5.1. Однофакторный дисперсионный анализ технологического процесса

С помощью однофакторного дисперсионного анализа решается ряд практических задач. Для анализа хода технологического процесса из партии обрабатываемых деталей время от времени берутся малые текущие выборки. Замечено, что средние арифметические значения X_i в этих выборках неодинаковы. Если выборок всего две, то сопоставление средних арифметических значений можно провести с помощью критерия t_k Стьюдента (глава II.2). С помощью дисперсионного анализа можно сопоставить между собой произвольное число средних арифметических значений Х_i. Каждая ерия выборок получается при различных значениях влияющего фактора (например, материала режущего инструмента).

Наблюдая за изменением среднего арифметического значения в серии выборок, для каждого уровня исследуемого фактора выбирается такой уровень, которому соответствует наименьшая систематическая погрешность.

Рассмотрим, например, фактор А, который принимает р различных уровней. Н_i каждом уровне сделано n наблюдений, что дает всего N= nр наблюдений. Разные уровни фактора А обозначим буквой i, а отдельные результаты наблюдений на i-ом уровне — буквой j. Поэтому каждое значение признака качества в общем виде обозначается x_ij. Значения i изменяются от 1 до р, а значения j— от 1 до n. Распределение значений признака качества по уровням одного фактора дано в табл. 69. Очевидно, для данного уровня фактора А отклонение значения признака качества x_ij от общего среднего арифметического значения X связано с действием на данный признак качества фактора А, т. е.

x_ij – Х > А_i + ε_ij, (220)

где X — общее среднее арифметическое значение N=np наблюдений; А_i — эффект, обусловленный i-м уровнем фактора A; ε_i — остаточная часть отклонения внутри отдельного уровня фактора, не зависящая от влияния этого фактора.

С помощью члена ε_ij в уравнении (220) учитываются все неконтролируемые факторы, оказывающие случайное воздействие на признак качества.

Таблица 69

Распределение признаков качества по уровням одного фактора

Уровень фактора А	Значения признака качества							Сумма по уровню тi	Среднее арифметическое значение по уровню Xj
	1	2	3	…	i	…	n
1	x11	x12	x13	…	x1i	…	х1n	∑x1	x1
2	Х21	x22	x23	…	x2i	…	х2n	∑x1	x2
.	.	.	.	…		…	.	.	.
.	.	.	.	…		…	.	.	.
.	.	.	.	…		…	.	.	.
i	xi1	хп	Xi3	…	ха	…	xin	∑xi	xi
.	.	.	.	…		…	.	.	.
.	.	.	.	…		…	.	.	.
.	.	.	.	…		…	.	.	.
p	xp1	xр2	хр3	…	xpi	…	xpn	∑xp	xp
								∑xij=T	X

Анализируя данные табл. 69, можно выделить три типа рассеяния:

1. Рассеяние всех значений признака качества (x_ij) вокруг общего среднего арифметического значения X. Это рассеяние характеризуется дисперсией

(221)

где (N—1) — число степеней свободы для общей дисперсии; N = nр.

Суммирование в формуле производится по всем значениям признака качества i и по всем уровням j.

2. Рассеяние средних арифметических значений признака качества по каждому уровню X_i вокруг общего среднего арифметического значения X (различие между уровнями). Это рассеяние характеризуется дисперсией

(222)

где (p — 1) — число степеней свободы для дисперсии ; n_i — среднее число значений признака качества по каждому уровню фактора. Если число значений признака качества по всем уровням одинаково, то n_i = n.

3. Рассеяние значений признака качества x_ij по каждому уровню вокруг каждого среднего арифметического значения Х_i (различие внутри уровней). Это рассеяние характеризуется дисперсией

(223)

где (N—р) — число степеней свободы дисперсии .

Дисперсия характеризует действие неконтролируемых (случайных) причин.

Схема однофакторного дисперсионного анализа приведена в табл. 70, из которой видно, что расчету подлежит сумма квадратов, определяющих различие между уровнями и различие внутри уровней. Общая сумма квадрата получается суммированием первых двух. Результаты расчета заносят в таблицу, аналогичную табл. 70. Величины рассчитывают на основании данных табл. 69.

Заключительным этапом дисперсионного анализа является сравнение двух дисперсий с помощью критерия

(224)

По табл. 53 для уровня значимости q₀ = 0,05 в зависимости от соответствующего числа степеней свободы для каждой дисперсии (указано в табл. 70) находят значение F_T.

Таблица 70

Схема однофакторного дисперсионного анализа

Источник изменчивости	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия
Различие между уровнями		p-l
Различие внутри уровней		N — p
Общее (сумма)		N — p	-

Если F ≥ F_T, то различие между дисперсиями S²_A1 и S²_εij. существенно, т. е. фактор А влияет на признак качества готовых деталей. В этом случае, чтобы обеспечить повышение точности обработки, необходимо выбрать такой уровень исследуемого фактора, которому соответствует наименьшая дисперсия.

Если F < F_T, то различие между дисперсиями случайное. Это указывает на отсутствие влияния исследуемого фактора на признак качества детали.

Для уверенности в правильном применении критерия F необходимо, чтобы значение знаменателя в формуле (224) было установлено достаточно основательно, на числе степеней свободы не менее 10, т. е. должно быть выполнено условие

р(n—1) ≥ 10. (225)

Пример. Проводился анализ хода технологического процесса растачивания отверстий Ø75^-0,06 в шестернях на настроенном токарном станке. Для анализа из партии обрабатываемых деталей через равные промежутки времени было образовано пять текущих выборок по шесть деталей в каждой. Отклонения от номинального размера деталей во всех выборках даны в табл. 71.

Таблица 71

Опытные и расчетные данные

Номер выборки	Номер детали						Сумма по выборке	Ti2	∑x2i,j	xi
	1	2	3	4	5	б
1	40	39	42	33	40	41	235	55225	9255	39,2
2	40	40	43	39	40	41	243	59049	9851	40,5
3	41	41	44	35	41	36	238	56644	9500	39,7
4	40	41	45	41	42	43	252	63504	10600	42
5	57	43	48	49	47	47	291	84681	14221	48,5
							Т =1259			Х=42

Определить наличие смещения центра рассеяния деталей, т. е. наличие систематической переменной погрешности.

Для определения различия между уровнями (выборками) вычисляют сумму квадратов

число степеней свободы р = 1 = 5 — 1 = 4; дисперсию

Для определения различия внутри уровней (в выборках) рассчитывают сумму квадратов

число степеней свободы N — р = 5  6 — 5 = 25; дисперсию

Результаты расчета сводят в таблицу типа 71. По табл. 53 для q₀ = 0,05 в зависимости от соответствующего числа степеней свободы (4 и 25) находят F_T = 2,76. Так как 8,95 > 2,76, то расхождение между средними значениями в отдельных выборках существенно, т. е. в технологическом процессе действует систематическая погрешность, смещающая во времени центр рассеяния размеров.

Анализируя значения X_i, которые приведены в табл. 71, и зная время работы станка между взятием выборок, можно определить интенсивность смещения центра рассеяния и соответствующим образом настроить станок.