1383

док этой величины. Для средних значений жевательной нагрузки обе модели, структурная и континуальная, дают близкие результаты. Для жевательных нагрузок, значительно превосходящих среднее значение, нелинейная структурная модель дает более корректный результат по сравнению с континуальной. Однако достигнуть болевого порога, не выходя за предельное перемещение корня зуба, пока не позволяет ни та, ни другая модель. Чтобы сделать структурную модель более корректной, надо учесть, что при больших нагрузках пучки волокон начинают работать также на поперечное сжатие.

Список литературы

1.Распределение жевательной нагрузки по зубному ряду при центральной окклюзии / О.И. Дударь, И.П. Костерина, Л.В. Майорова, Н.А. Фатеева // Российский журнал биомехани-

ки. – 2009. – Т. 13, № 3. – С. 56–62.

2.Бетельман А.И., Ортопедическая стоматология. – М.: Медицина, 1965.

3.Andersen K.L., Pedersen E.H., Melsen B. Material parameters and stress profiles within the periodontal ligament // American Journal of Orthodontic and Dentofacial Orthopaedics. – 1991. – 99. – 427–440.

4.Koichiro Komatsu. Mechanical Strength and Viscoelastic Response of the Periodontal Ligament in Relation to Structure // Journal of Dental Biomechanics. – 2010.

501

МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ МЫШЦ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ЧЕЛОВЕКА

Н.М. Маслов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

Рассматривается подход для определения усилий мышц нижней конечности человека, не требующий применения субъективно выбираемых критериев оптимальности при решении проблемы статической неопределимости. Предлагается замкнутая система уравнений в виде соотношений конечных величин (внутренних и внешних сил, деформаций податливых компонентов и перемещений жестких звеньев). Применение разработанного подхода позволяет повысить эффективность биомеханических моделейввычислительномотношении.

Ключевые слова: биомеханика, скелетно-мышечная система, математическая модель, усилия мышц.

Работа посвящена изучению и освоению метода перемещений, имеющего ряд положительных особенностей, а именно являющегося объективным, т.е. не требует использования субъективных критериев оптимизации, преодолевает статическую неопределимость задачи, выделяет активные мышцы в данном положении конечности и определяет изометрические значения их мышечных сил [1, 2].

Исследуемая биомеханическая модель конечности представляет собой систему звеньев (костей), соединенных друг с другом идеальными шарнирами и податливыми компонентами (сухо- жильно-мышечными комплексами). Костная ткань является существенно более жестким материалом по отношению к тканям сухожилий мышц, поэтому звенья скелета рассматриваются в биомеханической модели какнедеформируемыекомпоненты.

С точки зрения механики очевидно, что должны выполнятьсятригруппынеобходимыхусловий, а именно условия равновесия внешних и внутренних сил, условия совместности деформаций податливых компонентов и перемещений жестких звеньев, физические соотношения между силами в податливых компонентах

502

иизменением их длины как пассивных элементов. Такие соотношениямогутбытьпредставлены, например, закономГука.

Указанные выше три группы условий должны быть дополнены системой неравенств, отражающих условия функционирования односторонних связей. Отметим, что особенности функционирования механических систем с односторонними связями определяются тем обстоятельством, что для такой связи i возможны два состояния: «включено» (тогда Фi > 0) и «выключено» (тогда Фi = 0). Таким образом, для такой связи всегда выполняется нестрогое неравенство Фi >=0.

Построение математической модели заключается в записи в векторно-матричной форме уравнения равновесия внешних P

ивнутренних сил Ф:

где С– матрицаизвестныхкоэффициентовуравненийравновесия. Кинематическое соотношение между абсолютными деформациями D и искомыми перемещениями жестких компонен-

тов (костей) U:

где D0 – вектор, элементами которого являются начальные деформации податливых компонентов модели.

Зависимости усилий в податливых компонентах модели с учетом пассивных деформаций этих компонентов представим в виде линейных соотношений по закону Гука:

где S – симметричная положительно определенная матрица, элементы которой представляют жесткости податливых компонентов механической модели. При построении математической модели податливые компоненты представлены одномерными компонентами и поэтому матрица S является диагональной.

Выражая D из кинематического соотношения и подставляя в зависимости усилий в податливых компонентах, получаем

503

Подставляя выражение для Φ из полученного соотношения в уравнения равновесия внешних и внутренних сил, получаем:

Таким образом,

где R = СSCT – матрица жесткости. Если модель в рассматриваемом состоянии выполняет опорную функцию (т. е. играет роль несущей конструкции), то система уравнений имеет единственное решение:

Подставляя найденные значения перемещений U в уравнения для внутренних сил, находим единственно возможный набор сил Φ.

Подставив найденные значения линейных и угловых перемещений жестких звеньев (7) в уравнение (4), найдем единственно возможный набор сил Φ в компонентах модели. Если среди найденных сил в сухожильно-мышечных комплексах модели не будет отрицательных (т. е. вызывающих осевое сжатие), то задача решена. Иначе необходимо найти решение, отвечающее не только уравнениям равновесия внешних и внутренних сил, кинематическому соотношению между деформациями и перемещениями, зависимости усилий по закону Гука, но и условиям в виде неравенств Фi >= 0, i = 1, …, m, где m – число сухожильно-мышечных комплексов, принятых во внимание в биомеханической модели. С точки зрения механики это означает, что необходимо рассмотреть биомеханическую модель как конструкцию с односторонними связями.

504

Вкачестве исходных данных для вычислений по рассмотренной методике необходимы жесткости сухожильно-мышечных комплексов.

Впростейшем случае, если речь идет о прогнозировании внутренних сил по известной конфигурации скелетной системы и при известных внешних силах и если не принимаются во внима-

ние усилия мышц-антагонистов, можно считать, что D0 = 0. Применение метода к голеностопному суставу требует рас-

членения конечности на сегменты (голень, стопа, узел), представленного на рисунке.

аб

Рис. Расчленение модели фрагмента нижней конечности на части: большеберцовая кость (А); кости стопы (В); сухожильно-мышечный комплекс (узел). Коленный (a) и голеностопный суставы. Податливые компоненты модели: ахиллово сухожилие (5); мышцы (1–4); суставные хрящи (ρ1–4 – реакции хрящей). Безразмерная величина момента M=10

Вычисления по алгоритму (7), (4) с представлением всех физических величин, входящих в данные соотношения,

вбезразмерной форме выполнялись в среде Matlab. Полагая

вданном примере D0 = 0, получены перемещения узла и жестких звеньев U (7):

505

U= [0,013 0,014 0,00046 0,0032 -0,023 -0,23 0,002 -0,033]T.

Зная U, вычисляем вектор сил (4):

Ф= [6,13 3,00 – 1,28 – 1,73 – 2,95 – 0,46 – 3,16 – 2,79 – 1,17]Т.

Силы в сухожилиях и мышцах, представленные пятью первыми элементами вектора Φ, отрицательными быть не могут. Единственное решение, отвечающее перечисленным выше условиям, может быть найдено с использованием методов механики систем с односторонними связями: «выключаем» связь, реакция которой имеет наибольшее по модулю отрицательное значение (Ф5 = –2,95). Для этого достаточно заменить значение S55 = 400 в матрице S малым числом.

Правомерность такого приема объясняется тем, что, в физиологически нормальной системе сухожильно-мышечные комплексы всегда растянуты в большей или меньшей степени. Принимая S55 =10-4 и повторяя вычисления, получаем, в итоге

Φ = [6,73 5,35 0 0 0 – 0,89 – 6,67 – 4,34 3,13]T.

Как видим, найденные значения сил в сухожильно-мы- шечных комплексах модели отвечают статическим и кинематическим условиям, а также физиологически предопределенному условию неотрицательности.

Список литературы

1.Акулич Ю.В., Зинатулин Э.А. Методика определения усилий мышц и реакций в суставах при движении нижней конечности человека в реабилитационном тренажере // Российский журнал биомеханики. – 2011. – Т. 14, № 4 (50). – 87–96.

2.Колесников Г.Н. Биомеханическая модель скелетномышечной системы, построенная без субъективных критериев

оптимальности // Российский журнал биомеханики. – 2004. –

Т. 8, № 3. – С. 19–29.

506

МОДЕЛИРОВАНИИ ПОВЕДЕНИЯ МАГНИТНЫХ НАНОЧАСТИЦ В ЖИДКОЙ СРЕДЕ С УЧЁТОМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ: КОМБИНИРОВАННЫЙ ПОДХОД

П.В. Меленев1,2, Ю.Л. Райхер2

1Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия.

2Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия

Для системы коллоидных частиц ферромагнетика, помещённых в ньютоновскую жидкость, построена модель, сочетающая крупнозерни-

стую молекулярную динамику (coarse-grained molecular dynamics) с реше-

нием решеточного уравнения Больцмана (lattice Boltzmann). Такой подход позволяет эффективно с точки зрения вычислений учитывать гидродинамическое взаимодействие между магнитными частицами. Рассмотрена задача о термоиндуцированной вращательной релаксации двух наночастицах в отсутствие магнитных сил либо с учетом диполь-дипольного взаимодействия. Выяснилось, что в рассмотренном диапазоне параметров учёт гидродинамических взаимодействий приводит к небольшому росту временирелаксациисуменьшениемрасстояниямеждучастицами.

Ключевые слова: магнитные наночастица, магнитные жидкости, молекулярная динамика, метод решения решёточных уравнений Больцмана.

Численное исследование движения магнитных коллоидных частиц в жидкой среде имеет большое значения и в качестве интересной теоретической задачи, и при изучении широкого круга реальных систем: от «классических» магнитных жидкостей до объектов, используемых в биомедицинских приложениях (контейнеры для магнитоуправляемой доставки лекарств, рабочие агенты в гипертермии раковых клеток и т.п.). При этом в большинстве теоретических работ, посвящённых динамике ансамблей магнитных частиц, не учитывается влияние на поведение последних потоков жидкости, в том числе индуцированных самими магнитными объектами.

Одним из вариантов прямого учёта гидродинамических взаимодействий (ГДВ) при моделировании систем частиц ко-

507

нечного размера в жидкости является комбинация метода решения решёточных уравнений Больцмана (в англоязычной литературе: lattice Boltzmann method), используемого для описания жидкой среды, с методом крупнозернистой молекулярной дина-

мики (в англоязычной литературе: coarse-grained molecular dynamics), хорошо себя зарекомендовавшим в задачах описания магнитных коллоидов.

Метод решения решёточных уравнений Больцмана (РУБ)

впоследнее десятилетие нашёл применение для численного решения различных гидродинамических задач, в частности, благодаря возможности его эффективной параллелизации, особенно

вслучае использования графических процессоров (GPUs – Graphical Processing Units). В этом отношении метод РУБ пре-

восходит большинство других численных подходов к решению уравнения баланса [1]. Описание использованного в нашей работе варианта метода РУБ, учитывающего термофлуктуации жидкости, приведено в [2].

Идея модели объекта конечного размера в жидкой среде, использованная в нашей работе, была предложена ранее и успешно апробирована на задачах о релаксационном поведении одиночных объектов [3].

Сферическая частица радиусом R моделируется в виде системы материальных точек – субъектов расчёта методом молекулярной динамики, равномерно распределённых внутри и на поверхности сферы того же радиуса. По виду полученная структура напоминает распределение зёрен в ягоде малины (рис. 1), что и дало название модели (в англоязычной литературе: raspberry model). Структура объекта зафиксирована, и «малина» способна вращаться лишь как единое целое. В задачах, учитывавших магнитные взаимодействия, в центр объекта помещается материальная точка, которой присваивался дипольный момент заданной величины. Считается, что момент «вморожен» в тело частицы, т.е. его поворот приводит к вращению «малины» и наоборот.

508

Модель «малины» была использована для исследования влияния ГДВ на вращательную диффузию частиц в жидкой среде температуры T . Была рассмотрена система из двух объектов- «малин» радиусом RRB каждый, центры которых размещались

на фиксированном расстоянии L . Исследовалась зависимость

метода РУБ и коэффициента трения ζLB .

Моделирование показало, что прямое включение ГДВ в расчёт приводит к некоторому замедлению релаксации у близкорасположенных частиц (рис. 2). При этом в рассмотренном диапазоне значений ηLB , ζLB полученное отклонение τD оста-

валось в пределе 15 %. Слабое влияние ГДВ на процесс можно объяснить тем, что в рассмотренной постановке единственной причиной вращения частиц были температурные (а значит, нерегулярные) флуктуации, не создававшие долгоживущих и/или интенсивных гидродинамических структур.

Рис. 2. ЗависимостьвременирелаксацииДебая τD системы

двухчастицотдистанциимеждуними(кружкамиобозначены результатыдля ηLB = 1, ромбами– для ηLB = 10, вобоих

случаях ζLB = 1)

510