Если целью преобразования медицинского изображения является повышение эффективности его зрительного восприятия (например, в смысле обнаружения интересующих исследователя объектов на изображении), то основное внимание при анализе должно уделяться естественным признакам изображения, которые соответствуют экзогенным факторам зрительного восприятия. Выбор необходимого метода (последовательности методов) обработки в этом случае может быть сделан с помощью полученных в результате анализа изображения значений признаков. При этом следует помнить о взаимосвязи геометрических и структурных (пространственных и энергетических) естественных признаков для зрительного восприятия изображения.

Согласно таблице 1.2 можно выделить две группы признаков: признаки,

полученные в пространственной области анализа изображений (геометрические и структурные), и признаки, полученные в частотной области анализа изображений (спектральные).

2.1. Признаки, полученные в пространственной области анализа изображений

2.1.1. Геометрические признаки изображений

Геометрические признаки изображений – это признаки, расчет которых основан на использовании геометрических характеристик представленных на изображении объектов. К геометрическим относятся метрические признаки, характеризующие метрические (размерные) свойства объектов на изображениях, и топологические, характеризующие их топологические свойства.

Важность определения геометрических признаков медицинских изображений связана с такими задачами, как определение размеров, формы и расположения относительно окружающих частей изображения (например, органов) объектов интереса врача (исследователя): новообразований, линий переломов, микроорганизмов и др., а также отслеживание изменений этих признаков (рис. 2.1).

К метрическим признакам изображений относятся:

−геометрические размеры объектов на изображении по вертикали или горизонтали;

−расстояние между наиболее удаленными точками на изображенном объекте;

28

−периметр и площадь изображенного объекта;

−компактность объекта (соотношение между его периметром и площадью);

−числовые характеристики описанных вокруг объекта на изображении или вписанных в него геометрических фигур (окружностей, многоугольников и т. д.);

−признаки, связанные с представлением геометрии контура объекта.

Рис. 2.1. Геометрические признаки изображений

Наиболее простым метрическим признаком изображений является

расстояние между точками на плоскости изображения, которое определяется как вещественная функция d{(xi ,yi );(x j ,y j )} координат двух

точек (xi ,yi ) и (x j ,y j ), обладающая следующими свойствами [11]: d{(xi ,yi );(x j ,y j )}≥ 0 ,

d{(xi ,yi );(x j ,y j )}= d{(x j ,y j );(xi ,yi )},

d{(xi ,yi );(x j ,y j )}+ d{(xi ,yi );(xk ,yk )}≥ d{(xi ,yi );(xk ,yk )}.

Чаще всего в задачах анализа изображений применяются следующие метрики:

Отметим, что для цифровых изображений разности координат представляют собой целые числа, а евклидово расстояние обычно нецелочисленное. Округление в этих случаях приводит к ошибкам определения расстояния.

29

Установив метрику, можно найти различные метрические признаки изображения. Среди наиболее важных – периметр и площадь объектов на изображении.

Приблизительно определить площадь объекта на изображении можно с помощью метода Монте-Карло. Пусть неизвестна площадь объекта сложной формы на изображении A. Впишем этот объект в простую геометрическую фигуру, площадь которой легко вычислить, например в прямоугольник площадью AS (рис. 2.2).

Представим, что площадь прямоугольника

A (и площадь вписанного в него объекта)

S

равномерно покрывается слоем снега. Для

Aмоделирования снегопада применяется генератор случайных чисел, задающих

площадь объекта: A = mn AS . Точность определения площади объекта

методом Монте-Карло зависит от количества снежинок, упавших в прямоугольник.

Гистограмма изображения

30

Рис. 2.3. Пороговое разделение изображения

Периметр и площадь объектов на изображении удобно находить для бинарных изображений, т. е. изображений с двумя градациями яркости, например для черно-белых. Бинарное изображение можно получить из исходного полутонового с помощью порогового разделения исходного изображения (рис. 2.3).

Операция порогового разделения заключается в том, что яркость изображения B(x, y) полагается равной нулю в точках, где она больше некоторого порогового значения («фон»), и единице, где она не превосходит его («объект»), или наоборот. Эта операция может также использоваться для выделения областей, соответствующих определенным структурам на изображении, и дальнейшего анализа этих областей. На рис. 2.4 приведен пример выделения объекта интереса врача – области воспаления на рентгеновском снимке зубов.

Рис. 2.4. Исходное изображение – рентгеновский снимок зубов (а) и результат автоматической пороговой сегментации в системе анализа и обработки медицинских изображений Bioscan (б)

Наиболее сложным является пороговое разделение изображения при нечетких границах областей (объекта и фона). Чтобы правильно выбрать пороговое значение в таком случае, рекомендуется проводить предварительные преобразования изображения, направленные на выделение границ (см. 3.1.2), а также исследовать гистограмму и линейный профиль изображения (см. 2.1.2).

Рассмотрим нахождение площади объекта на изображении, его положения и ориентации на примере бинарных изображений [11].

Площадь объекта на изображении вычисляется по формуле

A = ∫∫B(x,y)dx dy ,

B

31

где B(x, y) – распределение яркости в пространстве изображения; A – момент нулевого порядка объекта на изображении; интегрирование осуществляется по всему пространству изображения. При наличии на изображении более одного объекта эта формула позволяет определить их суммарную площадь.

Для определения положения объекта на изображении необходимо выбрать его характерную точку. Обычно в качестве характерной точки объекта выбирают его геометрический центр. Геометрический центр – это центр масс однородной фигуры той же формы. В свою очередь центр масс определяется точкой, в которой можно сконцентрировать всю массу объекта без изменения его первого момента относительно любой оси (x или y):

A1x = ∫∫xB(x,y)dx dy , A1y = ∫∫yB(x,y)dx dy ,

B B

где A1x – момент первого порядка (первый момент) объекта относительно оси x; A1y – первый момент объекта относительно оси y.

Тогда координаты центра масс объекта:

x0 = A1x / A , y0 = A1y / A .

За ориентацию объекта принимают ориентацию оси, вдоль которой он вытянут. В качестве такой оси обычно выбирают ось минимального второго момента объекта на изображении (момента инерции) – прямую, проходящую через центр масс объекта, для которой интеграл от квадратов расстояний до точек объекта минимален.

Момент инерции объекта относительно оси x: A2x = ∫∫y2B(x,y)dx dy ,

B

относительно оси y: A2 y = ∫∫x2B(x,y)dx dy , где x, y – координаты точек на

B

изображении. Можно показать, что сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.

Ось минимального момента инерции объекта можно характеризовать

координатами (x, y) до искомой оси. Тогда момент инерции объекта вдоль оси минимального момента:

32

A2r = ∫∫r2B(x,y)dx dy = ∫∫(y cosα − xsinα)2 B(x,y)dx dy .

B B

Для определения угла α следует найти минимум момента инерции A2r :

A2xy = ∫∫yxB(x,y)dx dy .

B

При вычислении площади, положения и ориентации объектов на цифровых изображениях интегралы заменяются суммами. При этом если цифровое бинарное изображение сканируется последовательно, например по пикселям строк, то найти нулевой, первый и второй моменты объекта можно, накапливая количество элементов, яркость которых равна единице, и их координаты.

Топологические признаки – это признаки, которые характеризуют топологические свойства изображенного объекта.

Топология (греч. tоpos – место) – часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности. Одно из основных понятий топологии – гомеоморфизм (греч. morphe – вид, форма): две фигуры (2 топологических пространства) называются гомеоморфными, если существует взаимнооднозначное непрерывное отображение любой из них на другую, для которого обратное отображение тоже непрерывно; при этом само отображение называется гомеоморфизмом.

Под топологическими понимают те признаки, которые остаются инвариантными относительно топологических (гомеоморфных) отображений. Такое преобразование или отображение можно представить себе как растяжение резинового листа с изображением объекта заданной формы, в результате которого происходит пространственное искажение этого изображения. При этом преобразования, требующие разрывов резинового листа или соединения одной его части с другой, недопустимы.

К топологическим признакам изображений относятся:

•число связных компонентов объекта на изображении – это такое минимальное число компонентов, составляющих объект на изображении, в каждом из которых любые две точки могут быть соединены линией, полностью содержащейся в том же компоненте;

33

•число «дыр» в объекте на изображении – характеризует число связных компонентов, не принадлежащих объекту (принадлежащих фону), но находящихся внутри него;

•число Эйлера – разность между числом связных компонентов объекта и числом «дыр» на нем.

характеристики отдельных объектов на изображении, необходимо пометить эти объекты таким образом, чтобы элементы изображения (пиксели), образующие разные объекты, можно было отличить друг от друга. Для этого вводится понятие связности.

Будем считать две точки изображения связанными, если существует путь между ними, вдоль которого функция яркости постоянна. На рис. 2.5 точка А связана с точкой В, поскольку можно найти непрерывную кривую, соединяющую указанные точки и целиком принадлежащую серому объекту. Точка А не связана с точкой С, так как такой кривой найти нельзя.

Связный компонент бинарного изображения – это максимальное множество связанных точек, т. е. множество, состоящее из всех тех точек, между любыми двумя из которых существует связывающий их путь.

Для выделения объектов сложной формы на бинарном изображении применяется метод «пожарных цепочек» (рис. 2.6). Пусть имеется цифровое бинарное изображение, содержащее объекты произвольной формы. Яркость пикселей, принадлежащих объектам на изображении, равна единице, а пикселей, принадлежащих фону, – нулю. Требуется рассортировать пиксели с яркостью, равной единице, по принадлежности к какому-либо объекту.

Процедура выявления элементов (пикселей), принадлежащих одному и тому же объекту, начинается с выбора пикселя с яркостью, равной единице (проиндексированного «1»). Каждый пиксель на изображении окружен восемью соседями, за исключением угловых (3 соседа) и крайних (5 соседей)

34

пикселей. Любой соседний с данным пиксель изображения считается принадлежащим к тому же объекту, что и сам исходный пиксель, если он оказался также проиндексирован «1». Если хотя бы один такой пиксель существует, то соседние пиксели исследуются на принадлежность к данному объекту относительно этого пикселя. Эта процедура, похожая на «поджигание» (с «легко воспламеняемыми» соседними элементами, проиндексированными «1»), продолжается до тех пор, пока не будут выявлены все элементы, принадлежащие объекту. Очевидно, что «огонь» этого «пожара» не может перекинуться на соседний объект, если между ними находятся «несгораемые» пиксели, яркость которых равна нулю (проиндексированные «0»).

Рис. 2.6. Метод пожарных цепочек [12]

Площадь объекта на изображении при этом можно измерить, подсчитав число «выгоревших» пикселей.

35

Для выявления следующего объекта на изображении необходимо наугад выбрать любой «невыгоревший» пиксель, проиндексированный «1», и повторить процедуру. Выделение объектов на изображении заканчивается тогда, когда на нем не останется ни одного «невыгоревшего» элемента, проиндексированного «1». Количество объектов на изображении подсчитывается исходя из числа обращений за пикселями, проиндексированными «1», для «поджигания» очередного объекта.

Рис. 2.7. Соседние элементы на изображении: четырехсвязность и восьмисвязность [13]

Заметим, что эффективность метода «пожарных цепочек» не зависит от степени сложности формы объектов на изображении и их количества. Трудности, которые могут возникнуть при реализации метода «пожарных цепочек», связаны с выбором соседнего с данным элемента изображения (пикселя). Существуют 2 подхода: четырехсвязность, когда соседями считаются только пиксели, примыкающие к сторонам данного, и восьмисвязность, когда пиксели, касающиеся данного в углах, также считаются соседями (рис. 2.7).

Рис. 2.8. Крест с выброшенным центром: четырехсвязность и восьмисвязность [11]

Рис. 2.9. Соседние элементы на изображении: шестисвязность [13]

36