Рассмотрим изображение на рис. 2.8 – крест с выброшенным центром. Согласно теореме Жордана о кривой простая замкнутая кривая должна разделять изображение на две связные области. В случае четырехсвязности на изображении имеются 4 объекта и, несмотря на отсутствие какой-либо замкнутой кривой, две фоновые области. В случае восьмисвязности 4 элемента изображения образуют замкнутую кривую, но центральный элемент связан с остальными элементами фона.

Избежать этих противоречий можно, используя четырехсвязность для элементов объекта и восьмисвязность для элементов фона (или наоборот). Кроме того, можно использовать шестисвязность – переход от квадратной решетки к гексагональной, когда соседними считаются 4 пикселя изображения, примыкающие к данному по сторонам, а также 2 из четырех пикселей, касающихся в углах (рис. 2.9).

Для определения геометрических признаков также бывает полезно выявление контуров (границ) объектов на изображении. Контур – это кривая, очерчивающая форму объекта на изображении, очертание объекта. Для выделения контуров объектов на изображениях чаще всего используются методы пространственной фильтрации, описанные в 3.1.2.

2.1.2. Структурные (вероятностные) признаки изображений

Структурные (вероятностные) признаки изображения являются числовыми характеристиками изображения как двумерного случайного процесса, который описывается совместными распределениями вероятностей элементов этого изображения.

К структурным признакам изображений относятся:

•яркостные характеристики изображения, такие, как гистограмма распределения значений яркости на изображении;

•текстурные характеристики изображения, к которым относятся характеристики случайного процесса, определяющие его корреляционные свойства, такие, как автокорреляционная функция изображения и др.;

•признаки стохастической геометрии и др.

Гистограмма изображения отражает количественное распределение

пикселей по значениям (уровням, градациям) яркости. Она обеспечивает описание общего вида изображения и помогает идентифицировать различные компоненты изображения, такие, как фон, объекты и шумы.

37

Гистограмма изображения – это функция H, определенная на шкале уровней яркости таким образом, что количество пикселей, соответствующее значению яркости rk, составляет H (rk ) = nk , где rk – k-ый уровень яркости,

nk – количество пикселей в изображении с уровнем яркости rk (рис. 2.10). В

случае полутонового изображения, имеющего 256 градаций яркости (яркостное разрешение 8 бит), шкала уровней яркости задается от 0 до 255.

nk

Рис. 2.10. Гистограмма изображения

Гистограмма отображает, какие уровни яркости встречаются на изображении чаще, а какие реже. Для удобства описания областей гистограммы диапазон тонов делят на 3 части: тень (области низкой яркости), светлая область (области высокой яркости) и средние тона (области средней яркости).

Рис. 2.11. Гистограмма изображения: а – линейная; б – кумулятивная [13]

Могут быть построены линейная и кумулятивная гистограммы. В обоих случаях по горизонтальной оси отложен уровень яркости. Для значения уровня яркости rk вертикальная ось линейной гистограммы соответствует количеству пикселей nk со значением яркости rk, а вертикальная ось

38

кумулятивной гистограммы – проценту пикселей, значения яркости которых меньше или равны rk (рис. 2.11).

Для линейной гистограммы функция плотности распределения

вероятность того, что яркость пикселя равна rk; MN – количество пикселей на изображении.

Рис. 2.12. Масштаб гистограммы: а – гистограмма в линейном масштабе; б – гистограмма в логарифмическом масштабе [13]

Для кумулятивной гистограммы функция плотности распределения

k

вероятности Hсum(rk ) = ∑nk , где Hсum(rk ) – количество пикселей, яркость

0

Pсum(rk ) – вероятность того, что яркость пикселя меньше или равна rk.

Вертикальная ось гистограммы может иметь линейный или логарифмический масштаб (рис. 2.12). Применение логарифмического масштаба позволяет обнаружить значения яркости, которым соответствует небольшое число пикселей. Эти значения могут казаться неиспользованными, если гистограмма представлена в линейном масштабе. При логарифмическом масштабе вертикальная ось гистограммы представляет собой логарифм количества пикселей с определенным уровнем яркости. Мало используемые значения яркости становятся более заметными за счет преобладающих уровней яркости.

39

Максимум

яркости

Рис. 2.13. Линейный профиль [13]

Линейный профиль представляет изменение яркости на изображении вдоль некоторой линии. Он может быть полезен при обнаружении границ компонентов изображения, подсчете уровня изменения яркости и обнаружении повторяющихся участков на изображении (рис. 2.13).

Пики и впадины соответствуют увеличению и уменьшению яркости вдоль выбранной линии. Ширина и высота пропорциональны размеру и яркости соответствующих участков. Например, светлый объект с постоянной яркостью отображается на графике в виде плато. Повышение контраста между объектом и окружающим фоном – крутые края плато. Зашумленные пиксели отображаются в виде серии узких пиков.

Текстурные характеристики изображения. Текстура используется для описания повторяющихся изменений яркости на изображении и характеризуется следующими свойствами:

1.На изображении можно найти фрагмент с «рисунком», повторяющимся в пределах области, которая велика по сравнению с размером этого фрагмента изображения.

2.Этот «рисунок» образуется элементарными составными частями, размещенными в некотором неслучайном порядке.

3.Элементарные части (базовые примитивы) – это примерно однородные единицы, имеющие приблизительно одинаковую форму по всей текстурной области, их называют зерном текстуры. Текстура обычно описывается размером ее зерна, который связан с периодом пространственной повторяемости локальной структуры («рисунка») на изображении. Большой период соответствует крупнозернистой текстуре, а малый – мелкозернистой.

Текстуры можно классифицировать на искусственные и естественные. Искусственные текстуры – это структуры из графических знаков,

расположенных на нейтральном фоне. Такими знаками могут быть отрезки

40

линий, точки, звездочки, буквы или цифры. Естественные текстуры – это изображения естественных сцен, содержащие квазипериодические структуры. Примерами могут служить фотографии кирпичных стен, песка, травы. Среди медицинских изображений это, например, изображения мышечной ткани под микроскопом, крови и т. п. Чаще всего текстуры используются при решении задач восстановления изображений, сегментации, а также для генерации искусственных изображений и моделирования трехмерных изображений.

Текстура – это свойство окрестности точки изображения, поэтому текстурные признаки зависят от размера окрестности, на которой они определяются. Для анализа текстур применяется пространственная автокорреляционная функция (кроме того, могут использоваться спектральные признаки). Значение автокорреляционной функции характеризует размер базовых примитивов текстуры и определяет зернистость текстуры.

Двумерная автокорреляционная функция определяется в соответствии с

выражением: gauto (x,y) = ∑B(x,y)B(x +i,y + j), где B(x, y) – распределение

i, j

яркости в пространстве изображения; i, j – значения смещения изображения относительно самого себя в направлениях x и y соответственно. Функция автокорреляции обладает высокой помехоустойчивостью, позволяет выявить периодические составляющие на изображении (даже неразличимые глазом), анизотропию изображения (неравномерность свойств) и направление анизотропии.

Функция взаимной корреляции (кросс-корреляционная функция)

применяется для оценки степени подобия (корреляции) двух последовательностей и часто используется для поиска в длинной последовательности известной более короткой. Вычисление функции взаимной корреляции некоторого эталонного изображения с данным является одним из наиболее распространенных способов обнаружения объектов на изображениях. При этом эталон последовательно перемещается по плоскости изображения и исследуется его сходство с различными участками изображения [9].

В результате вычисления функции взаимной корреляции двумерного изображения B(x, y) с эталоном h(i, j) получают новое изображение g(x, y):

41

g(x,y) = ∑h(i, j) B(x +i,y + j) , i, j – значения смещения эталона

i, j

относительно изображения в направлениях x и у соответственно. Положения максимумов на изображении двумерной корреляционной функции g(x, y) соответствуют тем частям анализируемого изображения, которые наилучшим образом совпадают с эталоном, и показывают местонахождение искомого объекта (эталона) на исследуемом изображении (рис. 2.14).

Однако величина взаимной корреляции не всегда адекватно отражает отличие изображения от эталона, поскольку яркость изображения зависит от координат. Взаимная корреляция может увеличиться даже при отсутствии соответствия части изображения эталону, если яркость изображения в окрестности точки с координатами (i, j) велика.

Эту трудность обходят путем определения нормированной функции

количество пикселей в эталоне h(i, j), B(i, j) – часть изображения B(x, y), соответствующая эталону h(i, j), σB и σh – стандартные отклонения яркости

части изображения B(i, j) и эталона h(i, j) соответственно, µB и µh – средняя яркость части изображения B(i, j) и эталона h(i, j) соответственно.

42

Исходное изображение

Эталон

Рис. 2.14. Определение функции взаимной корреляции изображений [14]

Нормированная функция взаимной корреляции имеет максимальную величину, равную единице, только тогда, когда часть анализируемого изображения точно совпадает с эталоном [9].

Тем не менее, в задачах обнаружения объектов на изображениях полное совпадение какой-либо части изображения с объектом-эталоном бывает редко из-за шумов и искажений, присущих изображениям, а также часто вследствие отсутствия априорной информации относительно точного вида (формы, структуры) объекта поиска. Одной из главных проблем при сопоставлении изображения с эталоном является вычислительная сложность метода: обычно изображение оказывается существенно больше эталона; кроме того, для учета изменений объектов, возникающих, например, при их повороте и масштабировании, необходимо использовать множество эталонов.

43

Признаки стохастической геометрии описываются случайными величинами, связанными с наступлением каких-либо геометрических событий. Чаще всего для получения этих признаков на плоскости изображения генерируется линия, положение которой задается случайным образом, и вычисляются некоторые характеристики, связанные с пересечением этой линией выбранного объекта на изображении. Например, это может быть число пересечений объекта линией, максимальная или минимальная длина отрезка линии, попавшего на объект, суммарная длина отрезков линии, находящихся в области объекта, и т. д. Вероятностные характеристики таких случайных величин некоторым образом описывают форму объекта, причем, в силу случайности положения линии, эти признаки инвариантны к смещениям и поворотам изображения. Также при определенных условиях может быть достигнута их инвариантность к масштабу. Кроме того, достоинством таких признаков является относительно высокая помехоустойчивость [1].

К признакам стохастической геометрии относится гистограмма ρ−ϕ контурных элементов изображения (гистограмма ориентации контурных элементов изображения) – распределение количества контурных элементов по длине вектора ρ и направлению ϕ.

Для построения гистограммы ρ−ϕ следует:

1.Подсчитать количество контурных элементов в различных диапазонах длин, независимо от их ориентации, и построить гистограмму.

2.Подсчитать количество контурных элементов, ориентированных в заданных диапазонах углов, независимо от размеров, и построить гистограмму.

3.Построить двумерную гистограмму частот по параметрам ρ и ϕ.

Сложность при измерении длины контурных элементов на изображении заключается в том, что они редко представляют собой прямые линии. Обычно это искривленные линии с множеством плавных и резких перегибов, кроме того, весьма вероятно пересечение и размножение этих кривых.

Контурный элемент может быть представлен в виде отрезка прямой, произвольно ориентированной в плоскости изображения: в этом случае после выбора точки отсчета (начала отрезка) измерение осуществляется согласно евклидовой метрике (см. 2.1.1).

44