1383

Как известно, большинство окружающих нас материалов является поликристаллами. Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования показывают, что свойства поликристаллических материалов и их поведение на макроуровне в процессе неупругого деформирования существенным образом определяются состоянием эволюционирующей мезо- и микроструктуры. Как правило, в процессе эволюции материал приобретает кристаллографическую текстуру, которая определяет преимущественные ориентации кристаллитов и порождает в материале анизотропные свойства [1]. Исследование текстур при помощи натурных экспериментов является весьма дорогостоящим. В настоящее время существуют модели, способные описать внутреннюю структуру материала, в том числе процессы текстурообразования. Например, статистические физические теории пластичности. Таким образом, актуальность построения модели неупругого деформирования, описывающей в том числе текстурообразование, подтверждается острой необходимостью ее применения для исследования технологических процессов

сцелью улучшения свойств материала и предотвращения негативных эффектов [1].

При разработке моделей ключевыми проблемами являются вопросы идентификации параметров модели в целом и модели ротации в частности. Для решения последней задачи необходимо предложить способ определения «близости» модельных и экспериментальных данных ориентаций зерен макрообъема. Как правило, такие данные представляют собой полюсные фигуры и для их сравнительного анализа перспективным представляется подход, основанный на вейвлетах [2, 3].

Целью данной работы являются построение, постановка и решение оптимизационных задач идентификации и верификации параметров физической многоуровневой модели неупругого деформирования, которые относятся к мезо- и микромасштабам,

сиспользованием экспериментальных данных распределения ориентаций зерен поликристалла. Для решения поставленной

421

задачи предлагается исследовать корреляцию спектрального состава исходных данных. В работе исходными данными являются массивы данных, полученные путем преобразования полюсных фигур. Массивы данных представляет собой двумерный массив, где номер элемента массива указывает на координаты в пространстве (на полюсной фигуре), а значение – вероятностная характеристика попадания направления кристаллита на выделенную площадку.

Основная часть работы посвящена рассмотрению двухуровневой модели неупругого деформирования, ее идентификации и верификация при помощи текстурных данных. Главными результатами модели для текущего этапа работы являются полюсные фигуры. После получения полюсных фигур, они представляются в виде массива данных и обрабатываются вейвлетпреобразованием [2, 3]. От полученных функций вейвлеткоэффицентов берется корреляционная функция и определяется мера корреляции двух полюсных фигур.

Ниже приведены математические постановки мезо- и макроуровня двухуровневой модели неупругого деформирования, подробнее описанные в статьях [1, 4]. Математическая постановка для модели неупругого деформирования мезоуровня выглядит следующим образом:

422

где σ – тензор напряжений Коши; п – тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d, de, din – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие на мезоуровне; γk, τk – накопленный сдвиг и напряжение сдвига по

k-й системе скольжения; m(k ) = n(k )b(k ) – ориентационный

тензор k-й системы скольжения, b(k), n (k) – единичные векторы в направлении вектора Бюргерса и нормали к плоскости

скольжения, H – функция Хэвисайда, τ(ck ) – критические напряжения сдвига на k-й системе скольжения, o − ориентаци-

k-й системе скольжения, γ0 − начальная скорость сдвига, n –

скоростная чувствительность.

Модель макроуровня представляется следующей совокупностью соотношений:

где Σ – тензор напряжений Коши на макроуровне, П – тензор

модулей упругости, D , Din – тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющая соответственно, индекс R означает независящую от выбора системы отсчета производную, Ω – тензор, описывающий движение подвижной системы координат, относительно которой определяется собственно деформационное движение на макроуровне.

Уравнения для анализа корреляции полюсных фигур записываются следующим образом:

423

где M – мера корреляции, K – корреляционная функция, Wтеор и Wэксп – функция вейвлет-коэффициентов теоретических и экспериментальных данных, sтеор и sэксп – теоретические и экспе-

риментальные данные, Ψ* – анализирующий вейвлет (звездочка обозначает комплексное сопряжение), который получается вращением одномерного вейвлета вокруг выделенной оси, a1 и a2 – границы масштаба, на котором рассматривается сигнал, t – ра- диус-вектор, зависящий от двух пространственных координат, а – масштаб, b – вектор сдвига двух пространственных координат. Для корреляционного анализа из двухуровневой модели будут передаваться сформированные массивы вероятностных характеристик полюсной фигуры.

В ходе работы были разработаны и реализованы модель неупругого деформирования, алгоритм для задачи о сравнении двух прямых полюсных фигур. Проведены серии численных расчетов для сравнения двух модельных и экспериментальных полюсных фигур. Результаты данной работы, а точнее, полученный способ для сопоставления полюсных фигур, можно применять в физических моделях неупругого деформирования

424

с целью идентификации параметров модели ротации, описывающей текстуробразование.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 16-31-60002-мол-

а-дк, № 16-31-00215-мол-а).

Список литературы

1.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

2.Астафьева Н.М. Вейвлет анализ: основы теории и при-

меры применения // Успехи физических наук. – М., 1996. –

№166. – С. 1145–1170.

3.Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». – Ижевск, 2001. – 464 с.

4.Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория определяющих соотношений. Ч.II: Теория пластичности. – Пермь: Изд-во Перм.

гос. техн. ун-та, 2008. – 243 с.

ЭФФЕКТ ПОРТЕВЕНА — ЛЕ ШАТЕЛЬЕ

Е.А. Чечулина

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, zhenya-chechulina@yandex.ru

Данная работа посвящена исследованию эффекта Портевена – Ле Шателье (ПЛШ), характеризующегося немонотонным откликом (напряжениями) при монотонном деформировании (появлением зубцов или ступенек на диаграмме «напряжение – деформация»). Представлено описание трехуровневой математической модели, учитывающей процессы диффузии, предназначенной для описания эффекта ПЛШ в поликристаллических материалах при термомеханическом нагружении. При построении модели применен многоуровневый подход, основанный на использовании в ее структуре внутренних переменных – параметров, характеризующих состояние и эволюцию мезо-

425

и микроструктуры материала. На всех рассматриваемых уровнях используются несимметричная мера деформированного состояния и модифицированный закон Гука.

Ключевые слова: деформационное старение, многоуровневые модели, эффект Портевена – Ле Шателье.

Из экспериментальных данных известно, что различные материалы в процессе пластической деформации могут демонстрировать сходные закономерности (например, эффект Баушингера, эффект Портевена – Ле Шателье, зуб текучести), наблюдаемые для широкого класса материалов. Данная работа посвящена исследованию неустойчивого пластического течения, а именно эффекта Портевена – Ле Шателье, который для большинства металлов и сплавов в определенных температурно – скоростных диапазонах деформирования проявляется на диаграммах «напряжение – деформация» в виде ступенек или зубцов.

Некоторые общие закономерности, проявляющиеся для различных материалов, обусловлены наличием неоднородностей свойств материала и согласованным движением больших массивов дислокаций на различных масштабных уровнях, от наноразмеров до величин, соизмеримых с размерами макрообразцов. В значительной мере в существующих моделях [1] физика процессов «напрямую» вводится в определяющие соотношения, без использования параметров, описывающих указанные механизмы и их носители.

В силу того, что свойства материала на макроуровне в значительной степени определяются его микроструктурой, очевидно, что для адекватного воспроизведения пластической неустойчивости необходимо введение описания самоорганизации микроструктурных процессов, которые в конечном счете могут привести к спонтанному появлению локализации деформации.

Причину неустойчивости пластического деформирования большинство исследователей связывают с динамическим деформационным старением, обусловленным взаимодействием между

426

подвижными дислокациями, временно остановившимися на препятствиях (дислокациях леса или других дефектах) и диффундирующими атомами примеси, которые дополнительно «закрепляют» дислокации.

Вработе предлагается трехуровневая математическая модель, предназначенная для описания эффекта Портевена – Ле Шателье в поликристаллических материалах при термомеханическом нагружении.

Вкачестве основной физической гипотезы принимается, что все эффекты, связанные с прерывистой пластичностью, обусловлены диффузионными процессами: диффузией примесей

кдислокациям и взаимодействием их с последними, образованием нано- и субмикроскопических вторичных включений из примесных атомов или их соединений.

При построении модели применяется многоуровневый подход, основанный на использовании в ее структуре внутрен-

них переменных – параметров, характеризующих состояние

иэволюцию мезо- и микроструктуры материала [2]. В соответствии с особенностями структуры и механизмами деформирования в рассмотрение вводятся три масштабных уровня: макроуровень – уровень представительного объема макромасштаба, мезоуровень I – уровень отдельного кристаллита и мезоуровень II – уровень «субкристаллита». На каждом уровне используются несимметричные меры деформаций и скоростей деформаций

имодифицированный закон Гука [3].

Связь родственных переменных осуществляется с помощью условий согласования определяющих соотношений. Переход от микроскопического описания неустойчивости пластического течения к макроскопическому осуществляется с помощью соотношения, полученного на основе уравнения Орована.

Описание дислокационной структуры основано на введении однородных плотностей дислокаций на каждой системе скольжения и эволюционных уравнений, описывающих меха-

427

низмы их зарождения и аннигиляции. Для учета взаимодействия дислокаций с соседними зернами вводятся положительные и отрицательные дислокации на каждой системе скольжения. Для описания эволюции плотности мобильных и иммобильных дислокаций используются эволюционные дифференциальные уравнения.

Анализ физических механизмов и многоуровневого характера пластической деформации и неоднородностей, ей сопутствующих, которые могут проявляться на различных масштабных уровнях, позволил построить трехуровневую модель для учета процессов диффузии и описать эволюцию плотности дислокаций на системах скольжения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ

(грант 16-31-00215 мол_а).

Список литературы

1.Трусов П.В., Чечулина Е.А. Прерывистая текучесть: физические механизмы, экспериментальные данные, макрофеноменологические модели // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механи-

ка. – 2014. – № 3. – С. 186–232.

2.Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Трусов П.В. Конститу-

тивные соотношения с внутренними переменными: общая структура и приложение к текстурообразованию в поликристаллах // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2006. –

№14. – С. 11–26.

3.Трусов П.В. О несимметричных мерах напряженного и деформированного состояния и законе Гука // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического уни-

верситета. Механика. – 2014. – № 2. – С. 220–237.

428

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕГУЛЯЦИИ ИММУННОЙ И НЕЙРОЭНДОКРИННОЙ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ НАРУШЕНИЙ

В.М. Чигвинцев

Федеральный научный центр медико-профилактических технологий управления рисками здоровью населения», Пермь, Россия, cvm@fcrisk.ru

В статье представлена математическая модель функционирования иммунной и нейроэндокринной систем на примере взаимодействия этих систем в ответ на вирусную инвазию. Разрабатываемая модель описывает влияние изменения продуцирующей функции отдельного органа на общую работу нейроэндокринной и иммунной систем.

Ключевые слова: математическая модель, динамическая система, иммунная система, нейроэндокринная система, вирусы.

Математическое моделирование динамических систем и, в частности, их применение для описания иммунных процессов в организме человека, это активно развивающаяся область. В частности, это связано с тем, что существующие статистические методы не позволяют в полной мере оценить эффекты, вызванные процессом накопления функциональных нарушений в системах организма, в связи с ограничениями на разработку и проведение экспериментов [1]. Следует также отметить, что недостатками экспериментальных методов изучения является сложность выбора влияющих на нее факторов. В качестве одного из методов поиска оптимальных стратегий для снижения заболеваемости используется математическое моделирование. Такой подход позволяет сократить время и ресурсы, необходимые, чтобы найти решение проблемы. Математические модели дают возможность анализировать влияние факторов и их комбинаций на человека и население в целом.

Существующие модели для описания иммунных процессов имеют ряд недостатков. Они описывают лишь отдельные звенья иммунитета, которые не позволяют оценить последствия их нарушения для всего организма. Модели не описывают

429

сложные взаимодействия иммунной и нейроэндокринной систем, а также влияние их функционального состояния на ход вирусной инфекции.

Врезультатеэтогостановитсяактуальнойработапосозданию математической модели механизмов взаимодействия иммунной инейроэндокринной систем в контексте вирусной инфекции, принимаявовниманиенарушениесинтетическойфункцииорганов.

Блок-схема модели состоит из множества взаимосвязанных элементов иммунной и нейроэндокринной систем, участвующих в реакции организма на вирусное заражение. Моделирование учитывает функциональное состояние включенных в исследование органов [2, 3, 4]. Нарушение функционального состояния костного мозга влияет на скорость производства различных клеток врожденного и приобретенного иммунитета. Нарушение функционального состояния элементов нейроэндокринной системы снижает эффективность регуляции иммунного ответа. Для того чтобы оценить ущерб, нанесенный вирусами, в модели учитывается функциональное состояние органа-мишени.

Была сформирована система из 17 уравнений с начальными условиями на основе приведенной схемы взаимодействия механизмов регуляции с участием элементов иммунной и нейроэндокринной систем, что представляет собой задачу Коши, записанную для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с запаздывающим аргументом.

Параметры модели были найдены с использованием данных, описывающих процесс заражения вирусом гриппа в организме. Определение параметров модели было проведено с использованием структурной идентификации, что позволяет использовать опубликованные результаты научных исследований в области анализа взаимодействия отдельных элементов иммунной и нейроэндокринной систем. Недостающую часть параметров оценивали в соответствии с собственнымилабораторнымиисследованиями.

Выявленные параметры позволили провести численный эксперимент, показывающий три возможных сценария поведения системы, которые различаются по степени нарушения функции

430