4.Регрессионный анализ технологических процессов

При изложении корреляционного анализа технологических процессов была сформулирована первая задача измерения связи, заключающаяся в определении на основе достаточного количества опытных данных зависимости между отдельными параметрами и показателями технологического процесса. Подчеркивалось, что эта задача должна решаться в условиях, когда на технологический процесс оказывает влияние множество прочих факторов, которые в связи со своим случайным характером в действительности искажают интересующую исследователя зависимость. Эта задача решается с помощью регрессионного анализа. Для математического моделирования и оптимизации технологических процессов разработаны методы активного эксперимента [1, 3, 19, 24, 28].

Настоящая глава посвящена методам получения математического описания (математического моделирования) технологических процессов, основанных на статистической обработке экспериментального материала. Математическое описание технологического процесса может быть получено путем обработки экспериментальных данных, собранных в режиме нормальной работы оборудования в производственных условиях (метод пассивного эксперимента), и путем активного экспериментирования, чаще всего в лабораторных условиях (метод активного эксперимента). Ниже излагается первый путь получения математического описания закономерностей функционирования технологического процесса.

4.1. Математическое описание технологических процессов

При анализе технологических процессов часто необходимо отыскивать аналитическое выражение, связывающее определенные переменные величины. Такое выражение позволяет судить не только о характере взаимосвязи этих факторов, но и количественно определять значения одной из них по заданному значению другой.

В ряде случаев вид зависимости между переменными величинами может быть известен на основании тех или иных теоретических соображений. Однако нередко приходится встречаться с ситуацией, когда характер зависимости между переменными предварительно неизвестен и по данным эксперимента необходимо найти математическое выражение зависимости между ними. Если характер зависимости между переменными величинами заранее известен, то задача сводится к определению постоянных коэффициентов в уравнении связи методом наименьших квадратов.

По этому методу после исследований взаимосвязи между двумя переменными величинами получают ряд опытных данных, которые при графической интерпретации образуют корреляционное поле. На этом графике проводят линию, характеризующую зависимость между величинами так, чтобы сумма квадратов отклонений опытных данных, полученных в результате эксперимента, от этой линии была минимальной. Если характер взаимосвязи выражен уравнением (158) у_х = f(х), то указанное условие примет вид

(190)

где y — ордината точки на корреляционном поле, соответствующая опытным данным; у_х— ордината соответствующей точки на линии у_х = f (х).

В уравнение (158), кроме функции у_х и аргумента x, входит ряд постоянных коэффициентов а, b, с…, количественное выражение которых однозначно определяет уравнение (158). Для того чтобы условие (190) выполнялось, необходимо приравнять нулю первые производные функции Q по каждому из коэффициентов а, b, с… .

Таким образом, получают столько уравнений, сколько постоянных коэффициентов в уравнении (158). Решая эту систему уравнений, получают значения коэффициентов а, b, с... .

Если зависимость между переменными линейная и выражается уравнением

у_х = b_х + а, (191)

где a, b — постоянные коэффициенты, то условие (190) будет иметь вид

(192)

Взяв первые производные от функции (192) по каждому коэффициенту а и b и приравняв их нулю, после ряда несложных преобразований получим систему, состоящую из двух уравнений

(193)

Решая систему уравнений (193), определяют значения коэффициентов а и b. Величины вычисляют на основе опытных данных, обычно представляемых в виде корреляционной таблицы. В результате решения системы уравнений (193) получены более простые формулы для вычисления коэффициентов а и b:

; (194)

, (195)

где S_x, S_y — средние квадратические отклонения соответственно значений х и у в выборках (см. формулу (159)); X, Y — средние арифметические значения соответственно величин х и у (см. формулу (160)); r_ху — коэффициент корреляции, определяемый по формуле (159).

Для удобства в табл. 67 [20] приведены часто используемые при анализе технологических процессов зависимости (в аналитической и графической формах), а также системы нормальных уравнений для определения постоянных коэффициентов (параметров) по методу наименьших квадратов.

Если характер зависимости между переменными величинами предварительно неизвестен, то методика определения этой зависимости заключается в следующем:

1. На основании опытных данных эксперимента составляют корреляционную таблицу (типа табл. 58).

2. При помощи методов, изложенных в главе III, рассчитывают величину коэффициента корреляции r_ху и корреляционное отношение _y и проверяют их достоверность.

3. По табл. 59 в зависимости от значений r_ху и η_у определяют характер связи между переменными величинами. Если связь линейная, то уравнение связи соответствует уравнению (191). Постоянные коэффициенты а и b в уравнении (191) находят, решая систему уравнений (193).

4. Если r_ху = 0, а 0 < η_y  1, то между двумя переменными величинами наблюдается криволинейная корреляционная связь. В этом случае на основании опытных данных эксперимента строится корреляционное поле. Характер расположения точек на корреляционном поле отражает, несмотря на рассеяние опытных данных, характер взаимосвязи между переменными. На рис. 31 в качестве примера приведены несколько графиков расположения точек на корреляционном поле. Соединив между собой последовательно все точки на корреляционном поле, получим ломаную линию, которая колеблется около некоторой плавно меняющейся кривой, проведенной «на глаз» через все корреляционное поле. Эта плавная кривая и выражает истинную закономерность, в то время как колебания ломаной вызваны случайными причинами. Однако не следует думать, что проведение «на глаз» кривых на корреляционном поле может вызвать грубые ошибки. Опыт показывает, что человеческий глаз в состоянии заметить в материале наблюдений такие особенности, которые недоступны любой вычислительной машине.

Рис. 31. Примеры графиков расположения точек на корреляционном поле при выборе и обосновании кривой регрессии:

а — линейная зависимость; б — гипербола; в — парабола второго порядка; г — парабола третьего порядка.

В связи с этим рекомендуется даже в случае машинной обработки опытных данных предварительно их представлять в обозримом виде на графике.

5. Проведя «на глаз» через корреляционное поле плавную кривую, необходимо найти ее уравнение. Эта задача может быть решена методом подбора. Сущность этого метода заключается в том, что полученную кривую сравнивают с кривыми, заданными определенными уравнениями. В табл. 67 приведен ряд таких кривых, для которых определены их уравнения. Сравнивая экспериментально полученную кривую со стандартными кривыми в табл. 67, устанавливают уравнение, которому подчиняется данная кривая. Так, например, на рис. 31 по виду кривых, проведенных через корреляционное поле, подобраны соответствующие уравнения, отражающие искомую зависимость.

Таблица 67

Зависимость для анализа технологических процессов

Вид уравнения	График при x>0; у>0	Функциональная сетка, выпрямляющая график	Уравнения для определения параметров по методу наименьших квадратов
ух = bх + а		—
ух = ах2 + + bх + +с		—

Таблица 67(продолжение)

Вид уравнения	График при x>0; y>0	Функциональная сетка, выпрямляющая график	Уравнения для определения параметров по методу наименьших квадратов

Таблица 67(продолжение)

Вид уравнения	График при x>0; у>0	Функциональная сетка, выпрямляющая график	Уравнения для определения параметров по методу наименьших квадратов

Вид уравнения	График при x>0; у>0	Функциональная сетка, выпрямляющая график	Уравнения для определения параметров по методу наименьших квадратов

Вид уравнения	График при x>0; у>0	Функциональная сетка, выпрямляющая график	Уравнения для определения параметров по методу наименьших квадратов

Если данной форме кривой соответствует несколько уравнений, то, определяя постоянные коэффициенты в каждом из этих уравнений методом наименьших квадратов и оценивая адекватность полученных зависимостей (методы оценки адекватности даны ниже), выбирают то уравнение, которое наиболее точно описывает: искомую зависимость.

Уравнение кривой, проведенной в корреляционном поле, можно найти с помощью метода выпрямления кривых. Сущность этого метода заключается в том, что в ряде случаев нелинейные зависимости могут быть линеаризированы путем замены переменных и графического их изображения в соответствующих функциональных шкалах. В отличие от равномерных шкал, на всем протяжении которых расстояния между двумя делениями, соответствующие изменению переменной на одну и ту же величину, равны, функциональной шкалой является шкала, на протяжении которой расстояния между двумя делениями изменяются по определенному математическому закону.

В табл. 67 приведены примеры функциональных сеток, выпрямляющих график кривой. Например, уравнение - может быть линеаризировано путем замены переменных: 1/x=u, а у_х =v. Тогда новое уравнение v = b + ku графически выражается прямой линией, построенной в системе координат, в которой ось абсцисс заменена функциональной шкалой обратных чисел (u=1/x).

Уравнение может быть приведено к уравнению прямой после того, как обе части уравнения прологарифмируем:

Произведя замену переменных u = lgx и v = lgy_x, получаем уравнение v = lga + ua. Это уравнение графически выражается прямой линией, построенной в системе координат, в которой ось абсцисс и ось ординат заменены функциональными логарифмическими шкалами.

Таким образом, если экспериментальные точки на графике в системе координат с равномерными шкалами образуют кривую линию, то для определения уравнения этой кривой следует попытаться построить этот график в системе координат с различными функциональными шкалами (чаще всего применяются логарифмические, квадратические шкалы и шкала обратных чисел).

Если удалось подобрать функциональную сетку, в которой опытные точки образуют прямую линию, то, зная характер функциональных шкал и уравнение прямой в этой системе координат, можно определить уравнение данной кривой.

Выше были изложены методы определения параметров уравнения регрессии с одним независимым переменным. Эти же методы могут быть распространены и на решение задачи о влиянии на технологический процесс любого числа факторов.

Линейное уравнение регрессии, например, для k переменных имеет вид

y = b₀+b₁x₁ + b₂x₂+...+b_kx_k. (196)

Для определения параметров уравнения (196), пользуясь методом наименьших квадратов, составляется система нормальных уравнений, которая в общем случае к переменных и объеме выборки n имеет вид

(197)

В случае большого числа переменных (k > 3) и большой выборки составление системы нормальных уравнений и ее решение требуют больших затрат труда. Решение таких задач рекомендуется выполнять с помощью электронно-вычислительных машин [28].

Получив на основе изложенной методики уравнение связи, необходимо проверить достоверность коэффициентов в этом уравнении.

Проверка достоверности коэффициентов проводится с помощью линейной связи, которая выражается уравнением у_х = bх + а, где b — коэффициент регрессии, а — постоянный коэффициент регрессии.

Для проверки гипотезы достоверности коэффициента регрессии b вычисляют критерий

(198)

Где

(199)

(200)

По табл. 52 в зависимости от числа степеней свободы k = n — 2 (q₀ = 0,05) находят критическое значение критерия t_a. Если |t_b| > t_a, то можно считать достоверность коэффициента регрессии b доказанной. Если |t_b | < t_a, то следует считать коэффициент регрессии b = 0.

Для проверки гипотезы достоверности постоянного коэффициента регрессии а вычисляют критерий

(201)

где

(202)

S_OCT — вычисляют по формуле (200); X — среднее арифметическое значение величины х в выборке по формуле

По табл. 52 в зависимости от k = n — 2 находят критическое значение t_a. Если | t_a| ≥ t_a, то постоянный коэффициент регрессии достоверен. Если |t_a | < t_a, то следует считать а = 0.

Рис. 32. График зависимости y_х = 0,066x + 29,16:1 — эмпирическая кривая; 2 — расчетная кривая.

Если t > t_a, то достоверность коэффициента а очевидна. На рис. 32 приведены теоретическая линия регрессии и эмпирическая ломаная линия, отражающие результаты расчета и эксперимента.

Учитывая большую трудоемкость вычислительных работ, расчеты следует проводить с помощью электронно-вычислительной машины [28].