1383

тиц и тесселяции икосододэкаэдрами, удалось добиться наполнений 20 и 25 % соответственно.

РаботавыполненаприподдержкеРНФ(проект№14-19-01358) в части применения результатов к геометрическому моделированию композитовAl/SiС.

Список литературы

1.Мясникова М.В., Халевицкий Ю.В. Численноемоделирование деформации структурных составляющих алюминиевого металломатричного композита[Электронное издание] // ХI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сб. докладов; Казань, 20–24 авуста2015 г. – Казань: Изд-во Казан. (Приволжский) федер. ун-та, 2015. – C. 2712–2715.

2.Bouafia F., Serier B., Bouiadjra B.A.B. Finite element analysis of the thermal residual stresses of SiC particle reinforced aluminum composite // Computational Materials Science. – 2012. – Vol. 54. – P. 195–203. URL: http: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/S092702561100601X

3.Mishnaevsky L. Computational Experiments in the Mechanics of Materials: Concepts and Tools // Computational Mesomechanics of Composites. John Wiley & Sons, Ltd, 2007. – P. 115–128. – URL: http: //dx.doi.org/10.1002/9780470513170.ch5

4.Fritzen F., Böhlke T. Periodic three-dimensional mesh generation for particle reinforced composites with application to metal matrix composites // International Journal of Solids and Structures. – 2011. – Т. 48, № 5. – С. 706–718. – URL: http: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020768310004099

5.Bagi K. Special Issue on Mechanics of Granular Materials A quasi-static numerical model for micro-level analysis of granular assemblies // Mechanics of Materials. – 1993. – Vol. 16, no. 1. – P. 101–110. – URL: http: //www.sciencedirect.com/science/article/ pii/016766369390032M.

6.Real-Time Physics Simulation. – URL: http: //bulletphysics.org/ (дата обращения: 21.07.2016).

411

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ О СТАТИЧЕСКОМ РАСШИРЕНИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ

В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

А.Р. Хасанов

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, artur_raisovich@rambler.ru

В настоящей работе представлена новая постановка задачи о статическом расширении цилиндрической полости в упругопластическом нелинейно сжимаемом полупространстве при конечных деформациях с целью определения сопротивления среды расширению полости. Рассматриваемая задача актуальна в связи с применением ее решения в области прикладной теории проникания. Автором получен ряд качественных выводов о коэффициенте расширения полости в зависимости от приложенного давления, представлены результаты численных экспериментов для различных материалов (металлические сплавы, мягкие грунты).

Ключевые слова: статическое расширение полости, упругопластический материал, нелинейная сжимаемость.

В работе рассмотрена пространственно-одномерная задача (с осевой симметрией) о расширении цилиндрической полости с начального R0 до конечного R радиуса в полупространстве под действием нормальной распределенной нагрузки σ0 на границе.

В постановку задачи, помимо известных соотношений неразрывности (1) и равновесия (2) в условиях цилиндрической симметрии [1], входит уравнение состояния (3) в виде [2], позволяющее описывать поведение как металлов, так и сжимаемых (пористых) сред:

412

гдеr, x – лагранжевая и эйлеровая координаты,ρ0, ρ – начальная и текущая плотности, σr,σθ – радиальная и окружная компоненты тензора напряжения Коши; в соотношение (3) входят среднее давление p, объемный модуль K и предельная средняя деформация пористой среды εp , связанная с выборкой начальной порис-

тости материала.

При исследовании грунтов используется условие пластичности (4) в форме Кулона [1]:

где τ, σ – касательное и нормальное напряжение на площадке; c – сцепление; φ – угол внутреннего трения.

Уравнения (1)–(4) с граничными условиями x(R0 ) = R , p(R0 ) = − p0 и условием непрерывности напряжений и переме-

щения на границе упругой и пластической областей образуют постановку задачи расширения цилиндрической полости в полупространстве.

Следует отметить, что впервые подобная задача о расширении сферической полости рассмотрена в работе [3].

Процесс построения аналитического решения включает в себя два этапа. На первом этапе при учете закона текучести Мизеса–Шлейхера получено выражение для распределения давления во внутренней (пластической) зоне. На втором этапе получено решение во внешней (упругой) области. С учетом требования непрерывности напряжений и радиального перемещения получены конечные соотношения для нормального напряжения на границе полости и давления во всем упругопластическом диапазоне. Для определения последнего неизвестного параметра – радиуса внешней границы пластической области – получено нелинейное интегральное уравнение.

Ниже представлены графики связей безразмерных параметров для грунтов (рис. 1–2) и металлов (рис. 3). Пара-

413

_

метр R = R / x характеризует степень уплотнения, где x –

K = K / τ0 , σ0 = σ / τ0 .

_ _

Рис. 1. Зависимости параметра R от К для глинистых грунтов

_

Рис. 2. Зависимости σ0 от φ при фиксированном К для песков (при λ = Ro/R = 0)

414

2.Аптуков В.Н., Мурзакаев Р.Т., Фонарев А.В. Прикладная теория проникания. – М.: Наука, 1992. – 104 с.

3.Аптуков В.Н. Расширение сферической полости в упругопластической среде при конечных деформациях. Сообщение 1. Влияние механических характеристик, свободной поверхности, слойности // Проблемы прочности. – 1991. – № 12. – С. 7–14.

УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ В ДВУХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ ЖИДКОСТИ И ПОРИСТОЙ СРЕДЫ:

ВЛИЯНИЕ ТОЛЩИНЫ ПОРИСТОГО СЛОЯ

К.Б. Циберкин

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, kbtsiberkin@psu.ru

В рамках исследования устойчивости течения однородной жидкости над слоем пористой среды Бринкмана, насыщенной той же жидкостью, описано влияние толщины пористого слоя на структуру нейтральных кривых и критические числа Рейнольдса. Обсуждаются физические механизмы, которые определяют порог устойчивости системы.

Ключевые слова: двухслойная система, пористая среда, взаимодействие потоков, линейная устойчивость.

Исследуется устойчивость стационарного плоскопараллельного течения в системе наклонных слоёв однородной жидкости и пористой среды, насыщенной той же жидкостью, находящихся в поле тяжести (рис. 1). Данная задача позволяет детально изучить взаимодействие смежных потоков [1–3].

Основной сложностью здесь является описание переноса импульсачерез границу раздела слоёв. В качествемодели фильтрации обычно используется модель Дарси или Дарси–Форхгеймера, либо модель Бринкмана [4]. Для стационарных течений известно несколько вариантов граничных условий, удовлетворяющих свойствам той или иной модели, и большинство из них включает эмпирические параметры, связанные с характеристиками пористой сре-

416

ды. Их подбор позволяет добиться согласования стационарных профилей скорости [1], однако в работах [3, 5, 6] было показано кардинальное различие устойчивости течения при его описании в рамках указанных моделей. По итогам этих исследований был сделан вывод о большей физической достоверности модели Бринкманас граничнымиусловиями Ошоа–Тапия–Уитейкера [2, 4].

Рис. 1. Геометрия двухслоной системы

Исследование зависимости критических чисел Рейнольдса иструктуры нейтральных кривых течения позволяет выявить иописать различные механизмы развития неустойчивости, действующие в системе. В работах [2, 3, 5, 6] и других детально исследовано влияние на устойчивость проницаемости пористого слоя иего относительной толщины. Исследования были проведены вшироком диапазоне значений проницаемости, однако значения толщины пористого слоя d в перечисленных работах рассматривались только в относительно узком интервале, соответствующем расположениюграницыразделавблизисерединысистемы.

В работе [6] интервал значений d был расширен, что позволило сделать предварительные выводы о влиянии на развитие возмущений стационарного течения близости границы раздела к одной из внешних границ (рис. 2). В настоящей работе большее внимание уделено области малых значений толщины пористого слоя (рис. 3). Дополнительно проведён анализ дисперсионных кривых (рис. 3).

417

течения в слое однородной жидкости ввиду уменьшения его толщины. Стабилизация течения происходит и при уменьшении пористого слоя, начиная со значения d ~ 0,2. Этот эффект объясняется подавлением образующихся в однородной жидкости крупномасштабных вихрей ввиду влияния близкорасположенной твёрдой нижней границы, а также непосредственным сильным торможением течения в пористой среде, несмотря на высокую скорость течения в толстом слое однородной жидкости.

Другой выраженной особенностью являются значительные перестройки структуры дисперсионных кривых по мере уменьшения толщины пористой среды. Видно, что по достижении некоторого критического значения толщины (d < 0,2) значение частоты вдлинноволновом пределе быстро возрастает и уходит на бесконечность, тогда как при большей толщине пористого слоя частота колебаний в длинноволновом пределе остаётся конечной и является экстремальным значением для зависимости. На нейтральных кривых при этом полностью исчезает длинноволновый минимум неустойчивости, заметныйпри большихтолщинахслоя.

Список литературы

1.Alazmi B., Vafai K. Analysis of fluid flow and heat transfer interfacial conditions between a porous medium and a fluid layer // International Journal of Heat and Mass Transfer. – 2001. – Vol. 44. – P. 1735–1749.

2.Tilton N., Cortelezzi L. Linear stability analysis of pressuredriven flows in channels with porous walls // Journal of Fluid Mechanics. – 2008. – Vol. 604. – P. 411–445.

3.Instability of plane-parallel ow of incompressible liquid over a saturated porous medium / T.P. Lyubimova, D.V. Lyubimov, D.T. Baydina, E.A. Kolchanova, K.B. Tsiberkin // Physical Review E. – 2016. – Vol. 94, 013104.

4.Nield D.A., Bejan A. Convection in porous media. – 4th ed. – Springer, 2013. – 778 p.

5.Tsiberkin K., Kolchanova E., Lyubimova T. Verification of the

boundary condition at the porous medium-fluid interface // EPJ Web of

419

Conferences. – 2016. – Vol. 114. – 02125; Proceedings of EFM15 – Experimental Fluid Mechanics. – 2015, Prague, Czech Republic.

6. Циберкин К.Б. Устойчивость течения над насыщенной пористой средой, содержащей растворенную примесь // Вестник Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. – 2015. – Т. 25, № 1. – С. 107–116.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕКСТУРНОЙ ИНФОРМАЦИИ В ПРОЦЕДУРАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ВЕРИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

В.А. Частоедов, Н.С. Кондратьев

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Россия, v.a.chastoedov@mail.ru, kondratevns@gmail.com

Рассматриваются проблемы анализа текстуры поликристалла и процедура сравнения полюсных фигур, полученных теоретически в физических моделях неупругого деформирования и экспериментально. В качестве математического аппарата сравнительного анализа используется вейвлет-анализ. Предложен и численно реализован алгоритм сравнения теоретических и экспериментальных данных.

Ключевые слова: физические теории пластичности, неупругое деформирование, вейвлет-анализ, полюсные фигуры

В настоящее время актуально разработать новые или улучшать качество уже существующие материалов. Такие инновации необходимы практически во всех сферах жизнедеятельности человека. В качестве примеров можно привести автомобильные аварии, где необходимо предложить материал для большего поглощения энергии столкновения, и строительную промышленность, где улучшение прочностных характеристик металлических балок позволит сократить количество требуемого материала для строительства и уменьшить вес здания.

420