3.2.4. Одноиндексная модель Шарпа

Одноиндексная модель Шарпа находит широкое практическое применение среди инвесторов, управляющих портфелями ценных бумаг [87].

В отличие от модели Марковица, в ней не требуется выполнение сложной процедуры определения взаимной ковариации (и корреляции) выбранной ценной бумаги (ЦБ) со всеми остальными ЦБ. Достаточно определить, как каждая ЦБ соотносится с фондовым индексом (RTSI, RBCC и др.). Поэтому простота проведения инженерных расчетов является одним из безусловных достоинств данной модели [94]. В отличие от мультииндексной модели Марковица, модель Шарпа называют диагональной или одноиндексной моделью.

В рамках модели Шарпа доходность портфеля ЦБ представляется как среднее взвешенное значение показателей доходности ценных бумаг, его составляющих, с учетом - риска. Она определяется в соответствии с выражением [70,137]:

, (3.15)

где - безрисковая доходность; - ожидаемая доходность рынка в целом.

Риск портфеля ценных бумаг находится с помощью оценки среднего квадратичного отклонения функции и определяется по формуле [137]:

, (3.16)

где - среднее квадратическое отклонение доходности рынка в целом, т. е. показатель риска рынка в целом; - - риск и остаточный риск i - й ценной бумаги; W_i – вес i - й ценной бумаги.

Математическая постановка решаемой задачи имеет вид

(3.17)

При реализации модели Шарпа использованы следующие ограничения и формулы.

1. В качестве безрисковой ставки доходности принята доходность государственных ценных бумаг (облигаций внутреннего государственного займа).

2. В качестве доходности рынка ценных бумаг в целом в период t используются фондовые индексы. Среднее значение доходности ценных бумаг, составляющих рынок, за период t рассчитывается в соответствии с выражением [70]

, (3.18)

где - доходность рынка ценных бумаг в период t; - доходность i - й ценной бумаги за период t.

3. - риск ценной бумаги, рассчитывается по формуле [70]

, (3.19)

где - -риск i - й ценной бумаги; - безрисковая доходность в период t; T - рассматриваемое количество периодов времени.

4. Избыточная доходность ценной бумаги рассчитывается по формуле [137]

. (3.20)

5. Риск рынка ценных бумаг в целом определяется по формуле [70]

. (3.21)

Обобщенный алгоритм реализации модели Шарпа представляет собой выполнение следующей последовательности действий [62]:

Шаг 1. Выбор М ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определение исторического промежутка в N шагов расчета, за который рассматриваются значения доходности для каждой ЦБ.

Шаг 2. Определение рыночных доходностей за рассматриваемый период времени по выбранному рыночному индексу.

Шаг 3. Определение величины дисперсии рыночного показателя , значений ковариаций доходностей каждой ЦБ с доходностью рыночного портфеля (выбранным фондовым индексом) и расчет величины .

Шаг 4. Вычисление ожидаемых доходностей каждой ЦБ , доходности рыночного портфеля и расчет параметра .

Шаг 5. Вычисление дисперсии случайных ошибок .

Шаг 6. Подстановка полученных значений в соответствующие уравнения. Определение весов ЦБ с учетом выбранного значения ожидаемой доходности инвестиционного портфеля.

Шаг 7. Построение границы эффективных портфелей и определение оптимального портфеля.

Рассмотрим пример оптимизации портфеля ценных бумаг на основе одноиндексной модели Шарпа.

В качестве исходных данных (табл. 3.1) для моделирования использованы еженедельные котировки акций шести компаний в течение определенного периода.

Таблица 3.1

Исходные данные о доходности ценных бумаг

	НОМЕР ПЕРИОДА
ЦБ:	1	2	3	4	5	6	7	8
Акции 1	-1,25%	0,00%	4,43%	-12,12%	32,41%	-5,21%	-17,58%	14,00%
Акции 2	-15,56%	0,00%	72,11%	10,86%	22,76%	1,12%	6,67%	-8,33%
Акции 3	11,24%	0,00%	19,79%	17,39%	-4,07%	4,25%	-25,93%	-9,00%
Акции 4	0,00%	0,00%	2,30%	1,12%	0,00%	0,00%	16,56%	0,00%
Акции 5	-0,85%	14,89%	33,59%	-27,09%	0,12%	23,29%	-4,41%	2,62%
Акции 6	47,37%	-11,90%	-9,46%	4,48%	22,00%	-4,92%	-3,33%	-8,66%
	НОМЕР ПЕРИОДА
ЦБ:	9	10	11	12	13	14	15
Акции 1	0,00%	-3,46%	-10,00%	30,00%	1,23%	-8,97%	-1,45%
Акции 2	1,14%	3,45%	5,20%	-7,65%	-13,21%	2,76%	8,52%
Акции 3	23,08%	10,60%	0,98%	0,00%	12,34%	0,00%	-34,00%
Акции 4	0,00%	5,76%	1,54%	-0,70%	0,00%	-1,46%	-12,51%
Акции 5	0,32%	13,40%	4,70%	0,00%	-23,51%	9,43%	3,01%
Акции 6	-3,77%	-1,20%	0,00%	32,10%	17,30%	2,01%	-1,92%

Доходность рынка в целом принималась на основании экспертных оценок ввиду отсутствия данных из внешних источников. В качестве безрисковой доходности принималась приведенная к недельному сроку доходность трехмесячных государственных краткосрочных облигаций. Данные о доходности рынка в целом и о безрисковой доходности представлены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Данные о доходности рынка в целом и о безрисковой доходности

Период	Доходность рынка в целом	Безрисковая доходность
1	5 %	0,75 %
2	2,5 %	0,75 %
3	10 %	0,80 %
4	2 %	0,80 %
5	7 %	0,80 %
6	4 %	0,90 %
7	1,5 %	0,90 %
8	2 %	0,90 %
9	3 %	0,90 %
10	3,5 %	0,85 %
11	2,5 %	0,85 %
12	5 %	0,85 %
13	1,5 %	0,85 %
14	2 %	0,85 %
15	1 %	0,85 %

Рассчитанные характеристики ЦБ ( - риск, избыточная доходность и остаточный риск ) представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Значения основных характеристик ценных бумаг

Вид акции	- риск	Избыточная доходность	Остаточный риск
Акции 1	2,883	-7,04 %	11,89 %
Акции 2	5,913	-10,58 %	14,34 %
Акции 3	2,672	-6,17 %	11,37 %
Акции 4	0,130	-0,35 %	5,55 %
Акции 5	3,353	-6,46 %	12,65 %
Акции 6	1,568	0,33 %	15,95 %

При проведении расчетов учитывалось, что: требуемая доходность портфеля =4 %, допустимый риск портфеля =8 %, прогнозируемая безрисковая доходность =1 %, ожидаемая доходность фондового рынка =3,5 %.

При проведении оптимизации решалась прямая задача (обеспечение максимальной доходности при заданном уровне риска) и обратная (обеспечение минимального риска для требуемой доходности).

Модель Шарпа обладает одним существенным недостатком, который призвана парировать разработанная автором нейромодифированная одноиндексная модель Шарпа.

Результаты оптимизации структуры фондового портфеля применительно к акциям 6 типов, представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Результаты оптимизации портфеля на основе модели Шарпа

Прогноз:	доходность рынка 3,5 % ; безрисковая доходность 1 %
	Структура портфеля
	Прямая задача	Обратная задача
Требования:	Риск меньше 8 %	Доходность выше 4 %
Акции 1	0 %	0 %
Акции 2	18 %	23 %
Акции 3	0 %	0 %
Акции 4	38 %	23 %
Акции 5	11 %	11 %
Акции 6	34 %	43 %
Характеристики	Доходность 3,38 %	Доходность 4 %
оптимального портфеля	Риск 8 %	Риск 9,72 %