3.2.2. Постановка задачи определения распределения финансовых ресурсов в оптимальном портфеле Марковица

Пусть v_i, i=1,…,n есть доля ЦБ А_i в произвольном портфеле П: П=v₁A₁+…+v_nA_n. Основные параметры портфеля определяются в соответствии с выражениями (3.3) и (3.4).

Необходимо выбрать доли v₁+…+v_n таким образом, чтобы значение функции U для результирующего портфеля П=( , ) было максимальным:

. (3.7)

Ограничениями в задаче выступают условия (3.6) и (3.7):

v₁+…+v_n=1, (3.8)

. (3.9)

Условие (3.8) показывает, что доли в сумме должны составлять единицу, а условие (3.9) говорит о том, что ЦБ нельзя брать взаймы и давать в долг. Применительно к безрисковой бумаге условие не учитывается.

Данная задача (3.7) – (3.9) определения условного экстремума решается известными методами математического анализа (например, методом множителей Лагранжа, сводящей задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум). Для получения конкретных результатов важно знать вид функции полезности. Наименее сложна задача определения портфеля с заданной доходностью и минимизацией риска. Доли риска в данном случае будут определяться в соответствии с выражением

(3.10)

где - вектор долей рисковых активов в портфеле; - матрица ковариаций случайных величин R_i, - ожидаемые доходности рисковых активов, r₀ – доходность безрискового актива, - вектор-столбец, все координаты которого равны единице.

Рассмотрим демонстрационный пример определения долей облигаций в инвестиционном портфеле.

Дано: сформирован оптимальный портфель, состоящий из облигаций трех эмитентов: Авангард, ВТБ, Газпром. Число временных интервалов наблюдения равно 3. Доходности облигаций в заданных временных интервалах наблюдения распределены следующим образом: Авангард: 0,175; 0,169; 0,178; ВТБ - 0,189; 0,195; 0,197; Газпром - 0,167; 0,171; 0,163.

Найти: доли облигаций в портфеле.

Решение. Среднее значение доходностей облигаций найдем по формуле (3.3):

,

,

.

Получим вектор средних доходностей:

Матрица ковариаций определяется следующим образом:

,

Аналогично вычисляем остальные значения. Получаем:

Обратная матрица к матрице ковариаций равна:

Доли облигаций в портфеле найдем по формуле (3.10). Получим:

Общая доходность портфеля, рассчитываемая по формуле (3.3), составит:

.

3.2.3. Обобщенный алгоритм реализации модели Марковица

Блок-схема обобщенного алгоритма реализации модели Марковица представлена на рис. 3.5 [80].

Блоки 1, 10 реализуют начало и конец алгоритма.

Блок 2 используется для ввода ряда исходных данных: типа облигаций; временных интервалов наблюдений; доходности облигаций к погашению.

В блоке 3 реализован расчет математического ожидания доходностей облигаций. Расчет ведется по формуле

, (3.11)

где r_it – эффективная доходность i-й облигации в период времени t;

t – номер периода диапазона накопления информации; T – длительность периода накопления информации.

Блок 4 обеспечивает проверку условия определения математического ожидания доходностей для всех типов облигаций. Если условие выполнено, то управление передается в блок 5. В противном случае управление передается в блок 3.

Рис. 3.5. Блок-схема обобщенного алгоритма реализации модели Марковица

Блок 5 рассчитывает матрицу ковариаций доходностей облигаций.

Ковариация между эффективными доходностями i-й и j-й облигаций (_ij) определяется по формуле

, (3.12)

где r_it и r_jt – эффективные доходности, соответственно, i-й и j-й облигации в период времени t, %; r_i и r_j – соответственно, математические ожидания эффективных доходностей i-й и j-й облигации.

В блоке 6 проверяется условие перебора всех пар облигаций. Если условие выполнено, то управление передается в блок 7. В противном случае управление передается в блок 5.

В блоке 7 определяется обратная ковариационная матрица.

В блоке 8 реализовано определение долей облигаций в портфеле по формуле

(3.13)

где - вектор долей облигаций в портфеле; - обратная ковариационная матрица; e - единичный вектор; - транспонированный единичный вектор.

Кроме того, в данном блоке определяется доходность портфеля по формуле

, (3.14)

где - вектор математических ожиданий доходностей облигаций;

- вектор долей облигаций в портфеле;

N - количество облигаций в портфеле;

mp - доходность портфеля.

Блок 9 обеспечивает вывод результирующей информации.