Контурный элемент может представлять собой кривую, тогда она разбивается на ряд линейных участков, при этом точность измерений определяется минимальным размером аппроксимирующего элемента. Если в контуре имеются разветвления, применяют следующие приемы: учитывают только максимальную длину; учитывают только особые кончики (например, с завихрениями); учитывают сумму всех частей; не учитывают ответвления.

При подсчете количества контурных элементов (с учетом их ориентации) для криволинейных участков контура вычисляются все углы промежуточных звеньев, на которые они разбиты (точность растет при уменьшении длины отрезка). Общую ориентацию замкнутого контура определяют, исходя из ориентации всех составляющих его отрезков.

3.2. Признаки, полученные в частотной области анализа изображений. Спектральные признаки

Спектральные признаки – это признаки, в процессе получения которых используется спектральная модель преобразования изображения:

FW (u,v) = N∑−1M∑−1B(x,y)W (x,y,u,v),

x=0 y=0

где B(x, y) – яркость точки на изображении с координатами (x, y); W (x,y,u,v) – ядро преобразования.

Спектральные коэффициенты, найденные в результате двумерного преобразования, определяют веса двумерных базисных функций (базисных изображений), соответствующих этому преобразованию, при которых взвешенная сумма базисных функций идентична изображению. Эти коэффициенты показывают степень корреляции соответствующих базисных функций с изображением. Поэтому если базисное изображение имеет ту же пространственную форму, что и признак, который требуется обнаружить на изображении, то для его обнаружения достаточно определить соответствующий спектральный коэффициент. Для получения спектральных признаков применяют Фурье-преобразование, косинусное преобразование, преобразование Радона, вейвлет-преобразование и др.

Фурье-преобразование изображения в непрерывной области имеет вид

F(u,v) = ∞∫ ∞∫B(x,y)e− j2π(xu+yv)dx dy .

−∞−∞

45

В дискретной области применяют быстрое преобразование Фурье

(БПФ):

где u и v – горизонтальная и вертикальная пространственные частоты соответственно; N × M – размеры исходного изображения (в пикселях); B(x, y) – яркость точки на изображении с координатами (x, y); j – мнимая единица.

Рис. 2.15. БПФ-изображения в стандартном представлении [13]

Преобразование Фурье задает комплексное число для каждой точки частотной плоскости (u, v). C помощью обратного БПФ функция F(u, v) может быть трансформирована в исходное изображение:

u=0 v=0

46

БПФ-изображение может быть отображено с использованием четырех комплексных компонентов: действительная часть, мнимая часть, амплитуда, фаза. Соотношение между этими компонентами: F(u,v) = Re(u,v)+ j Im(u,v),

где Re(u, v) – действительная часть; Im(u, v) – мнимая часть.

фаза. Амплитуда |F(u, v)| также называется спектром Фурье и может быть выражена как F(u,v) = Re(u,v)2 + Im(u,v)2 . Фаза ϕ(u,v) также называется

фазовым углом: ϕ(u,v) = arctg Im(u,v) .

Re(u,v)

Возможно 2 представления БПФ-изображения (спектра БПФ): стандартное или нецентрированное и оптическое или центрированное (рис.

2.15и 2.16 соответственно).

В стандартном представлении высокие частоты группируются в центре,

тогда как низкие частоты расположены по краям БПФ-изображения. Нулевая

47

частота, которой соответствует постоянная составляющая исходного изображения, представляется в левом верхнем углу изображения. Шкала пространственных частот: [0,N∆u]×[0,M∆v], где ∆u , ∆v – шаги дискретизации пространственных частот u и v.

Исходное изображение Спектр БПФ

Рис. 2.17. Спектры БПФ некоторых простых изображений

В оптическом представлении низкие частоты группируются в центре изображения, а высокие располагаются по краям. Постоянная составляющая или нулевая частота находится в центре изображения. Шкала

Примеры центрированных спектров БПФ некоторых простых изображений приведены на рис. 2.17. Яркости на БПФ-изображениях пропорциональны амплитудам спектра Фурье в соответствующих точках.

48