прямого преобразования исходных значений пикселей в значения пикселей изображения с приведенной гистограммой.

3.2. Методы обработки изображений в частотной области. Частотная фильтрация

Методы обработки изображений в частотной области применяются для выделения характерных признаков изображения (см. 4.2); фильтрации изображений; кодирования (сжатия) или сокращения размерности при выполнении вычислений (ширина спектра уменьшается за счет отбрасывания или грубого квантования малых по значению коэффициентов преобразования).

Частотные фильтры изменяют значения яркостей пикселей относительно периодичности и пространственного распределения изменений яркости на изображении. Высокочастотные фильтры (фильтры высоких частот, ФВЧ) обеспечивают выделение областей резких изменений на изображении, которые соответствуют острым краям, деталям и шуму. Низкочастотные фильтры (фильтры низких частот, ФНЧ) обеспечивают усиление областей постепенных изменений на изображении, фона.

Рис. 3.30. Частотная фильтрация

Частотные фильтры оперируют с частотным представлением изображения, которое чаще всего получают с помощью прямого быстрого преобразования Фурье (БПФ). При выполнении частотной фильтрации пространственные частоты, видимые на изображении, преобразованном с помощью БПФ, отбрасываются в соответствии с выбранным методом, а затем отфильтрованное изображение восстанавливается в пространственном представлении с помощью обратного БПФ (рис. 3.30).

Детали и острые края на изображении отражают значительные изменения яркости на коротких расстояниях и связаны с высокими пространственными частотами. Плавные изменения яркости связаны с низкими пространственными частотами.

83

частоты, расположенные вне частотного диапазона, центрированного на основной (или нулевой) частоте (рис. 3.31).

Рис. 3.32. Идеальный ФНЧ [2]

Идеальный фильтр низких частот (рис. 3.32) – двумерный фильтр низких частот, который пропускает без затухания все частотные составляющие внутри круга радиусом D0 от начала координат и удаляет все

частотные составляющие вне этого круга. Его передаточная функция в частотной области:

H (u,v) = 1при D(u,v) ≤ D0;0 при D(u,v) > D0,

где D0 – частота среза, заданная положительная константа, D(u, v) –

расстояние от точки (u, v) частотной области до начала координат (центра частотного прямоугольника) [2]. Идеальный ФНЧ является радиально

84

симметричным относительно начала координат, а значит, он полностью задается своим радиальным сечением (профилем).

При использовании идеального ФНЧ возникают эффекты размывания и звона. Пример применения идеального ФНЧ с разными частотами среза представлен на рис. 3.33.

Рис. 3.33. Результаты фильтрации с идеальным ФНЧ [18]

Низкочастотный фильтр Баттерворта. Передаточная функция ФНЧ Баттерворта порядка n с частотой среза на расстоянии D0 от начала

координат:

Передаточная функция ФНЧ Баттерворта не имеет разрыва, который задает точную границу между пропускаемыми и обрезаемыми частотами. Частота среза определяет множество точек, в которых значения функции H(u, v) становятся меньше определенной доли ее максимального значения: при D0

H(u, v) становится меньше 50 % от максимального значения, равного 1 [2].

85

Рис. 3.35. ФНЧ Баттерворта [2]

В отличие от идеального ФНЧ при использовании ФНЧ Баттерворта происходит плавное уменьшение степени размывания при увеличении частоты среза, при использовании низких порядков фильтра звон на обработанном изображении не заметен (т. к. фильтру свойственен гладкий переход между низкими и высокими частотами).

Рис. 3.36. ФНЧ Гаусса [2]

Передаточная функция фильтра низких частот Гаусса:

H (u,v) = exp(−D2 (u,v)/2D02 ) ,

где D(u, v) – расстояние от центра частотного прямоугольника, D0 – частота среза, задает размах вокруг центра. Когда D(u, v) = D0, значение

передаточной функции ФНЧ Гаусса падает до 0,607 от своего максимального значения [2].

86

Как и в случае ФНЧ Баттерворта, при увеличении частоты среза ФНЧ Гаусса возникает плавное уменьшение степени размывания. Обратное БПФ от ФНЧ Гаусса также есть гауссова функция, поэтому пространственный гауссов фильтр, полученный вычислением обратного БПФ, не создает звона.

Пример применения ФНЧ Гаусса для понижения резкости тонких линий и размытия небольших пятен небольших пятен на изображении приведен на рис. 3.37.

Рис. 3.37. Результаты фильтрации с ФНЧ Гаусса. Слева направо: исходное изображение и результаты фильтрации частотами среза 100 и 80 [2]

Высокочастотные фильтры (ФВЧ) уменьшают или удаляют низкие частоты, присутствующие в БПФ-плоскости. В результате их действия подавляются медленные изменения яркости на изображении в пространственной области. В этом случае в результате обратного БПФ получается изображение, на котором яркость всех объектов уменьшена, а детали усилены.

Высокочастотный фильтр удаляет или ослабляет пространственные частоты, расположенные внутри частотного диапазона, центрированного на основной (или нулевой) частоте (рис. 3.38).

87

Пусть в частотной области задан фильтр:

0 приu = v = 0;

H (u,v) = 1вовсехостальных точках.

равна нулю [2].

Идеальный фильтр высоких частот (рис. 3.39) обнуляет все частоты,

попадающие внутрь круга радиуса D0, одновременно пропуская без ослабления все частоты, лежащие вне круга (его действие противоположно действию идеального ФНЧ):

Рис. 3.39. Идеальный ФВЧ [2]

88

Пример применения идеального ФВЧ с разными частотами среза к исходному изображению, приведенному на рис. 3.33, представлен на рис.

3.40.

Рис. 3.40. Результаты фильтрации с идеальным ФВЧ [18]

Передаточная функция высокочастотного фильтра Баттерворта

порядка n с частотой среза D0 (рис. 3.41):

Рис. 3.41. ФВЧ Баттерворта [2]

89

Фильтр высоких частот Гаусса. Передаточная функция ФВЧ Гаусса с частотой среза D0 (рис. 3.42):

H (u,v) =1−exp(−D2 (u,v)/2D02 ).

Рис. 3.42. ФВЧ Гаусса [2]

Передаточная функция высокочастотного фильтра может быть получена из заданного низкочастотного фильтра при помощи соотношения:

HФВЧ(u,v) =1− HФНЧ(u,v) .

Т. е., частоты, ослабляемые низкочастотным фильтром, пропускаются высокочастотным фильтром, и наоборот. При этом ФВЧ обладают такими же свойствами в отношении звона, как и ФНЧ.

Избирательная фильтрация. Существуют приложения, в которых представляет интерес обработка отдельной полосы частот.

Рис. 3.43. Режекторный гауссов фильтр и соответствующий ему полосовой пропускающий фильтр [2]

Фильтры, задерживающие определенную полосу частот, называют полосовыми заграждающими или режекторными фильтрами. Фильтры, пропускающие определенную полосу частот, называют полосовыми фильтрами или полосовыми пропускающими фильтрами [2].

90

Некоторые передаточные функции режекторных фильтров:

Здесь W означает ширину полосы, D – расстояние D(u, v) от центра фильтра; D0 – частоту среза, а n —порядок фильтра Баттерворта.

Полосовой пропускающий фильтр (ПФ) получается из режекторного (РФ) таким же способом, как высокочастотный фильтр из низкочастотного

(рис. 3.42): HПФ(u,v) =1− HРФ(u,v) [2].

Рис. 3.44. Результаты фильтрации с узкополосным фильтром [18]

91

Узкополосные фильтры являются наиболее широко используемыми из избирательных фильтров. Такие фильтры задерживают (или пропускают) частоты в определенной окрестности центра частотного прямоугольника и должны быть симметричными относительно начала координат.

Узкополосные режекторные фильтры строятся как произведение нескольких режекторных фильтров, центры которых совмещены с центром

узкополосного фильтра: HУПФ(u,v) = ∏Hk (u,v)H−k (u,v) , где Hk(u, v) и

k

H-k(u, v) – режекторные фильтры с центрами в точках (uk, vk) и (–uk, – vk)

соответственно [2].

Одним из главных приложений узкополосных фильтров является выборочное изменение локальных областей БПФ для удаления шумов на изображениях. Пример применения узкополосного фильтра к зашумленному изображению приведен на рис. 3.43.

92