^с AV^W)

,

а

отсюда

• Щ

ТЕОРЕМА 67. Если аддитивная группа коммутативного кольца

К

не содержит элементов конечного порядка,

а

группа

& обобщенных пе­

риодических

элементов, то

А(Кб) тогда

и только тогда обобщенно вияь-

потентен, когда группа С

аппроксимируема

вильпотентиыми группами

без

кручения.

^

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

Л

A"(Kt!>-0

и

"W*

~

изолятор

п. -го

члена

Сл

нижнего центрального

ряда

группы

б .

Согласно

предложению 58

t Aft(K 6 )

для всех

g e

Cra ,

Поэтому

/ ) б ж«4

,

а отсюда,

ввиду отсутствия

обобщенных

периодических

элементов в

груп-

ОО

не

, G

,

получим,

что

. Следовательно,

группа

в

-

ап­

проксимируется

нильпотентными

группами

без

кручения

бДц?*

*

3 силу леммы 64 достаточно доказать

обратное

утверждение,

когда

Q

- нильпотезтная

группа

без

кручения.

Обозначим

класс

нильпотент-

- 81

-

ности группы

С

через

с . Если

П АЛ(К 6 )

, то Н - < £ иььж> -

п«4,

* '

конечнопорожденная группа и для каждого

1

существует такая

конеч-

нопорожденная подгруппа

И% , содержащая

И

, что зсеА ^О С Н О .

Однако

класс

нильпотентности Их

не превышает

с

и по лемме

66

зс е

.

Следовательно, асе

А Ч #Н )

,

что противоречит

теореме

5 7 .

В

Представляет интерео проблема Б.ИДяоткина об отсутствии элемен­

тов конечного порядка в

аддитивных группах

фактор-колец

»

ннх групп.

G

TE0PFMA 68. (Кубланова,

2

)

Пусть

-

конечнопорожденная

группа.и аддитивная группа кольца

К

без

кручения.

Аддитивные группы

факторов А’1 т )/ ^ Ч К й ) степеней

фундаментального идеала являются

группами без

кручения

тогда и только тогда, когда в факторах

размерного ряда нет кручения.

ДОКАёАТЕЛЬСТВО.

Пусть

и

А "(К б )

. Тогда

~Р

- гомоморфизм и

-

моноыорфно вкладывается в

а' «

0,/аТ*>-

Поэтому, если

эта

группа без кручения,

то

таким

же

свойством

обладает

$ л / & hil .

Предположим, что

-

без

кручения.

Так

как

Ж

4 ) = ’а*<*<!)

« дм. Ьл

а "№й/ а Ц * й

*

А " ( К ‘*!6.)/а " Т К % ,)

то

можно считать,

что

для некоторого

^

- 1

.

Тогда

-

ремы 60 непосредственно получаем, что аддитивные группы

А

без

кручения,

так как Е ^ 'А ( £ в ) прямое слагаемое

Е а

= А

(К б )

( м > а ) . в

х

Определим индуктивно для всех порядковых чисел

степени идеа­

ла

А ( К б ) :

Ar(#6)-jf(Kfi)A(#e) , если

, а’ для

предель-

Если аддитивная

группа

кольца

К

без

кручения,

то

терминал

группы в

относительно

кольца

К

тогда

и

только

тогда

конечен,

когда

фактор­

группа

группы

G по коммутанту

Gt

является

полной периодической

группой. В

этом случае терминал равен I или 2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть fr/G4

- полная

периодическая группа. Ес­

ли

G = Ga

.

то

А(КС)=А*(Кб) , так как.

Если же &*&t ,

то

для

c^yAtG

существует такое

п.

,

что c j^ t Gt

и

,

где

О г

. Тогда

и ввиду (2 )

ajSL*n.(^-L) (modtA^KC)) f

а

отсюда

t f?QGG) . Так как

t - i t i ? №

, то в

силу

( 2)

(9.-0(МЫ$-0(&Г-0«

О (»nod АЧКС» .

Следовательно,

Аг(К0) = A3{KG) .

Пусть

терминал

группы G

относительно

К

конечен

и пусть

- периодическая

часть группы

.

Тогда_ G/д

-

абелева

труп»

па

без

кручения

и из изоморфизма

Д (К

следует,

что

терминал группы

G/д

конечен. По теореме 67

это возможно, когда А (К % )

периодическая

группа.

Пусть 4

t - совокупность всех

элементов бесконечной

/>~высоты

в группе

G/g^

. Тогда б/н

является

р -группой без элементов беско­

нечной

f>-высоты, а такая

группа аппроксимируется абелевыми

^-груп ­

терминал

группы

G/д

конечен лишь при

нильпотентности

идеала

А (К ^ м )»

что противоречит

предложению 5,

так

как аддитивная

группа

кольца К

без кручения. Поэтому в периодической

части

группы

G/ c t

все

элементы

имеют бесконечную

)> -высоту

повеем

простым

числам,

делящим

порядю

элементов

группы

G/g^

. Следовательно,

^

- полная

периодическая

группа.

■

ЛЕММА 70. (Бовди,

4

)

Пусть

^

и i

- обобщенно периодичес­

кие элементы группы

G

;

п.^

, » ч

- соответственно порядок образа

i ,

то

«

nt A.4i«e)

ш

*>

£

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

(g -i)(* -0 *

f t

Л (KG)

и t - наибольшее

такое

целое,

что (g-i)(JS-0 fe

A

(K G )

. Тогда

ч

Отсюда

*-A^(KG) t так как

с A*(KG) ддЯ элемента

получаем,

что

пц(с|-а)(А-^) fe А ^^ К б )

. Так

как

существуют такие

целые

%

a

s

, что

i “ *ц * + «чл-

,

то

stit (? -0 ( * - 0

+ ,b»»4(?-0(A -0

•

Отсюда

следует,

что (j- iM - * )

6 А

(К б )

(

а

это

невозможно.

•

Следующая

теорема

ддя г р .к . конечных

групп

доказана Кальшайдом

и П.Смисом, а для

г р .к ,

бесконечных

групп Бовди

и Киралем, а в

более

общей

ситуации

для

целочисленного г р .к . Грюнбергем и Роузбяатом.

Пусть Q.

- идеал

г р .к .

$ G

,,

порожденный всевозможными

элемен

теми

следующих

типов:

Т)

y~^

когда

порядок

9

обратим в К

;

2)

(?-0 ( * - 0

,

где

9

-

f>-элемент,

•&

-

9 -элемент, a

f> и

9

-

различные

простые

числа.

G

ТЕОРЕМА

71. Если

периодическая

группа

аппроксимируется

ниль-

делящее порядок

некоторого

элемента

группы

G

обратимо в

К

иди

ес­

ли

Л РЯК - о ,

то Jf(KG)= n

/

m

. £

.

Кроме того,

если

по-

Ml

***

G не обратим и ненильпотентен в

рядок некоторого

элемента группы

К

, то терминал группы

G

относительно

К

равен us .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если

порядок

«л

элемента

9

обратим

в

К

, то

1*-£

Г

( 9 “ О 4

<*)

v-SL

I-у е А ^ К б )

-

84 -

Отсюда

и по *емме 70

й

с А ^(К б)

По теореме Мальцева группа

G

является прямым

произведением

своих

силовских

f>-подгрупп;

G * П

*

. В

силу

тождества

(2)

каждый

х е .

А ^К Б )

’

допускает

запись

л

,

(5)

где каждое

принадлежит

некоторой

силовской

-подгруппе.

По­

кажем, что каждое слагаемое

элемента

ж

либо

со­

держит

элемент

, порядок которого

обратим в

В

, либо в

его

записи

участвуют

элементы хотя

бы из двух различных силовских

f>-под­

групп. Действительно,

если

G = f£i*.Hi

и утверждение

неверно,

то

су­

ществует

такое

i

,

что

о * зс+y(H j) t

А**(®/Н{.)

*

Тогда

/Ч-

н е -

09

обратим в

К

,

Л * К

= 0

и группа,G/j|t

-

аппроксимируется

нильпо-

тентвнми

(>i -группами

ограниченного показателя.

Однако

это

противо­

речит теореме

65

и

А“ ( к е ) - й

.

Если

терминал

группы G

относительно

К

меньше to> ,

то для

каждой

силовской

р «подгруппы

Р

группы

I?

идеал

A(JCP)

нильпо-

тентен. Тогда по предположению б простое

число

(> нильпотент в

К

,

что противоречит

предположению.

Поэтому остается

доказать,

что

A"(KG)*A“ 4<(KG)

. Если

x

t

A"(KG)

,

то

х

имеет вид (5 )

и каждое

слагаемое

Аи (К б )

,

Покажем,

что

эти

слагае­

мые принадлежат Ам“ (К б )

,

Пусть

порядок

обратим в

К

,

а

порядки

»

c j ,

-

не-

обяадают этим свойством. Если

эс ,

,

те

х -

,

так как

элементы из

г р .к .

различных

силовских

|> -подгрупп

•'парно

перестановочны.

Тогда в силу (4 )

* - х . * Л у * л [ ± £ Х ( ? ч - 0 ы ] £ А ~ ‘( * 6 ) .

Пусть

}>

и

^

- различные

простые

числа

и

порядки

элементов

необратимы в

К

.

Тогда

% можно представить в виде

*

где

fyix

'

- соответственно

имеют порядки

ш еей, что

p m( f i \ t X f a ~ 0 е A CKG) .

Аналогично

получаем, что pS(f^)(^~^ с А (.KG)

Если.

1 .. L.-S

1« Л , р + лг С^ f То

Кальшайд [i] показал,

что для любого

натурального

числа

it

существует

такая конечная группа

£ (rt)

,

терминал которой относи­

тельно

z

больше или равен

со*л

. Однако, для любой

конечной

группы терминал меньше

2со

.

Грюнбергом и Роузблатом

Ш

определе­

ны локально

конечные группы

G

,

терминал

которых относительно

Z

меньше

2в»

и показано

какие

значения

принимает терминал.

■

-

8 6

-

Г Л А В А

2

ИНВАРИАНТЫ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ

В 1947

г . на Мичиганской алгебраической

конференции Р.Трэлл по­

ставил следующую фундаментальную проблему теории групповых колец:

какая'связь существует между строением групп

G й

Н

,

если груп­

повые

кольца

KG

и

КН

изоморфны как

К -алгебры ?

В частности,

изоморфны ли в этом случае

группы

G и

Н

?

В настоящей главе обсуждается эта проблема и приводится ряд ин­

вариантов групповых колец. Для упрощения изложения

нам

необходимо

ввести ряд новых понятий.

Пусть

и ш

~

мультипликативная группа

г р .к .

KG

над комму­

тативным

кольцом

К

. Как известно, отображение

Х е

Ф ”

j

является

гомоморфизмом

г р .к . KG

на

К .

Поэтому, бграничение

на

U(KG)

задает

гомоморфизм этой группы на мультипликативную груп­

пу и (к )

кольца К

,

ядро

которого обозначим

через

V(KG)

. Оче­

видно,

что

U(№)*U(K)*V(ICG) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа V(Kfi)

называется

нормированной мультипли­

кативной

группой г р .к .

КС

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подгруппа Н

группы

V(KG)

называется

базисной

подгруппой г р .к .

KG

, если элементы

14

образуют

К -базис

К -модуля

KG

( т . е .

и элементы из

U

fc-линейно

не­

зависимы) .

KG=KH

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 72. Если

,

то в

группе

V(KG)

существу­

ет

такая

подгруппа

изоморфная

Н

,

.что

Gt

базисная

подгруппа

г р .к .

KG .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если

£:KH-*-KG

-

изоморфизм

колец, то отоб­

ражение

&( £ )

является мономорфизмом группы Н

в

группу

V(KG)

в

силу

равенства

Х ^ Я ) В 4

,

К - линейное продол­

жение

'f

задает

изоморфизм .между

г р .к .

КН

и

KG

, а

подгруппа

'/Ш )

есть

базисная

подгруппа

г р .к .

KG

.

Н

К упомянутой

проблеме

примыкает проблема

Р.Ьраузра:

будут ли

-

87

изоморфны две

группы

и

Сг

, групповые

алгебры

которых

над лю-

бш полем изоморфны?

Вероятно, предположение

справедливо

для

групповых алгебр групп

без кручения, но как

показал Дэйд

[I]

, существует

конечные

неизо­

морфные группы, групповые алгебры которых над произвольным полем

изоморфны.

§16.

ЦЕЛОЧИСЛЕНШ ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА

Пусть

Н«<?

и

( f y .I I

} .

Тогда

каждый

х е К С

имеет

вид

2Z

$ i X i

и отображение

4^

,

определенное как

эс^

,

является

гомоморфизмом

правого

КН-модуля

К б

на

КН-модульКН

.

Отображение

сохраняет

сумму коэффициен­

тов

и для каждого

х сКН

% (* ) .* .

ЛЕММА 73. I) Если

х б А(Кб)У(н) ПKU

,

то

* £

А*(КЮ .

2)

если

g,s.Gni+AO*G)!tQJ)

,

то

•

3)

если К

гомо­

морфный образ кольца рациональных чисел и элемент у

группы

6

действует

на

как внутренний автоморфизм, индуцированный

элементом

ф

,

то

и ^

Ш

)

является

КС -модулем и для каждой

промежуточной подгруппы

З Д в О в Ь е И

фактор-группа

н4

К6-И30-

морфна

аддитивной

группе

кольца

^

и)/ к ( т т +

ш ) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если

хе.А(В6)У(М) ПКН

,

то существует

такие

a t c K C

и

,

ЧТО

X»

. Тогда

X - Ун с * ) « 2 р

% t o > 0 c* ) < А‘ ( к н ) •

Пусть

t^ tG n 1+А (К б )У (Н )

. Если

f i U

,

то

у - l

до­

пускает запись

в

виде

, где

x itB H

и ^аГ Ц С /н ) .

Отсюда

-1

с т

и )

,

что невозможно. Следовательно,

г

и

и в силу

доказанного, ^ - 1 ж А ( В Ц )

,

Пусть

К

-

гомоморфный образ

кольца

целых

чисел и

-

8 9

-

как абелевы группы различных порядков не изоморфны.■

ЛЕША 75.(С.Д.Берман) Если

х

- нетривиальный обратимый эле­

мент

конечного

порядка

целочисленного г р .к .

конечной группы

G ,

то

в

Sup/ ж

нет

элементов

центра

группы

G .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если лемма

неверна,

то

существует

такой обрати­

мый элемент

х

конечного

порядка,

что

txx-t£.o + 0 .

Пусть

Л“-* Й (Г )

-

регулярное

представление кольца

1 6

.

н е

­

порядок

группы

G

и wt,...,<0 K

-

характеристические

корни матрицы

Д (* >

. Тогда

след матрицы

й(ос)

равен

/.п .

и

C.i

i- l

Так как

<£. -

целое

число и 1£.л1 > а.

,

то

а

отсюда

о»».

, Поэтому

и

«.«««»• 1

,

что

невозможно.

■

Следующая теорема содержится в работах Ливингстона и Кона, Пас-

смана

t2] ,

1мудя

и Куринной,

Обаяши [I]

,

Сэндлинга,

Сегала

и дока­

зана

для групповых колец конечных групп.

ТЕОРЕМА 76. Пусть

G

- произвольная

группа и

Н

-

базисная

подгруппа г р ,к .

ZG .

Тогда

существует

такое

взаимно-однозначное

соответствие S

между конечными нормальней подгруппами группы

G

я

U

,

что

f

сохраняет порядок, включение, пересечение и обьедине-

вие конечных нормальных подгрупп и обладает следующими свойствами:

X) для любых таких конечных нормальных подгрупп N

и М

,

что

Я с М

в фактор-группа

-

абелева,

М/ ц *

Ш Ь н

;

2) для любой конечной нормальной подгруппы

N

группы

G

(« Ю ’. ' Я Г

И

J(N ,C )-(* N ,H )

; У)

для любых конечных

нормаль­

ных подгрупп

М

И Я

группы

G

.

группы

О

. Тогда

является центральный алгебраическим

элементом к

х 4= п .х

. Так как

Z G * Z H

, то

+ A & s

(& i£W)

и ввиду теорем

19 и 26 подгруппа

носителя

элемента

х

конечна. По условию

Хе (£;)■=!

и