1383

МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОГРУЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ

ИЕГО РЕАЛИЗАЦИЯ ДЛЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

СПОМОЩЬЮ МЕТОДА РИТЦА

Н.А. Воробьев, Ю.С. Кузнецова, Н.А. Труфанов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, vorobeyvnikita@gmail.com

Изложены основные положения метода геометрического погружения в напряжениях применительно к решению плоских задач теории упругости. Построен дискетный аналог вариационного уравнения МГП с помощью метода Ритца. На примере модельной плоской задачи продемонстрированы возможности метода. Приведен сравнительный анализ решений, полученных методом геометрического погружения в напряжениях на основе Ритца и классическим методом конечных элементов в перемещениях.

Ключевые слова: метод геометрического погружения, метод Ритца, вариационный принцип Кастильяно, плоские задачи теории упругости.

Метод Ритца представляет собой широко известный численный метод решения задач механики деформируемого твердого тела [1]. При рассмотрении задачи теории упругости, сформулированной в напряжениях, идея метода Ритца будет заключаться в поиске экстремального значения функционала Кастильяно на семействе функций, линейно зависящих от нескольких параметров, заведомо статически допустимом. В литературе большинство задач, решенных методом Ритца, имеют простую геометрическую форму. Было бы привлекательно распространить такой классический подход на класс задач, сформулированных на неканонических областях. Одним из подходящих известных методов является метод геометрического погружения, позволяющий получать решение в области сложной пространственной конфигурации как последовательность решений задач в некоторой более простой по форме (канонической) области [2–3].

В данной работе рассматривается вариационная постановка задачи теории упругости в рамках вариационного принципа

471

Кастильяно. Запишем функционал дополнительной работы упругого тела применительно к плоскому случаю:

Su ; tx , ty – усилия на поверхности, где заданы кинематические

граничные условия.

Поскольку функционал (1) определен на статически допустимых полях напряжений, удобно использовать функцию напряжений Эри, позволяющую автоматически удовлетворить

− (txUx + tyU y )dSu .

Su

Согласно процедуре метода геометрического погружения, введем в рассмотрение каноническую область D0 , такую что D0 полностью охватывает реальную область D , за D обозначим область, дополняющуюD до D0 . Тогда (3) преобразуется к следующему виду:

472

где a1,a2 ,...,an – постоянные, подлежащие определению, φ1, φ2 , ..., φn – набор базисных функций, удовлетворяющих од-

− (txUx + tyU y )dSu ,

Su

где через φi,xx , φi, yy , φi,xy обозначим вторые производные функции напряжений по соответствующим координатам.

Требование свойства стационарности δΠC (φ) = 0 приве-

дет к следующему набору условий относительно неизвестных a1,a2 ,...,an :

473

Su

{a} – вектор неизвестных.

Решать (6) будем, используя следующую итерационную процедуру:

условие остановки которой выбрано в виде:

где в качестве нормы вектора {a} выбрана норма Чебышева, β – задаваемое вычислителем малое положительное число.

Таким образом, (6) – дискретный аналог вариационного уравнения метода геометрического погружения в напряжениях, построенный на основе метода Ритца.

474

В качестве примера рассмотрена задача о растяжении вдоль оси Ox бесконечной пластины с круговым абсолютно жестким включением радиусом R под действием пораболически распределенной нагрузки P. Проведен анализ различного набора базисных функций для представления функции напряжения по форме (5). Продемонстрировано сравнение результатов, полученных методом геометрического погружения в напряжениях на основе Ритца иклассическим методомконечных элементовв перемещениях.

Список литературы

1.Лурье А.И. Теория упругости. – М.: Наука, 1970. – 490 с.

2.Шардаков И.Н., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. Метод геометрического погружения в теории упругости. – Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1999. – 298 с.

3.Теоретические положения метода геометрического погружения в напряжениях / П.О. Деревянкина, Ю.С. Кузнецова, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков // Вычисл. механика сплош.

сред. – 2014. – Т. 7, № 3. – С. 317–330.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОГРУЖЕНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Н.А. Воробьев, Ю.С. Кузнецова, Н.А. Труфанов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, vorobeyvnikita@gmail.com

Изложены основные положения метода геометрического погружения в напряжениях применительно к решению осесимметричных задач теории упругости. Основная идея метода заключается в построении сходящейся итерационной процедуры, позволяющей получать решение в области сложной пространственной конфигурации как последовательность решений задач в некоторой более простой по форме (канонической) области. На примере модельной осесимметричной задачи продемонстрированы возможности метода. Приведены тестовые расчеты резинометаллических амортизаторов.

475

Ключевые слова: метод геометрического погружения, метод конечных элементов в напряжениях, вариационный принцип Кастильяно, осесимметричные задачи теории упругости.

Метод геометрического погружения (МГП) – один из методов, позволяющих свести краевую задачу теории упругости для области произвольной формы к задаче на канонической области. Формулировка МГП ранее дана в перемещениях, предложены эффективные алгоритмы реализации методом конечных элементов, вариационно-разностным методом, методом граничных элементов [1]. В данной работе предлагается использование МГП для осесимметричной задачи теории упругости в напряжениях. Привлекательность данного подхода связана с принципиальной возможностью получения полей напряжений при численной реализации МГП с более высокой точностью, решения задач для несжимаемых и слабосжимаемых материалов [2, 3]. Кроме того, получение решения задачи в перемещениях и в напряжениях позволяет построить вариационные нижнюю и верхнюю границы,

вкоторых гарантированно лежит точное решение задачи.

Вданной работе рассматривается вариационная постановка задачи теории упругости в рамках вариационного принципа Кастильяно. Функционал дополнительной энергии упругой системы имеет вид:

где V – область, в которой разыскивается решение, σˆ , εˆ – тензоры напряжений и деформаций с компонентами σij (r ) , εij (r )

соответственно, r = (r,φ, z) V , Ui – заданные перемещения на поверхности Su , ti – усилия на поверхности, где заданы кине-

матические граничные условия.

Функционал (1) определен на множестве статически допустимых полей напряжений σij (r ) , удовлетворяющих в облас-

476

ти V уравнениям равновесия и статическим граничным условиям на части поверхности тела Sσ ( Sσ Su = S ):

где Ti – заданные усилия на поверхности Sσ , αj – компоненты

вектора внешней единичной нормали к поверхности тела. Введем в рассмотрение некоторую каноническую область

V0 , включающую исходную область V произвольной формы, так

Можно показать, что поля напряжений, минимизирующие функционал (2), в области V доставляют минимальное значение функционалу (1).

Условие минимума функционала (2) примет вид:

Вариационное уравнение (3) будем решать, используя следующую итерационную процедуру [2]:

477

где k – номер итерации.

Таким образом, на каждой итерации в (4) необходимо решать вариационное уравнение в канонической области V0 , что

можно с успехом сделать, используя существующие для этих целей формулировки МКЭ в напряжениях, например осесимметричные элементы для цилиндрических канонических областей.

Вработе рассмотрена процедура построения дискретного аналога вариационного уравнения (4) с помощью метода конечных элементов в напряжениях для осесимметричной задачи теории упругости в цилиндрической системе координат. Для дискретизации выбран прямоугольный в сечении осевой конечный элемент. В качестве неизвестных в узле элемента выбраны значения компонент тензора напряжений. Учет статических граничных условий осуществляется с помощью модификации глобальной матрицы податливости и вектора обобщенных перемещений.

Вработе продемонстрировано практическое применение метода геометрического погружения на основе вариационного

принципа Кастильяно и его конечно-элементной реализации в напряжениях. Получено достаточно хорошее соответствие результатов определения полей напряжений в сравнении с традиционным МКЭ в перемещениях на примере задачи о сжатии по внутренней границе конечного полого цилиндра с жестким прямоугольным в сечении включением под действием равномерно распределенной нагрузки P. В качестве канонической области выбран цилиндр, полностью охватывающий реальную область.

На основе вычислительных экспериментов установлена практическая сходимость итерационной процедуры. В качестве примера на рисунке приведены поля радиального и касательного напряжений.

478

МОДЕЛИРОВАНИЕТЕЧЕНИЯЖИДКОСТИ ВСОСУДЕ СПЕРЕМЕННЫМСЕЧЕНИЕМИИЗГИБОМВДЕФОРМИРУЕМОМСОСУДЕ

Н.О. Воронова1, М.И. Шмурак2

1Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, voronova.1994@gmail.com,

2Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, shmurak2007@yandex.ru

Проводятся исследования течения ньютоновской жидкости в деформируемом сосуде с переменным сечением или изгибом. Представлена постановка связанной задачи гидродинамики и задачи деформации стенки сосуда. Приводится иллюстрация напряженно-деформированного состояниястенкисосуда.

Ключевые слова: моделирование, течение, задача гидродинамики, напряженно-деформированное состояние, кровеносный сосуд.

Работа посвящена исследованию влияния деформации стенки сосуда на течение крови.

Математическая постановка связанной задачи представлена в виде задачи гидродинамики (уравнение Навье–Стокса и уравнение неразрывности) с учетом перепада давления, заданного в граничных условиях, условия прилипания, непротекания на боковой поверхности и задачи деформации (уравнение равновесия, определяющее соотношение и соотношение Коши) с жестким закреплением стенки по торцам, а также с начальными условиями. Расчетная область – цилиндрическая область, которая состоит из области течения жидкости и стенки сосуда – изотропный материал. Рассмотрены задачи с различной конфигурацией расчетной области: сужение по центру сосуда, конусообразное сужение (при продольном сечении – конус), S и С-изгибы.

Полученные результаты показывают области, наиболее подверженные «избыточным» нагрузкам ввиду образования вихря, приводящего к образованию обратного течения и вследствие суммарного падение скорости на всем исследуемом участке.

480