2.3. Оценка эффективности облигаций

Вид

облигации

Условия

реализации

Расчетные соотношения

для определения цены

Контрольный пример

Купонная (периодическая выплата % дохода)

Ставка дисконтирования (требуемая норма прибыли) неизменна в течение срока действия облигации. До погашения облигации остается целое число лет или купонных периодов

, где P- цена облигации; D_p- процентный (купонный) доход в денежных единицах; R- требуемая норма прибыли (ставка дисконтирования); N- номинальная цена облигации; n - число лет.

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000.

2. Процентная купонная ставка, =15 %. =150 р.

3. Срок погашения, n=5 лет.

4. Выплата %, 1 р в год.

5. Требуемая норма прибыли .

Найти: P=?

Решение:

Ставка дисконтирования изменяется. До погашения облигации остается целое число лет или купонных периодов

, где - процентная купонная ставка i-го года

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000.

2. Процентная купонная ставка, =15 %; =150 р.

3. Срок погашения, n=5 лет.

4. Выплата %, 1 раз в год.

5. Требуемые нормы прибыли: =20 %; =20 %; =20 %; =15 %; =10 %.

Найти: P=?

Решение:

Вид

облигации

Условия

реализации

Расчетные соотношения

для определения цены

Контрольный пример

Выплата процентных доходов несколько раз в год. До погашения облигации остается целое число лет или купонных периодов

, где m- число выплат процентного дохода в течение года.

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000. 2. Процентная купонная ставка, =15 %. =150 р. 3. Срок погашения, n=5 лет; 4. Выплата %, 2 раза в год, m=2.

5. Требуемая норма прибыли

Найти: курсовую стоимость облигации – P=?

Решение:

Продажа и покупка облигации в любой момент времени

,

где ; n- целое число лет, включая нецелый год; T- число дней до выплаты первого купона.

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000.

2. Процентная купонная ставка, =15 %; =150 р.

3. Срок погашения, n=4 года 300 дней.

4. Выплата %, 1 раз в год, через 300 дней после покупки.

5. Требуемая норма прибыли .

Найти: курсовую стоимость облигации – P=?

Решение:

Вид

облигации

Условия

реализации

Расчетные соотношения

для определения цены

Контрольный пример

Переменная купонная ставка, определяемая рынком

, где - % доход i-го периода (i=1,2,…,n); -требуемая норма прибыли (ставка дисконтирования) i-го периода.

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000.

2. Срок погашения, n=3 года.

3. Выплата %, 2 раза в год, m=2.

4. Значения купонных ставок:

За 1 год: =20%; =100 р; =100 р.

За 2 года: =18%; =90 р; =90 р.

За 3 года: =15%; =75р; =75 р.

5. Значения норм прибыли:

За 1 год: =20%; =0,1; =0,1.

За 2 год: =19%; =0,095; =0,095.

За 3 года: =16%; =0,08; =0,08.

Найти: курсовую стоимость облигации – P=?

Решение:

Вид

облигации

Условия

реализации

Расчетные соотношения

для определения цены

Контрольный пример

Бескупонная

Ставка дисконтирования неизменна. До погашения облигации остается целое число лет или купонных периодов.

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000.

2. Срок погашения, n=4 года.

3.Ставка дисконтирования .

Найти: P=?

Решение: р

Облигация погашается в любой момент времени

, где T- время, в течение которого облигация находилась в руках продавца или покупателя (в днях)

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000.

2. Срок погашения, n=3 года+180 дней.

3.Ставка дисконтирования .

Найти: P=?

Решение: =632,91 р.

Краткосрочная облигация

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000.

2. Срок погашения, T=180 дн.

3.Ставка дисконтирования .

Найти: P=?

Решение: =910,22 р.

Вид

облигации

Условия

реализации

Расчетные соотношения для определения доходности

Контрольный пример

К упонная (периодическая выплата % дохода)

Облигация содержится у инвестора до погашения

Текущая доходность:

, где - текущая доходность; P- цена облигации; D_p- процентный (купонный) доход в денежных единицах

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000.

2. Цена облигации P=800 р.

3. Процентный доход =30% выплачивается 1 раз в год;

=30%х1000=0,3х1000.

Решение:

.

Доходность к погашению (точный расчет):

, где - будущая стоимость денег; -текущая стоимость денег; - норма дисконта; n-число лет;

, где P- цена облигации; D_p- процентный (купонный) доход в денежных единицах; R- требуемая норма прибыли (ставка дисконтирования); N- номинальная цена облигации; n- число лет.

Доходность к погашению (приблизительный расчет):

.

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000.

2. Срок погашения, n=5 лет.

3. Процентный доход =20% выплачивается 1 раз в год.

4. Курсовая стоимость облигации P_k=930 р.

Найти: P=?

Решение: .

Методом последовательных приближений находим P=929,97 р. при R=22,47 %.

Для вышеприведенных исходных данных:

или 22,18 %.

Вид

облигации

Условия

реализации

Расчетные соотношения для определения доходности

Контрольный пример

Выплата дохода m раз в год

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000. 2. Цена облигации P=600 р. 3. Срок погашения, n=5 лет. 4. Выплата дохода m=1 (один раз в год), m=4 (четыре раза в год).

Найти: R=?

или 10,8 %;

или 10,35 %

Бескупонная облигация

Облигация содержится у инвестора n лет до погашения

Краткосрочная облигация

, где N-номинал облигации; P-цена облигации; T- число дней до погашения облигации.

Дано: 1. Номинал облигации, N=1000.

2. Цена облигации P=930 р.

3. До погашения, Т=50 дней.

Найти: R=?

Решение: или 54,95 %.

Переменная купонная ставка, определяемая рынком

, где N-номинал облигации; P-цена облигации; T- число дней до погашения облигации.

Целесообразно определение доходности к погашению очередного купона в соответствии с вышеизложенным примером

Облигация погашается досрочно

Используются выражения для расчета доходности к погашению бескупонных облигаций

Различие в том, что инвестор получает не сумму погашения, а цену продажи облигации. В расчетные соотношения вводится цена продажи облигации.

Параметр

Определение

Расчетная формула

Контрольный пример

Курс облигации (рыночная цена)

Цена, по которой продаются и покупаются облигации государственных займов. Определяется уровнем ссудного процента, кредитным рейтингом эмитента, сроком до погашения, наличием фонда и уровнем риска вложений.

,

где С₀ - курс облигации, р.,

Р_м - рыночная цена облигации, р.,

P_N - номинальная цена облигации, р.

Дано: Рыночная цена облигации равна 100 р., номинальная - 90 р.

Найти: курс облигации.

Решение:

Ц ена облигации с постоянной купонной ставкой, имеющей m купонных выплат в год

где: i/m –величина доходности к погашению; C_t/m- купонные выплаты;

- номинал; n- число лет до погашения облигации

Дано: облигация номиналом 1000 р. с доходностью 5 % и купонными платежами 50 р. Срок до погашения облигации 1 год, число купонных выплат -2.

Найти: цену облигации с постоянной купонной ставкой.

Решение:

Стоимость облигации с нулевым купоном

Процесс оценки стоимости бескупонной облигации заключается в определении современной величины элементарного потока платежей, по известным значениям номинала N, процентной ставки r и срока погашения n.

,

где: P-стоимость облигации с нулевым купоном, N-номинал, n-срок погашения, m- количество выплат в год, r-процентная ставка.

Дано: Номинал облигации равен 1000 р., процентная ставка 6 % в полугодие, срок погашения 10 лет, количество выплат в год – 2 раза.

Найти: стоимость облигации с нулевым купоном.

Решение:

р.

Параметр

Определение

Расчетная формула

Контрольный пример

Эффективная доходность к погашению – YTM

Доходность к погашению YTM - это процентная ставка в норме дисконта, которая приравнивает величину объявленного потока платежей к текущей рыночной стоимости облигации. По сути, она представляет собой внутреннюю норму доходности инвестиции

где t – число дней до погашения; Р – цена покупки; N – номинал.

Дано: Номинал облигации равен 100 р., цена покупки=86, 24 р., дней до погашения 31.

Найти: доходность к погашению.

Решение:

Купонная доходность

Купонная доходность определяется по отношению к номиналу облигации и показывает, какой доход (в процентах) начисляется ежегодно держателю облигации. Ставка дохода устанавливается условиями выпуска облигации. Если известен текущий рыночный курс, можно сравнить ее с доходностью, ожидаемой инвестором

где -купонная доходность; - номинальная стоимость облигации; - объявленная процентная ставка, из расчета которой выплачивается купонный доход за год

Дано: Пусть номинальная стоимость облигации равна 100 р., объявленная процентная ставка составляет 6 %.

Найти: купонную доходность.

Решение:

Параметр

Определение

Расчетная формула

Контрольный пример

Текущая доходность облигации

Текущая доходность- отношение дохода, получаемого ежегодно по купонной ставке, к фактическим затратам на приобретение облигаций

,

где Дх - текущая доходность облигации, %; С - сумма выплаченных в год процентов, р.; Цо - цена облигации, по которой она была приобретена, р.

Дано: Инвестор А приобрел за 900 р. облигацию номинальной стоимостью 1000 р. Купонная ставка равна 20 % годовых. Проценты выплачиваются один раз в конце года. Срок погашения облигации наступит через 2 года.

Найти: текущую доходность облигации.

Решение:

Д оходность за период владения

Доходность за период владения - доходность за весь период времени владении облигации. Данный показатель не учитывает фактор времени и показывает, какую доходность получит инвестор от владения данной облигации за весь период ее обращения

,

где Pn - номинал облигации, Pb - цена покупки, S - сумма купонных платежей

Дано: Номинал облигации равен 1000 р., цена покупки 900 р., сумма купонных плате-

жей -100 р.

Найти: доходность за период владения облигации.

Решение:

Доходность государственных облигаций

,

где N - номинальная стоимость облигации; P - цена на аукционе или на вторичных торгах по облигациям (в % от номинала); T - число дней до погашения облигаций

Дано: государственная облигация номиналом 1000 р., цена на аукционе составила 90 % от номинала, число дней до погашения 120.

Найти: доходность.

Решение:

Параметр

Определение

Расчетная формула

Контрольный пример

Доходность муниципальных облигаций

,

где r_n – среднегодовая требуемая доходность; r₀ – среднегодовая доходность безрискового инструмента; – разница между стандартными отклонениями облигации и безрискового инструмента; k_n – коэффициент кредитоспособности органа власти по состоянию через n лет

Дано: Среднегодовая доходность облигации равна 0,1, срок обращения 3 года, разница между стандартными отклонениями собственно самой облигации и инструмента, признаваемого максимально безрисковым, составляет 0,02, планируемый непроцентные расход бюджета равен 100 р, доход 110 р., размер погашения расширенного госдолга будет 10 р.

Найти: доходность муниципальной облигации.

Решение:

Д оходность корпоративных облигаций

,

где P - цена в процентах от номинала, A - накопленный купонный доход на момент покупки выпуска, t_i - срок до выплаты i-го купона, Ci - размер i-го купона в процентах от номинала, N - номинал выпуска, T - срок до погашения облигации, f - частота выплат купонов в год, y - эффективная годовая доходность корпоративной облигации к погашению, выраженная в долях единицы

Дано: Корпоративная облигация номиналом 100 р., размер купонного платежа составляет 5 р., срок до погашения облигации 120 дней, срок до выплаты купона 30, цена на аукционе составила 90 р. срок обращения облигации-2 года, частота выплат купонов-2 раза в год.

Найти: доходность.

Решение:

Параметр

Определение

Расчетная формула

Контрольный пример

Доходность еврооблигаций

,

где y - доходность по методике ISMA; P - чистая цена облигации (без учета НКД); А - НКД (накопленный купонный доход); С_i - размер i-го платежа; f - частота выплат купонов в год; t(i) - количество купонных периодов до даты выплаты i-го платежа

Дано: Номинал еврооблигации 100, рыночная цена - 90,платеж по облигации составляет 5, число дней до выплаты купона 30, до погашения облигации - 120 дней. Срок обращения облигации-2 года, число выплат купона 2.

Найти: доходность.

Решение:

Д юрация Маколея

Cредневзвешенный срок до погашения потоков наличности от облигации, в котором в качестве весов выступают текущие стоимости потоков наличности, деленные на цену.

Дюрация помогает определить степень зависимости рыночной цены облигации от изменения процентной ставки (ставки дисконтирования) на один процент

где D- дюрация Маколея, n - число выплат, t - время до срока погашения, C - платеж, i - необходимая доходность, M - стоимость к сроку погашения, P - цена облигации.

Дано: Имеется пятилетняя облигация номинальной стоимостью 1000 р. с купонной ставкой 5 %. Купон оплачивается ежегодно и процентные ставки составляют 5 %.

Найти: дюрацию Маколея.

Решение:

Параметр

Определение

Расчетная формула

Контрольный пример

Предельная величина дюрации

Дюрация купонной облигации, приобретенной по номиналу или с премией, монотонно возрастает вместе с увеличением срока погашения и приближается к своему предельному значению – LVD, по мере приближения срока погашения к бесконечности

где YTM- доходность к погашению

Дано: Доходность к погашению равна 0,2.

Найти: предельную величину дюрации.

Решение:

М одифицированная дюрация

Показывает, насколько дюрация изменяется с каждым процентным изменением в доходности. Существует обратная взаимосвязь между модифицированной дюрацией и приблизительным 1 % - м изменением в доходности

где MD-модифицированная

дюрация, D-дюрация Маколея; YTM- доходность к погашению; n-срок погашения

Дано: Облигация продается за 1 000$ или за номинальную стоимость, которая приводит к доходности к погашению 5 %. Дюрация Маколея равна 4,55.

Найти: модифицированную дюрацию.

Решение:

года.

Данный пример показывает, что, если доходность облигации изменилась от 5 % к 6 %, дюрация облигации уменьшится до 4,33 года. Поскольку вычисляется, как дюрация изменится, когда процент увеличится на 100 базисных пунктов, модифицированная дюрация всегда будет ниже, чем дюрация Маколея

Параметр

Определение

Расчетная формула

Контрольный пример

Выпуклость облигации

Мера изменения модифицированной дюрации при изменении процентной ставки

где: t-момент выплаты; C- объём купонных выплат; y- доходность; N- номинальная стоимость облигации; P- цена на момент выпуска; n- количество купонных периодов до момента погашения.

Дано: Цена облигации номинальной стоимостью 100 р., сроком обращения один год, с ежеквартальной выплатой в размере 22,44 р. на момент выпуска равна 139,44 р. (доходность к погашению – 40 % годовых).

Найти: выпуклость облигации.

Решение:

И сторическая волатильность

Статистический финансовый показатель, характеризующий тенденцию изменчивости цены. Историческая волатильность показывает, какие колебания цена совершала в прошлом, и помогает определить возможную величину будущих отклонений

где σ_SD - стандартное отклонение стоимости финансового инструмента; P - временной период в годах.

Волатильность σ_T за интервал времени T (в годах) рассчитывается на основе среднегодовой волатильности:

Дано: Стандартное отклонение стоимости облигации в течение дня составляет 0,01.В году 252 торговых дня (1 день = 1/252 года).

Найти: волатильность.

Решение:Среднегодовая волатильность:

Волатильность за месяц:

Выпуклость портфеля

Мера изменения модифицированной дюрации при изменении процентной ставки применительно к портфелю

где w_i - вес каждой бумаги в портфеле, C_i - выпуклость каждой облигации в портфеле

Дано: Портфель состоит из трех облигаций А, В, С с весом и выпуклостью равными 0,5 и 6,02, 0,2 и 6,05, 0,3 и 6,00 соответственно.

Найти: выпуклость портфеля.

Решение:

.