Раздел 3

РАЗРАБОТКА СПЕЦИАЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО

ОБЕСПЕЧЕНИЯ СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ

ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

3.1. Структура разрабатываемого специального математического обеспечения

Специальное математическое обеспечение (СМО) системы поддержки принятия инвестиционных решений (СППИР) малого предприятия представляет собой систему взаимосвязанных по “входу-выходу” моделей и алгоритмов, используемых в интересах рационального распределения финансовых инвестиций для облигаций, а также обеспечивающих повышение точности и оперативности принятия соответствующих инвестиционных решений [80, 90, 98, 99].

Структурная схема СМО СППИР приведена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Структурная схема системы моделей и алгоритмов

рационального распределения финансовых инвестиций

Исходные данные, необходимые для проведения расчетов, поступают на вход двухуровневого алгоритма идентификации исследуемых финансовых инструментов [86]. На начальном этапе (первом уровне идентификации) определяется тип используемого финансового инструмента (в рамках данной работы это облигации). Затем задается класс исследуемого финансового инструмента (например, купонные облигации). Совокупность используемых классов представлена в ранее разработанной классификации (см. п. 2.2 и рис. 2.2).

В зависимости от заданного класса облигаций инициализируется соответствущий алгоритм, рассчитывающий характерный для него (класса) набор параметров (доходность - затраты). Детализация рассчитываемых параметров в совокупности с контрольными примерами, приведена в п. 2.3, 2.4 (табл. 2.3-2.5) [80].

Рассчитанные значения параметров облигаций поступают в блок моделей (базу моделей) оптимизации распределения финансовых инвестиций для проведения дальнейших расчетов и в базу данных на хранение в табличном виде с целью воспроизводимости последних для последующего анализа и выработки рекомендаций лицу, принимающему решение (ЛПР). В качестве моделей оптимизации распределения финансовых инвестиций в данной работе представлены модели Марковица и Шарпа, а также нейромодифицированная модель Шарпа. Полученные на их основе результаты сравниваются по точности и оперативности [80, 95]. На основе результатов сравнения принимается решение об использовании соответствующей модели.

Рассмотрим детализацию элементов СМО СППИР.

3.2. Модели оптимизации распределения финансовых инвестиций

3.2.1. Геометрическая интерпретация модели Марковица

Модель Марковица определяет набор эффективных портфелей, обеспечивающих наибольшие ожидаемые доходности для определенных уровней риска [14]. Данная модель имеет ряд специфических особенностей (ограничений).

1. Инвестирование, в рамках данной модели, рассматривается как однопериодный процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется [62].

2. Считается, что рынок ценных бумаг является эффективным. Это означает, что изменение информации о состоянии внешней среды (информации о политической ситуации, данных об экономической обстановке и др.) практически мгновенно отражается на котировках ценных бумаг [97].

3. Предполагается, что значения доходности ЦБ являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону. Поэтому при формировании портфеля достаточно учитывать два показателя: ожидаемую доходность r и стандартное отклонение σ, как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении) [62].

4. Модель позволяет определить набор эффективных портфелей [27].

Применительно к последнему ограничению на основе геометрической интерпретации данной модели может быть показано существование единственного оптимального портфеля, что имеет практическое значение для инвестора и подтверждает целесообразность применения данной модели в СППИР. Рассмотрим доказательство данного утверждения.

Для каждого финансового портфеля инвестор задает функцию полезности U(σ,r), аргументами которой являются ожидаемая доходность r и риск σ. В качестве риска, как правило, выступает стандартное отклонение r [62]. В процессе своей инвестиционной деятельности инвестор стремится максимизировать функцию полезности . С математической точки зрения это эквивалентно решению уравнения вида . Решения {r (σ)} данного уравнения представляют собой линии уровня функции U. В литературе [25] линии уровня называют кривыми безразличия (indifference curves). Функция полезности обладает рядом свойств:

1. нерасположенность к риску ;

2. ненасыщаемость ;

3. выпуклость.

На рис. 3.2 представлен вид линий уровня функции полезности вида . Стрелкой отмечено направление возрастания функции полезности.

Портфель с ожидаемой доходностью и риском является оптимальным, если на множестве допустимых портфелей для него функция полезности достигает максимума . Данное утверждение может быть сформулировано в виде следующей теоремы [109].

Теорема 1. Оптимальный портфель находится в точке касания области Е эффективного множества портфелей с определенной кривой безразличия.

Доказательство. На рис. 3.3 приведены кривые безразличия и область эффективного множества портфелей.

Если область эффективного множества портфелей Е пересекается с кривой безразличия , то существуют допустимые портфели, лежащие выше и левее кривой , для которых значение функции полезности будет больше, чем на самой кривой или ниже её. Следовательно, оптимальный портфель лежит левее и выше линии уровня , пересекающей область Е.

Рассмотрим произвольную линию уровня , лежащую левее и выше области Е. Значения функции полезности на линии уровня больше чем на линии уровня . Однако, как видно из рисунка, на ней не лежит ни одного портфеля

(она не имеет точек пересечения с областью эффективного множества портфелей Е. Следует предположить, что оптимальный портфель находится правее и ниже . А это есть точка касания , что и требовалось доказать.

Важным инструментом в рамках практической реализации данной модели являются безрисковые активы. Они существенным образом влияют на множество эффективных портфелей. Представим на координатной плоскости (риск, доходность - (σ,r)) множество эффективных портфелей Е_r (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Эффективные портфели и безрисковая ЦБ

Они состоят только из рисковых ЦБ А₁,…,А_n. Пусть существует безрисковый актив F=(0, r_F). Поскольку множество Е_r вогнуто, то существует не более одной касательной к Е_r, проходящей через точку F. Если касательная существует, то обозначим ее l, а точку касания – Т. Портфель, соответствующий точке Т, будем называть касательным портфелем.

Теорема 2. Луч [FT) является множеством эффективных портфелей, включающих бумаги F, А₁,…,А_n.

Доказательство. Рассмотрим множество допустимых портфелей вида П=v₀F+v₁A₁+…+v_nA_n, v_i 0 при i 1 и v₀+v₁+…+v_n=1. Среди них есть портфель П_r, который включает лишь рисковые бумаги А₁,…,А_n. Доли рисковых бумаг в данном портфеле повторяют доли портфеля П. Если предположить, что v₀<1, то

П_r= . (3.1)

Тогда П= v₀F+(1- v₀) П_r. При этом ожидаемые доходность и риск будут определяться в соответствии с выражениями:

r_П= v₀r_F+(1- v₀) , . (3.2)

Уравнения (3.2) являются параметрическими. Они задают на плоскости ( ,r) луч. Значит, портфель П_r принадлежит лучу [FП_r). Отсюда следует, что портфель П, который включает бумаги F, А₁,…,А_n, является допустимым лишь в том случае, если существует портфель П_r (по определению он состоит только из рисковых бумаг) такой, что П [FП_r). Таким образом, портфели, принадлежащие [FT), являются допустимыми, поскольку Т является допустимым портфелем, состоящим только из рисковых бумаг.

Допустим, что портфель П₀=( , ) [FT) эффективным не является. Тогда следует предположить, что существует такой портфель П₁ П₀, для которого и . Это значит, что П₁ находится левее и выше луча [FT). С учетом вышеприведенного доказательства существует такой портфель П₂, содержащий рисковые бумаги, что П₁ [FП₂). Но луч [FП₂) находится левее и выше луча [FT), а значит, не пересекает множество допустимых портфелей, что неверно. Значит, верно первое предположение, что и требовалось доказать.

В рамках реализации данной модели на практике, важно обоснование того факта, что, несмотря на общие подходы к формированию портфелей, результаты у инвесторов (формируемые портфели) оказываются независимыми. В связи с этим рассмотрим теорему о независимости комбинаций рисковых активов в портфеле при одинаковой оценке инвесторами рисков и ожидаемых доходностей.

Теорема 3. Пусть инвесторы одинаково оценивают риски и ожидаемые доходности. Тогда оптимальная для инвестора комбинация рисковых активов не зависит от его предпочтений относительно риска и дохода.

Доказательство. В соответствии с теоремой 2 все инвесторы сформируют портфель:

П= v_0jF+(1- v_0j)T,

где F – безрисковая бумага, Т – касательный портфель, v_0j – доля капитала j – го инвестора, вложенная в безрисковый актив. Поскольку рисковая часть проекта содержит касательный проект Т, то это значит, что доля вложений в произвольную рисковую бумагу по отношению к рисковой части портфеля не зависит от предпочтений инвестора, несмотря на различные доли v_0j. Таким образом теорема доказана.

Из теоремы 3 не следует, что инвесторы сформируют один и тот же портфель. Чем больше инвестор не хочет рисковать, тем ниже на луче [FT) расположен его оптимальный портфель. Поэтому портфели будут различными.

Таким образом, алгоритм геометрического определения оптимального портфеля на основе модели Марковица, представляет собой выполнение следующей последовательности действий:

Шаг 1. Построение множества допустимых портфелей.

Шаг 2. Выделение эффективных портфелей на множестве допустимых.

Шаг 3. Построение кривых безразличия инвестора.

Шаг 4. Выбор кривой безразличия, соприкасающейся с эффективным множеством портфелей.

Шаг 5. Определение точки касания. Оптимальный портфель находится в точке касания. Основные параметры оптимального портфеля (доходность - риск) рассчитываются следующим образом.

Ожидаемая доходность будет определяться в соответствии с выражением

r_П= , (3.3)

где r_i – доход, приносимый i- й ЦБ.

Риск портфеля будет определяться в соответствии с выражением

, (3.4)

где - коэффициент корреляции между доходностями r_i и r_j, - риски i- й и j – й ЦБ.

Рассмотрим пример, демонстрирующий применение геометрического подхода для анализа инвестиционного портфеля.

Пусть рынок ЦБ представлен двумя активами А(0,1;0,1) и В(0,2;0,3) с коэффициентом корреляции взаимных доходностей =0,5. Функция полезности портфеля инвестора имеет вид: U( ,r)=0,6r – r² - .

Необходимо найти параметры оптимального инвестиционного портфеля.

Параметрические уравнения расчета доходности и риска, допустимых портфелей П= tA+(1-t)B, с учетом (3.3) и (3.4), будут иметь вид:

r_П= tr_A+(1- t) r_B=0,3-0,2t, (3.5)

. (3.6)

Точка касания линии уровня функции U( ,r) и множества допустимых портфелей является точкой размещения оптимального портфеля .

Касательная к множеству допустимых портфелей в точке П= tA+(1-t)B будет рассчитываться как

.

При этом , .

Следовательно, .

Линии уровня функции U( ,r)=0,6r – r² - описываются уравнением вида -(r-0,3)²- =C-0,09. Для определения наклона касательной к линии уровня продифференцируем данное уравнение почленно по . Имеем:

.

Следовательно, .

Если приравнять полученное выражение к выражению для расчета наклона к множеству допустимых портфелей, получим

.

Так как искомая линия уровня не только имеет наклон k, но и проходит через точку , то согласно (3.5) r=0,3-0,2t. Если подставить это выражение для r в предыдущую формулу, получим t=3/7. Следовательно, П=3А/7+4В/7, r_{П , .}

Алгоритм геометрического определения оптимального портфеля на основе модели Марковица не позволяет определить структуру используемых финансовых ресурсов в портфеле (доли ЦБ, входящие в оптимальный портфель). Для этих целей целесообразно использовать аналитический метод [85].