2. Надежность технологических процессов

Надежность технологического процесса это способность его функционировать заданный период времени при заданных условиях эксплуатации, обеспечивая требуемое качество и производительность. В качестве критериев надежности технологического процесса могут быть использованы интенсивность срывов, вероятность нормального течения процесса, среднее время производительной работы или срывов процесса и др. Наиболее полным является критерий вероятности нормального течения процесса, т. е. вероятности безотказного выполнения им определенных функций при определенных условиях в течение определенного периода времени. К сожалению, эффективное использование этого критерия в настоящее время еще невозможно из-за отсутствия практических рекомендаций по его использованию.

Надежность технологического процесса может быть качественно охарактеризована его устойчивостью и стабильностью.

Устойчивостью технологического процесса называется свойство процесса сохранять точность признака качества детали во времени.

Стабильностью технологического процесса называется свойство процесса сохранять во времени постоянство характеристик распределения изучаемого признака качества.

Одной из основных задач анализа технологических процессов является оценка их устойчивости и стабильности.

2.1. Оценка устойчивости и стабильности технологического процесса

Анализ технологического процесса для оценки его устойчивости и стабильности производится с помощью текущих больших или малых выборок. Текущая выборка представляет собой выборку большого (п > 20) или малого (п < 20) объема, состоящую из деталей, последовательно изготовленных на одном станке при данной настройке за определенный промежуток времени. Основным преимуществом текущих выборок по сравнению с единовременными является возможность получения синхронной во времени с технологическим процессом информации о его ходе, что позволяет технологу оперативно вмешиваться в процесс, повышая качество его функционирования.

Методика анализа технологического процесса с помощью текущих выборок аналогична методике анализа с помощью единовременных выборок, изложенной в главе 1. В соответствии с указаниями, приведенными в главе 1, производят обработку опытных данных текущей выборки. В результате обработки опытных данных получают выборочные характеристики X и S (или другие характеристики, например V, Мо и др.). На основании анализа условий функционирования технологического процесса устанавливается закон распределения признака качества в выборке и проверяется с помощью критериев согласия соответствие этого закона опытному распределению.

После проверки гипотезы нормальности или соответствия опытного распределения другому закону распределения в методике анализа технологического текущих выборок предусмотрена проверка гипотезы случайности выборочной совокупности. С технологической точки зрения случайность выборки обеспечивается отсутствием смещения центра рассеяния признака качества во времени. В процессе проверки гипотезы случайности необходимо убедиться в том, что при отборе деталей не произошло изменение настройки станка, например, в связи с размерным износом инструмента или другими систематическими переменными погрешностями, т. е. не произошло нарушение условий обработки. Проверка гипотезы случайности выборки при обработке деталей на настроенных станках производится с помощью метода последовательных разностей. Для этого со станка берется большая текущая выборка объема п. В порядке схода деталей со станка измеряется исследуемый признак качества и результаты заносятся в соответствующую таблицу. Рассчитывают характеристики выборки X и S. Определяют разности между соседними членами:

а₁ = х₂ — х₁ , а₂ == х₃ — х₂ , а₃ = х₄ — х₃;...; а_п-1 = х_п- х_п-1.

Рассчитывают так называемую, несмещенную оценку дисперсию генеральной совокупности по формуле

, (116)

Зная дисперсию выборки S², определяют критерий по формуле

, (117)

Затем для критерия т определяют критическую область

, ( 118)

где t — аргумент функции Лапласа, определяемый из соотношения

(119)

q — уровень значимости (обычно q₀ — 5%).

По табл. 3 значение t = 1,65. Ф (t) = 0,5— 0,05 =0,45. Тогда формулу (118) можно записать так:

(120)

Если п < 20, то τ_q находят по табл. 46, а если п > 20, то следует пользоваться для расчета τ_q формулой (120).

Таблица 46

Значения τ_q в зависимости от объема выборки п

п	4	5	б	7	8	9	10	11	12
τq	0,390	0,410	0,445	0,468	0,491	0,512	0,531	0,548	0,564
п	13	14	15	16	17	18	19	20
τq	0,578	0,591	0,603	0,614	0,624	0,633	0,642	0,650	—

Произведенную выборку можно считать случайной, если τ > τ_q, т. е. в процессе образования выборки отклонение размеров деталей от настроечного носили случайный характер. Если τ < τ_q, то гипотеза случайности должна быть отвергнута, т. е. в технологическом процессе имеется систематическая погрешность.

Пример. Из партии роликов, обрабатываемых на четырех-шпиндельном токарном автомате модели 123, взята текущая выборка объемом п = 24 шт. По результатам измерения длины роликов, приведенным в табл. 47, проверить случайность выборки. В результате обработки, опытных данных s =* 0,0227 мм, S² = 5,17 • 10^-4 мм².

Таблица 47

Опытные и расчетные данные

Длина роликов Хi, мм	Последовательные разности аi = xi+1 - xi		Длина роликов Xi, мм	Последовательные разности аi = xi+1 - xi
10,09	0,03	9	10,06	0,01	1
10,06	0,03	9	10,05	0,01	1
10,03	0,04	16	10,04	0,01	1
10,07	0,03	9	10,05	0,03	9
10,10	0,06	36	10,08	0,06	36
10,04	0,05	25	10,02	0,06	36
10,09	0,05	25	10,08	0,03	9
910,04	0,02	4	10,05	0,01	1
10,06	0,01	1	10,06	0,03	9
10,05	0.02	4	10,03	0,01	1
10,07	0,04	16	10,04	0,03	9
10,11	0,05	25	10,07		∑=292-10-4

По формуле (116) оценка

,

Определяем критерий τ по формуле (117)

,

По формуле (120)

,

Так как τ > τ_в, то гипотеза случайности верна.

Подтверждение гипотезы случайности и нормальности выборки достаточно для того, чтобы считать технологический процесс устойчивым и стабильным. Если при проверке гипотезы случайности и нормальности распределения получены отрицательные результаты, то необходимо от анализа технологического процесса с помощью больших выборок отказаться и перейти к анализу с помощью малых выборок.

В связи с тем, что в дальнейшем излагаются методы анализа устойчивости и стабильности с помощью малых выборок, следует познакомиться с понятием «мгновенное распределение».

Под мгновенным распределением понимается распределение признака качества в определенный момент времени, достаточно краткий для того, чтобы воздействие всех внешних факторов на характер распределения оставалось бы неизменным.

Так как за время изготовления нескольких штук деталей (п = 5 ... 10) систематические переменные погрешности пренебрежимо малы, а имеют место только случайные погрешности, то мгновенная совокупность подчиняется закону нормального распределения.

Основным преимуществом применения метода малых выборок для анализа устойчивости и стабильности технологического процесса является уменьшение вычислительных работ, а также возможность следить за динамикой изменения точности процесса во времени.

Для анализа технологического процесса с помощью малых выборок со станка через определенные промежутки времени, берут малые текущие выборки объемом п = 5 ... 10. Каждая из выборок проверяется на случайность методом последовательных разностей. Если гипотеза случайности подтверждается, то с достаточной надежностью можно утверждать, что выборочная совокупность подчиняется закону нормального распределения.

Для каждой из выборок рассчитывают характеристики Х_м, S_M и медиана Me. Среднее арифметическое значение Х_м вычисляют по формуле (35), среднее квадратическое отклонение S_M (мгновенное рассеяние) — по формуле

, (121)

Для того чтобы определить величину медианы Me необходимо опытные значения признака качества расположить в ряд в порядке возрастания. Если число членов п ряда нечетное, то медианой является член ряда. Если число членов ряда четное, то медианой будет являться среднее арифметическое значение между двумя средними членами.

Стабильный технологический процесс обладает тем свойством, что мгновенное рассеяние в пределах одной партии остается постоянным (в статистическом смысле). В связи с этим для оценки стабильности технологического процесса представляет определенный интерес проверка постоянства величины мгновенного рассеяния. Эта задача решается с помощью сравнения дисперсий первой и последней выборки в пределах одной партии, сравнения дисперсий всех т выборок в пределах одной партии.

Для решения задачи первым способом используют проверку гипотезы равенства двух выборочных дисперсий с помощью критерия В. И. Романовского, который определяют по формуле

, (122)

где

, (123)

r₁=n₁-1; r₂=n₂-1;

, (124)

— дисперсии соответственно первой и последней выборки.

Если величина R > 3, то расхождение между значениями дисперсий существенное. Если же R < 3, то расхождение можно считать случайным. В первом случае мгновенное рассеяние не остается постоянным и изменяется в пределах одной партии по определенному закону. Во втором случае мгновенное рассеяние остается постоянным, что свидетельствует о стабильности технологического процесса. Однако способ сравнения дисперсий первой и последней выборки не может являться достаточным для окончательного решения вопроса о постоянстве мгновенного рассеяния в пределах одной партии.

Более объективным является способ одновременного сравнения дисперсий всех т выборок. Эта задача решается с помощью критерия Бартлета или критерия Кохрана. Критерий Бартлета

, (125)

Где

(126)

, (127)

т — количество выборок; n — объем выборок,

— средняя дисперсия т выборок;

— дисперсия i-й выборки;

— сумма натуральных логарифмов дисперсий t выборок.

Для k — t — 1 и вычисленного значения χ² по табл. 41 находят вероятность Р (χ²). Если Р (χ²) > 0,05, то гипотеза постоянства мгновенного рассеяния может быть принята. В противном случае (Р (χ²) < 0,05) гипотеза постоянства должна быть отвергнута, что свидетельствует о нестабильности технологического процесса.

Таблица 48

_{Критические значения критерия Кохрана GT}

	r
т	l	2	3	4
2	0,9985	0,9750	0,9392	0,9057
3	0,9669	0,8709	0,7977	0,7457
4	0,9065	0,7679	0,6841	0,6287
5	0,8412	0,6838	0,5981	0,5441
6	0,7808	0,6161	0,5321	0,4803
7	0,7271	0,5612	0,4800	0,4307
8 9	0,6798	0,5157	0,4377	0,3910
	0,6385	0,4775	0,4027	0,3584
10	0,6020	0,4450	0,3733	0,3311
12	0,5410	0,3924	0,3264	0,2880
15	0,4709	0,3346	0,2758	0,2419
20	0,3894	0,2705	0,2205	0,1921
24	0,3434	0,1907	0,1656	0,1656
30	0,2929	0,1980	0,1593	0,1377
40	0,2370	0,1576	0,1259	0,1082
60	0,1737	0,1131	0,0895	0,0765
120	0,0998	0,0632	0,0495	0.0419

Критерий Кохрана

где наибольшее значение дисперсии в т выборках.

В зависимости от количества выборок т, величины r = п — 1 и уровня значимости q₀ =0,05 по табл. 48 находят значение G_T. Если G > G_T, то гипотеза постоянства мгновенного рассеяния должна быть отвергнута. Если G < < G_T, то гипотеза принимается.

Пример. Для оценки стабильности технологического процесса растачивания гильз были отобраны 15 выборок, каждая объемом п = 10 шт. Результаты вычисления средних квадратических отклонений по каждой из выборок приведены в табл. 49.

Оценим стабильность технологического процесса с помощью критерия Романовского. По формуле (123)

,

по формуле (124)

,

Тогда критерий Романовского

Следовательно расхождение между дисперсиями первой и последней выборки можно считать случайным, а технологический процесс стабильным.

Проверим стабильность процесса с помощью критерия Бартлета. Рассчитаем величины B и М по формулам (126) и (127):

По формуле (125) критерий

.

По табл. 41 находим вероятность Р (χ²). Так как Р (χ²) 0.71 > > 0.05, то гипотеза постоянства мгновенного рассеяния принимается.

Таблица 49

Опытные и расчетные данные

Расчетная величина	Номер выборки
	1	2	3	4	5	6	7	8
Хмi, мкм	37	44	34	31	39	30	27	33
SMi, мкм	5,8	6,3	5,4	4,2	5,6	6,1	6,4	9,8
, мкм2	33,64	33,69	29,16	17,64	31,36	37,21	40,96	96,04
	3,5157	3,6814	3,3726	2,8704	3,4453	3,6166	3,7136	4,5644
	2,3	4,7	5,3	8,3	0,3	9,3	12,3	6,3
	5,29	22,09	28,09	68,89	0,09	86,49	151,29	36,69
Характеристики выборки объемом N = tn

Проверим однородность дисперсий с помощью критерия Кохрана. По формуле (128)

а по табл.48 G_T= 0.1736. Так как G < G_T, то гипотеза постоянства мгновенного рассеяния принимается.

Таким образом, можно считать, что технологический процесс растачивания гильз цилиндров является стабильным (по дисперсии).

В практике технологии машиностроения очень часто встречаются технологические процессы, у которых дисперсия случайных погрешностей остается постоянной, а среднее арифметическое значение мгновенных совокупностей закономерно изменяется во времени,что свидетельствует о наличии в процессе систематических погрешностей.

Если даже величина практического поля мгновенного рассеяния значительно меньше поля допуска δ признака качества по чертежу и середина поля рассеяния находится в допустимых пределах, т. е. выполняются условия работы без брака, то из-за действия систематических погрешностей центр рассеяния (настроечный размер) значений признака качества в процессе обработки смещается, что может привести к получению бракованных деталей.

В связи с этим при анализе точности технологического процесса важно установить существенно ли влияние систематических погрешностей на точность обработки. Эта задача может быть решена также двумя способами: сравнением средних арифметических значений первой и последней выборки в пределах одной партии и одновременным сравнением средних арифметических значений всех выборок.

Таблица 50

Таблица вероятностей Р (t_r) по распределению Стюдента

tr	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0,1	0,937	0,929	0,927	0,925	0,924	0,924	0,923	0,923	0,923	0,922
0,2	0,874	0,860	0,854	0,851	0,849	0,848	0,847	0,846	0,846	0,845
0,3	0,814	0,792	0,784	0,779	0,776	0,774	0,773	0,772	0,771	0,770
0,4	0,758	0,782	0,716	0,710	0,706	0,703	0,701	0,700	0,698	0,698
0,5	0,705	0,667	0,651	0,643	0,638	0,635	0,632	0,631	0,629	0,628
0,6	0,656	0,609	0,591	0,581	0,575	0,570	0,567	0,565	0,563	0,562
0,7	0,611	0,556	0,534	0,523	0,515	0,510	0,507	0,504	0,502	0,500
0,8	0,570	0,508	0,482	0,469	0,460	0,454	0,450	0,447	0,444	0,442
0,9	0,533	0,463	0,434	0,419	0,409	0,403	0,398	0.394	0,392	0,389
1.0	0,500	0,423	0,391	0,374	0,363	0,356	0,351	0,347	0,343	0,341
4,2	0,442	0,353	0,316	0,296	0,284	0,275	0,269	0,264	0,261	0,258
1,4	0,395	0,296	0,256	0,234	0,220	0,211	0,204	0,199	0,195	0,192
1,6	0,356	0,251	0,208	0,185	0,170	0,161	0,154	0,148	0,144	0,141
1,8	0,323	0,214	0,170	0,146	0,132	0,122	0,115	0,110	0,105	0,102
2,0	0,295	0,184	0,139	0,116	0,102	0,092	0,086	0,081	0,077	0,073
2,2	0,272	0,159	0,115	0,093	0,079	0,070	0,064	0,059	0,055	0,052
2,4	0,251	0,138	0,096	0,074	0,062	0,053	0,047	0,043	0,040	0,037
2,6	0,234	0,122	0,080	0,060	0,048	0,041	0,035	0,032	0,029	0,026
2,8	0,218	0,107	0,068	0,049	0,038	0,031	0,027	0,023	0,021	0,019
3,0	0,205	0,095	0,058	0,040	0,030	0,024	0,020	0,017	0,015	0,013
3,2	0,193	0,085	0,048	0,036	0,024	0,019	0,015	0,013	0,011	0,009
3,4	0,182	0,077	0,042	0,027	0,019	0,014	0,011	0,009	0,008	0,007
3.6	0,172	0,069	0,037	0,023	0,016	0,011	0,009	0,007	0,006	0,005
3,8	0,164	0,063	0,032	0,019	0,013	0,009	0,007	0,005	0,004	0,003
4,0	0,156	0,057	0,028	0,016	0,010	0,007	0,005	0,004	0,003	0,003
4,2	0,149	0,052	0,025	0,014	0,008	0,006	0,004	0,003	0,002	0,002
4,4	0,142	0,048	0,022	0,012	0,007	0.005	0,003	0,002	0.002	0,001
4,6	0,136	0,044	0,019	0,010	0,006	0,004	0,002	0,002	0,001	0,001
4,8	0,131	0,041	0,017	0,009	0,005	0,003	0,002	0,001	0,001	0.001
6,0	0,126	0,038	0,015	0,007	0,004	0,002	0,002	0,001	0,001	0,001
5,2	0,121	0,035	0,014	0,007	0,003	0,002	0,001	0,001	0,001	0,000
5,4	0,117	0,033	0,012	0,006	0,003	0,002	0,001	0,001	0,000	-
5,6	0,112	0,030	0,011	0,005	0,003	0,001	0,001	0,001	-	-
5,8	0,109	0,028	0,010	0,004	0,002	0,001	0,001	0,000	-	-
6,0	0,105	0,027	0,009	0,004	0,002	0,001	0,001	-	-	-

Оценка однородности средних арифметических может быть произведена с помощью критерия Крамера [10]

, (129)

Где

, (130)

m — число выборок; N = tn — объем всех t выборок; X_max — максимальное значение среднего арифметического значения среди т выборок; X,S— среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение совокупности, состоящей из т выборок.

По табл. 50 для значения t_r и k = N — 2 находим величину Р (t_r). Если Р (t_r) > 0,0,5, то гипотеза однородности принимается, т. е. отклонение средних арифметических значений выборок носит случайный характер и процесс является стабильным.

В противном случае (Р (t_r) < 0,05) гипотеза однородности отвергается.

Пример. По данным табл. 49 оценить однородность средних арифметических значений. По формуле (130)

Рассчитываем критерий Крамера t.

По табл. 50 для t_k = 4,07 и r = 150 — 2 = 148 находим, что Р (t_r) = 0,0001. Так как эта величина меньше 0,05, то гипотезу однородности следует отвергнуть. В технологическом процессе действует существенная систематическая погрешность, смещающая центр рассеяния размеров.

В математической статистике имеется метод_> использование которого позволяет одновременно проверить гипотезу постоянства мгновенного рассеяния и гипотезу отсутствия систематических погрешностей. Эта проверка осуществляется с помощью критерия [11]

. (131)

Если объемы выборок равны между собой, то формула (131) имеет вид

. (132)

По табл. 51 в зависимости от числа выборок т и объема каждой выборки п находим (для уровня значимости q₀ = 0,05) значение

Таблица 51

Значение

	Число изделий в каждой выборке п
m	2
		3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20
2	52,6	5,82	3,05	2,26	1,99	1,78	1,62	1,51	1,41	1,33	1,25	1,17
3	46,1	5,73	3,12	2,33	2,06	1,84	1,68	1,54	1,43	1,35	1,26	1,18
4	30,8	5,42	3,00	2,26	2,01	1,81	1,66	1,54	1,43	1,35	1,26	1,18
5	33,2	5,14	2,92	2,22	1,97	1,78	1,62	1,50	1,42	1,34	1,25	1,18
10	21,3	4,36	2,64	2,06	1,84	1,66	1,54	1,44	1,38	1,31	1,23	1,16
20	15,2	3,79	2,41	1,93	1,74	1,58	1,44	1,38	1,32	1,26	1,20	1,14
25	13,9	3,64	2,38	1,87	1,68	1,54	1,42	1,36	1,31	1,25	1,19	1,13
50	11,4	3,29	2,15	1,74	1,59	1,48	1,38	1,32	1,27	1,21	1,17	1,12

Если < , то гипотеза однородности дисперсий и средних арифметических значений принимается. В противном случае ( > ) гипотеза отвергается.

Пример. По данным табл. 49 (пример 24) проверить однородность дисперсий и средних арифметических значений с помощью критерия • S² = 82,61 мкм² (объем N = tп).

По формуле (132)

.

По табл. 51 в зависимости от m = 15, п = 10 находим, что значение = 1,35. Так как > , то гипотеза однородности отвергается, что свидетельствует о нестабильности процесса.