1.5. Законы распределения случайных величин
Для эффективного проведения анализа технологических процессов необходимо установить, какому теоретическому закону подчиняется распределение опытных данных выборочной совокупности.
Производя замену полученного опытного распределения присущим данному технологическому процессу теоретическим законом распределения, тем самым все свойства, хорошо изученных теоретических законов, переносятся на опытное распределение, облегчая работу исследователя по анализу явлений, лежащих в основе технологических процессов. При этом создаются условия, когда на основе всего предшествующего опыта можно заранее предположить, какого типа должен быть закон распределения вновь встретившейся случайной величины. Если такой прогноз оказывается правильным, то обычно уже небольшого числа опытов бывает достаточно, чтобы установить все характерные черты искомого закона распределения.
Для определения закона распределения существует два подхода. Первый основан на математическом анализе, в основе которого лежит подбор подходящей функции для описания эмпирического распределения. Для определения того, насколько правильно эта функция описывает опытное распределение, используются различные критерии согласия. Однако такой подход обладает существенным недостатком. Он не отражает физической сущности явлений, происходящих в технологическом процессе. На основании обработки опытных данных выборочной совокупности каждый раз подбирается наиболее подходящий теоретический закон распределения. Наличие большой неопределенности при подборе закона распределения, в связи с ограниченным числом наблюдений, не позволяет считать первый подход оптимальным.
Второй подход основан на том, что каждому теоретическому закону распределения соответствуют вполне определенные условия функционирования технологических процессов. Зная эти условия, можно найти соответствующие им законы распределения. И если критерий согласия покажет, что опытное распределение существенно отличается от теоретического закона распределения, то причину этому следует искать в разладке технологического процесса. Этот подход следует признать более отвечающим задаче научного анализа технологических процессов. Он получил свое развитие в работах А. Б. Яхина [31], Н. А. Бородачева [2], Б. В. Гнеденко [6], А. Н. Гаврилова [24] и др.
В технологии машиностроения применяются следующие законы распределения: нормального распределения, распределения с функциями а (Т) и b (Т), закон эксцентриситета, закон модуля разности.
Закон нормального распределения. Многочисленными исследованиями, проведенными в различных областях механической обработки, установлено, что распределение действительных размеров деталей, обработанных на настроенных станках, подчиняется чаще всего закону нормального распределения.
Нормальное распределение образуется в том случае, когда действует большое число независимых или слабо зависимых случайных причин. Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действуют одновременно. Основное условие формирования нормального распределения состоит в том, чтобы среди случайных погрешностей отсутствовали доминирующие. При несоблюдении указанных условий опытное распределение может подчиняться и другим законам распределения.
Результирующая погрешность механической обработки представляет собой сумму большого числа погрешностей, зависящих от системы СПИД, которые по существу являются взаимно независимыми случайными величинами и среди которых отсутствуют доминирующие. Этими условиями объясняется то «привилегированное» место, которое занимает в технологии машиностроения закон нормального распределения.
Уравнение кривой нормального распределения имеет вид:
(60)
Графически
уравнению (60) соответствует кривая,
представленная на рис. 11. Как видно из
графика, кривая распределения имеет
симметричный «колоколообразный» вид.
Максимальная ордината кривой,
соответствующая точке с абсциссой х
=
,
определяется
по формуле
(61)
Рис. 11. Кривая нормального распределения.
По мере удаления от точки с координатами , ymax ветви кривой симметрично ниспадают и в точках А и В, расположенных на расстоянии ±σ0 оси абсцисс от вершины кривой, имеют перегибы с ординатами
(62)
Параметрами закона нормального распределения является среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение σ0. Непосредственно из уравнения (60) следует, что если изменять значение , то кривая распределения смещается вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы. В связи с этим среднее арифметическое значение , характеризует положение кривой распределения на оси абсцисс. С изменением среднего квадратического отклонения σ0 кривая нормального распределения изменяет свою форму. Так как для всякой кривой распределения вся расположенная под ней площадь равна единице (площадь эта равна вероятности того, что данная случайная величина примет какое бы то ни было из своих значений, т. е. вероятности достоверного события, которая равна единице) или 100%, то изменение σ0 равносильно изменению масштаба кривой распределения — увеличению масштаба по одной оси и уменьшению по другой (рис. 12).
Рис. 12. Кривые нормального распределения при различных значениях среднего квадратического отклонения.
Часто уравнение кривой нормального распределения применяется не в исходном (формула 60), а в нормированном виде. Нормирование распределения заключается в переходе от случайной величины х к вспомогательной величине
(63)
Тогда уравнение кривой нормального распределения в нормированном виде можно записать так:
(64)
Если
придавать величине t
последовательно
значения:
;
,
то в соответствии с формулой (63)
(табл. 16).
Таблица 16
Значение площадей
t |
X |
2Ф(t) |
2Ф(t),% |
±1 |
|
0,6826 |
68,26 |
±2 |
|
0,9544 |
95,44 |
±3 |
|
0,9973 |
99,73 |
Величину площади, ограниченной кривой нормального распределения (рис. 13) и перпендикуляром, восстановленным из точек х1, х2 и x3, можно получить по формуле
(65)
где 2Ф (t) — функция Лапласа, значения которой в зависимости от величины t приведены в табл. 3.
Как видно из уравнения (60), кривая нормального распределения асимптотически приближается к оси абсцисс. Однако на расстоянии ± 3σ0 от вершины кривой ее ветви так близко подходят к оси абсцисс, что в пределах этого расстояния находится 99,73% ее площади. Поэтому при практическом использовании кривых нормального распределения применяют «правило трех сигм», допуская при этом погрешность, равную 100 — 99, 73 = 0,27%, что при практических расчетах вполне допустимо.
Рис. 13. Нормирование кривой нормального распределения.
Асимметрия А и эксцесс Е кривой нормального распределения равны нулю.
Для закона нормального распределения на основании «правил трех сигм» поле рассеяния случайной величины
(66)
В связи с тем, что оценивать σ0 и при анализе технологических процессов можно с помощью соответственно характеристик S и X выборки, практическое поле рассеяния Δр определяют по формуле
(67)
Величину l, рассчитанную с учетом того, что и S - случайные величины, находят по табл. 17 [26] в зависимости от надежности α = 0,95 и объема выборки п.
Значения l рассчитаны из условия, что процент значений случайной величины, находящихся в пределах определяемого практического поля рассеяния, составляет 99,73%.
При анализе технологических процессов для получения достоверных данных о точности выполнения операции практическое поле рассеяния Δр должно сравниваться с допуском на обработку по чертежу детали. Иногда исследователи, забывая об этом, и, пользуясь «правилом трех сигм», с допуском по чертежу детали сравнивают поле рассеяния равное Δр = 65, чем вносят существенную ошибку в результаты исследования.
Важным условием определения характера полученного опытного распределения является построение на основе эмпирических данных теоретической кривой нормального распределения. Если на основании анализа условий функционирования технологического процесса выяснено, что признак качества распределяется в соответствии с законом нормального распределения, то для того, чтобы построить кривую нормального распределения на основе опытных данных, определяют теоретическую частоту кривой нормального распределения
(68)
где
—
табулированная величина, которая может
быть найдена по табл. 18; t
—
аргумент функции Лапласа, определяемый
по формуле (63).
Кривая нормального распределения строится на том же графике, что и полигон распределения выборочной совокупности. В формуле (68) в числителе стоит произведение nd, обеспечивающее получение величины т' в том же масштабе, в котором на графике отложены частоты полигона распределения. Для расчета теоретических частот т' составляется специальная расчетная таблица.
Таблица 17
Значения коэффициента l
Объем выборки n |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
1 |
4,39 |
4,20 |
4,10 |
3,94 |
3,84 |
3,76 |
3,70 |
3,66 |
90 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
800 |
1000 |
3,63 |
3,60 |
3,47 |
3,41 |
3,37 |
3,35 |
3,33 |
3,30 |
3,29 |
Таблица 18
Значения Zt
t |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0,0 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3988 |
0,3986 |
0,1 |
0,3980 |
0,3965 |
0,3961 |
0,3956 |
0,3951 |
0,2 |
0,3910 |
0,3902 |
0,3894 |
0,3885 |
0,3867 |
0,3 |
0,3814 |
0,3802 |
0,3790 |
0,3778 |
0,3765 |
0,4 |
0,3683 |
0,3668 |
0,3653 |
0,3637 |
0,3621 |
0,5 |
0,3521 |
0,3503 |
0,3485 |
0,3467 |
0,3448 |
0,6 |
0,3332 |
0,3312 |
0,3292 |
0,3271 |
0,3251 |
0,7 |
0,3123 |
0,3101 |
0,3079 |
0,3056 |
0,3034 |
0,8 |
0,2897 |
0,2874 |
0,2850 |
0,2827 |
0,2803 |
0,9 |
0,2661 |
0,2637 |
0,2613 |
0,2589 |
0,2565 |
1,0 |
0,2420 |
0,2395 |
0,2372 |
0,2342 |
0,2323 |
1,1 |
0,2179 |
0,2155 |
0,2131 |
0,2107 |
0,2083 |
1,2 |
0,1942 |
0,1919 |
0,1895 |
0,1872 |
0,1849 |
1,3 |
0,1714 |
0,1691 |
0,1669 |
0,1647 |
0,1624 |
1,4 |
0,1497 |
0,1476 |
0,1456 |
0,1435 |
0,1415 |
1,5 |
0,1295 |
0,1276 |
0,1257 |
0,1238 |
0,1219 |
1,6 |
0,1109 |
0,1092 |
0,1074 |
0,1057 |
0,1040 |
1,7 |
0,0940 |
0,0925 |
0,0909 |
0,0893 |
0,0878 |
1,8 |
0,0790 |
0,0775 |
0,0761 |
0,0748 |
0,0734 |
1,9 |
0,0656 |
0,0644 |
0,0632 |
0,0620 |
0,0608 |
2,0 |
0,0540 |
0,0529 |
0,0569 |
0,0508 |
0,0498 |
2,2 |
0,0355 |
0,0347 |
0,0339 |
0,0332 |
0,0325 |
2,4 |
0,0224 |
0,0219 |
0,0213 |
0,0208 |
0,0203 |
2,6 |
0,0136 |
0,0132 |
0,0129 |
0,0126 |
0,0122 |
2,8 |
0,0070 |
0,0077 |
0,0075 |
0,0073 |
0,0071 |
3,0 |
0,0044 |
0,0043 |
0,0042 |
0,0040 |
0,0039 |
3,2 |
0,0024 |
0,0023 |
0,0022 |
0,0022 |
0,0021 |
3,4 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0011 |
0,0011 |
Пример. В табл. 19 приведены опытные данные, полученные в результате исследования точности операции чистовой обработки цилиндрической шейки вала 0 115 Х3 на настроенном станке.
На основании обработки опытных данных получены следующие значения характеристик распределения: Х=- 61,6 мкм; S = 8,02 мкм.
По данным табл. 19 строим гистограмму и полигон распределения, а также, предполагая, что опытное распределение подчиняется закону нормального распределения, и кривую нормального распределения.
В соответствии с формулой (63) рассчитываем аргумент ti и результаты расчета заносим в табл. 19. По табл. 18, зная величину ti, находим значение Zt .
Таблица 19
Расчетная таблица
Номер интервала |
Интервал |
Середина интервала xi |
Частота mi |
|
|
|
|
|
|
|
От |
До |
|||||||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
-84 -77 -73 -69 -65 -61 -57 -53 -49 |
-77 -73 -69 -65 -61 -57 -53 -49 -45 |
-77 -75 -71 -67 -63 -59 -53 -51 -47 |
5 6 8 10 20 21 16 10 4 |
2,17 1,67 1,17 0,67 0,17 0,32 0,82 1,32 1,82 |
0,0379 0,0989 0,2012 0,3189 0,3932 0,3790 0,2850 0,1569 0,0761 |
1,9 4,9 10,0 15,9 19,6 18,9 14,2 8,3 3,8 |
5 11 19 29 49 70 86 96 100 |
1,9 6,8 16,8 32,7 52,3 71,2 85,4 93,7 97,5 |
3,1 4,2 2,2 3,7 3,3 1,2 0,6 2,3 2,5 |
Рис. 14. Гистограмма, полигон и кривая нормального распределения.
В соответствии с формулой (68) рассчитываем постоянную часть, равную
Тогда
т'
= 50
.
Полученные результаты заносим в табл.
19. Гистограмму и полигон распределения
(рис. 14) строим в соответствии с правилами,
изложенными выше. Из анализа графиков,
представленных на рис. 14, наглядно видно,
что опытные данные выборочной совокупности
близко подходят к кривой нормального
распределения. Однако такая визуальная
оценка может иногда привести к ошибке.
Ниже мы рассмотрим ряд объективных
методов сравнения опытного распределения
с теоретической кривой распределения.
Теоретическое распределение с функцией а (Т). Данное распределение описывает явления, происходящие в технологических процессах обработки деталей на настроенных станках, когда в ходе операции наблюдается значительное смещение центра группирования ( ), вызванное износом режущего инструмента, температурными деформациями системы СПИД или другими погрешностями, закономерно изменяющимися во времени.
Функция а (Т) отражает закон изменения среднего арифметического значения во времени. Чаще всего в технологических процессах такое смещение вызывается размерным износом режущего инструмента. На рис. 15 представлена зависимость износа режущего инструмента от времени его работы.
Рис. 15. Зависимость износа режущего инструмента от времени его работы.
В начальный период инструмент (зона I) изнашивается особенно интенсивно. В этот период происходит приработка режущего лезвия инструмента.
Второй период износа (зона II) характеризуется нормальным износом инструмента. График износа в этот период представляет собой линию, наклоненную под некоторым углом к оси абсцисс.
Третий период износа (зона III) соответствует периоду наиболее интенсивного, катастрофического износа. Графики износа в зонах I и III нелинейны.
Время нормальной работы инструмента, соответствующее второму периоду, является наибольшим и поэтому график износа на этом участке определяет собой соответствующее теоретическое распределение, учитывающее как действие чисто случайных погрешностей, так и действие систематических погрешностей, закономерно изменяющихся во времени. При этом линейная функция а (Т) может быть представлена в виде
а(Т) = а0 + 21аТ, (69)
где а0 — среднее арифметическое значение признака качества в начальный момент времени;
—
половина
величины изменения функции
а (Т) за рассматриваемый промежуток времени Т = Т2 –T1 (рис. 15).
Если ввести коэффициент
то уравнение (69) можно записать в виде
(70)
где
— среднее квадратическое отклонение
мгновенного распределения, подчиняющегося
закону нормального распределения (см.
главу II).
Уравнение закона распределения с функцией а (Т) в нормализованном виде можно записать так:
(71)
где
аргумент
функции.
Зная параметры распределения а0, λa и характеристики могут быть определены по следующим формулам:
(72)
(73)
Вместо
и
можно применять их оценки — выборочные
характеристики
и
S.
Функция у = φ (zа, λa) табулирована и ее значения приведены в табл. 20 в зависимости от zа и λa.
На рис. 16 представлено семейство кривых распределения с линейной функцией а (Т) при различных значениях параметра λa. Как видно из рис. 16 все кривые семейства симметричны (асимметрия А = 0) и плосковершинны (эксцесс Е < 0).
Введем новую функцию F (zа, λa), которая аналогична функции Лапласа для закона нормального распределения. Для удобства решения различных задач, возникающих при анализе технологических процессов, эта функция также табулирована и ее значения в зависимости от параметров zа и λa приведены в табл. 21.
Таблица 20
Функция φ (zа, λa) нормированного распределения с линейной функцией (T) [24]
za |
λа |
|||
|
3 |
6 |
10 |
25 |
0,00 |
0,3324 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,05 |
0,3324 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,10 |
0,3323 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,15 |
0,3320 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,20 |
0,3317 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,25 |
0,3312 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,30 |
0,3305 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,35 |
0,3297 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,40 |
0,3287 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,45 |
0,3274 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,50 |
0,3257 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,55 |
0,3238 |
0,3005 |
0,2930 |
0,2894 |
0,60 |
0,3214 |
0,3004 |
0,2930 |
0,2894 |
0,65 |
0,3185 |
0,3004 |
0,2930 |
0,2894 |
0,70 |
0,3151 |
0,3004 |
0,2930 |
0,2894 |
0,75 |
0,3111 |
0,3003 |
0,2930 |
0,2894 |
0,80 |
0,3064 |
0,3002 |
0,2930 |
0,2894 |
0,85 |
0,3011 |
0,3000 |
0,2930 |
0,2894 |
0,90 |
0,2950 |
0,2996 |
0,2930 |
0,2894 |
0,95 |
0,2881 |
0,2990 |
0,2930 |
0,2894 |
1,00 |
0,2804 |
0,2980 |
0,2930 |
0,2894 |
1,05 |
0,2720 |
0,2964 |
0,2930 |
0,2894 |
1,10 |
0,2627 |
0,2942 |
0,2929 |
0,2894 |
1,15 |
0,2527 |
0,2909 |
0,2928 |
0,2894 |
1,20 |
0,2419 |
0,2863 |
0,2925 |
0,2894 |
1,25 |
0,2305 |
0,2801 |
0,2919 |
0,2894 |
1,30 |
0,2185 |
0,2720 |
0,2905 |
0,2894 |
1,35 |
0,2060 |
0,2618 |
0,2876 |
0,2894 |
1,40 |
0,1931 |
0,2492 |
0,2824 |
0,2894 |
1,45 |
0,1799 |
0,2348 |
0,2736 |
0,2894 |
1,50 |
0,1667 |
0,2172 |
0,2600 |
0,2892 |
1,55 |
0,1534 |
0,1982 |
0,2404 |
0,2879 |
1,60 |
0,1402 |
0,1777 |
0,2150 |
0,2801 |
1,65 |
0,1274 |
0,1563 |
0,1846 |
0,2518 |
1,70 |
0,1149 |
0,1348 |
0,1510 |
0,1901 |
1,75 |
0,1028 |
0,1137 |
0,1171 |
0,1084 |
1,80 |
0,0914 |
0,0938 |
0,0856 |
0,0430 |
1,85 |
0,0807 |
0,0755 |
0,0587 |
0,0112 |
1,90 |
0,0706 |
0,0593 |
0,0377 |
0,0018 |
1,95 |
0,0614 |
0,0455 |
0,0225 |
0,0002 |
2,00 |
0,0529 |
0,0339 |
0,0125 |
0,0000 |
2,05 |
0,0452 |
0,0247 |
0,0065 |
|
2,10 |
0,0384 |
0,0171 |
0,0031 |
|
2,15 |
0,0323 |
0,0120 |
0,0015 |
|
2,20 |
0,0269 |
0,0080 |
0,0006 |
|
2,25 |
0,0223 |
0,0052 |
0,0002 |
|
2,30 |
0,0183 |
0,0033 |
0,0001 |
|
2,35 |
0,0149 |
0,0020 |
|
|
2,40 |
0,0120 |
0,0012 |
|
|
2,45 |
0,0096 |
0,0007 |
|
|
2,50 |
0,0076 |
0,0004 |
|
|
2,55 |
0,0060 |
0,0002 |
|
|
2,60 |
0,0046 |
0,0001 |
|
|
2,65 |
0,0036 |
0,0000 |
|
|
2,70 |
0,0027 |
0,0000 |
|
|
2,75 |
0,0021 |
|
|
|
2,80 |
0,0016 |
|
|
|
2,85 |
0,0012 |
|
|
|
2,90 |
0,0009 |
|
|
|
2,95 |
0,0006 |
|
|
|
3,00 |
0,0004 |
|
|
|
3,05 |
0,0003 |
|
|
|
3,10 |
0,0002 |
|
|
|
3,15 |
0,0002 |
|
|
|
Поле рассеяния распределения с функцией а (Т) в зависимости от параметра λa может быть определено в табл. 22.
Рис. 16. Семейство кривых распределения с функцией (T) [7]:
1 — кривая нормального распределения.
Величина поля рассеяния рассчитана из условия, что 99,73% значений случайной величины находится в пределах этого поля.
Таблица 21
Функция F (zа, λa) нормированного распределения с линейной функцией (Т) [24]
zа |
λa |
|||
|
3 |
6 |
10 |
25 |
0,00 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,05 |
0,5166 |
0,5150 |
0,5146 |
0,5145 |
0,10 |
0,5332 |
0,5304 |
0,5293 |
0,5289 |
0,15 |
0,5498 |
0,5451 |
0,5439 |
0,5434 |
0,20 |
0,5664 |
0,5601 |
0,5586 |
0,5579 |
0,25 |
0,5830 |
0,5751 |
0,5732 |
0,5723 |
0,30 |
0,5995 |
0,5901 |
0,5879 |
0,5868 |
0,35 |
0,6161 |
0,6052 |
0,6025 |
0,6013. |
0,40 |
0,6325 |
0,6202 |
0,6172 |
0,6157 |
0,45 |
0,6489 |
0,6352 |
0,6318 |
0,6302 |
0,50 |
0,6652 |
0,6502 |
0,6465 |
0,6447 |
0,55 |
0,6815 |
0,6653 |
0,6611 |
0,6592 |
0,60 |
0,6976 |
0,6803 |
0,6758 |
0,6736 |
0,65 |
0,7136 |
0,6953 |
0,6904 |
0,6881 |
0,70 |
0,7295 |
0,7103 |
0,7051 |
0,7026 |
0,75 |
0,7451 |
0,7253 |
0,7197 |
0,7170 |
0,80 |
0,7605 |
0,7403 |
0,7344 |
0,7315 |
0,85 |
0,7757 |
0,7554 |
0,7490 |
0,7460 |
0,90 |
0,7906 |
0,7703 |
0,7637 |
0,7604 |
0,95 |
0,8032 |
0,7853 |
0,7783 |
0,7749 |
1,00 |
0,8194 |
0,8002 |
0,7930 |
0,7894 |
1,05 |
0,8333 |
0,8151 |
0,8076 |
0,8038 |
1,10 |
0,8466 |
0,8299 |
0,8223 |
0,8183 |
1,15 |
0,8595 |
0,8445 |
0,8369 |
0,8328 |
1,20 |
0,8719 |
0,8589 |
0,8515 |
0,8472 |
1,25 |
0,8837 |
0,8731 |
0,8662 |
0,8617 |
1,30 |
0,8949 |
0,8869 |
0,8807 |
0,8762 |
1,35 |
0,9055 |
0,9003 |
0,8952 |
0,8906 |
1,40 |
0,9155 |
0,9130 |
0,9094 |
0,9051 |
1,45 |
0,9248 |
0,9251 |
0,9234 |
0,9196. |
1,50 |
0,9335 |
0,9364 |
0,9367 |
0,9340 |
1,55 |
0,9415 |
0,9468 |
0,9492 |
0,9485 |
1,60 |
0,9489 |
0,9562 |
0,9607 |
0,9627 |
1,65 |
0,9555 |
0,9646 |
0,9707 |
0,9762 |
1,70 |
0,9616 |
0,9719 |
0,9791 |
0,9873. |
1,75 |
0,9670 |
0,9781 |
0,9558 |
0,9948. |
1,80 |
0,9719 |
0,9833 |
0,9908 |
0,9985. |
1,85 |
0,9762 |
0,9875 |
0,9944 |
0,9997 |
1,90 |
0,9800 |
0,9908 |
0,9992 |
1,0000 |
1,95 |
0,9833 |
0,9535 |
0,9983 |
|
2,00 |
0,9861 |
0,9954 |
0,9991 |
|
2,05 |
0,9886 |
0,9969 |
0,9996 |
|
2,10 |
0,9906 |
0,9979 |
0,9998 |
|
2,15 2,20 |
0,9924 0,9939 |
0,9987 0,9992 |
0,9999 1,0000 |
|
|
||||
2,25 |
0,9951 |
0,9995 |
|
|
2,30 |
0,9961 |
0,9997 |
|
|
2,35 |
0,9969 |
0,9998 |
|
|
2,40 |
0,9976 |
0,9999 |
|
|
2,45 |
0,9982 |
0,9999 |
|
|
2,50 |
0,9986 |
1,0000 |
|
|
2,55 |
0,9989 |
|
|
|
2,60 |
0,9992 |
|
|
|
2,65 |
0,9994 |
|
|
|
2,70 |
0,9995 |
|
|
|
2,75 |
0,9997 |
|
|
|
2,80 |
0,9998 |
|
|
|
2,85 |
0,9998 |
|
|
|
2,90 |
0,9999 |
|
|
|
2,95 |
0,9999 |
|
|
|
3,00 |
0,9999 |
|
|
|
3,10 |
1,0000 |
|
|
— |
Таблица 22
Поле рассеяния Δр
λa |
3 |
6 |
10 |
24 |
Δр |
4,74 ст0 |
4,14 ст0 |
3,76ст0 |
3,56 ст0 |
Для построения кривой распределения с функцией а (Т) следует воспользоваться формулой
(74)
Пример. Построить кривую распределения диаметров шейки вала после обтачивания на настроенном токарном станке. Опытные данные приведены в табл. 23.
В результате обработки опытных данных получены следующие характеристики распределения: = 24,905 мм; S = 0,024 мм. На основании предыдущих исследований, в результате которых был установлен факт равномерного смещения центра рассеяния в связи с износом инструмента, предполагаем, что опытное распределение подчинено закону распределения с функцией (Т).
Таблица 23
Опытные данные
|
Интервал |
Середина |
|
|
|
|
Номер |
|
|
Интервала |
Частота |
|
|
интервала |
От |
До |
xi |
mi |
|
|
1 |
24,85 |
24,86 |
24,855 |
2 |
2,08 |
0,2 |
2 |
24,86 |
24,87 |
24,865 |
5 |
1,67 |
7,1 |
3 |
24,87 |
24,88 |
24,875 |
11 |
1,25 |
12,1 |
4 |
24,88 |
24,89 |
24,885 |
12 |
0,83 |
12,2 |
5 |
2489 |
24,90 |
24,895 |
14 |
0,42 |
12,2 |
6 |
24,90 |
24,91 |
24,905 |
13 |
0 |
12,2 |
7 |
24,91 |
24,92 |
24,915 |
12 |
0,42 |
12,2 |
8 |
24,92 |
24,93 |
24,925 |
13 |
0,83 |
12,2 |
9 |
24,93 |
24,94 |
24,935 |
12 |
1,25 |
12,1 |
10 |
24,94 |
24,95 |
24,945 |
4 |
1,67 |
7,1 |
11 |
24,95 |
24,96 |
24,955 |
2 ∑=100 |
2,08 |
0,2 |
Определяем параметр распределения λа :
где = 0,0056 мм на основании предыдущих исследований.
По опытным данным, приведенным в табл. 23, строим гистограмму и полигон распределения (рис. 17).
Пользуясь формулой (74), находим, что теоретические частоты
Рис. 17. Гистограмма, полигон и кривая распределения с функцией а (Т).
Заменяя характеристики генеральной совокупности их выборочные ми оценками, вычисляем аргумент zai. Для интервала 1
Аналогично
вычисляем значение zai
для
остальных интервалов. По табл. 20 в
зависимости от zai
и
λа
находим
значения функции
,
а по формуле (74) определяем теоретические
частоты т'.
Значения теоретических частот откладываем на графике (рис. 17) и полученные точки соединяем плавной кривой, которая и будет являться кривой распределения с функцией а (Т).
Теоретическое распределение с функцией b (Т). В практике технологии машиностроения наблюдаются случаи, когда рассеяние размеров при механической обработке партии деталей не остается постоянным, а изменяется в зависимости от состояния режущего инструмента (его затупления), изменения механических свойств заготовки, нестабильности режима обработки и т. п.
На рис. 18 приведена точностная диаграмма обработки деталей на настроенных станках, которая отражает равномерное изменение рассеяния, вызванного приработкой или затуплением инструмента, возрастанием усилий резания и т. п. Такой характер функционирования технологического процесса вызывает у готовых деталей отклонения, распределение которых подчиняется закону распределения с функцией b (Т). Эта функция характеризует изменение среднего квадратического отклонения σ во времени. Чаще всего зависимость σ от времени графически выражается прямой линией.
Закон распределения с функцией b (Т) выражается уравнением
(75)
где
—
аргумент функции
;
—
параметр
функции
;
Т2, Т1 — моменты времени, которым соответствует наибольшее b (Т2) и. наименьшее b (Т1) значение среднего квадратического отклонения;
Рис. 18. Изменение рассеяния размеров в связи с приработкой и затуплением режущего инструмента.
Таблица 24
Функция
нормированного
распределения с линейной функцией b
(Т) [24]
|
|
|||
1 |
3 |
6 |
9 |
|
0,00 |
0,4562 |
0,5640 |
0,655 |
0,7354 |
0,05 |
0,4552 |
0,5606 |
0,6567 |
0,7164 |
0,10 |
0,4522 |
0,5508 |
0,6295 |
0,6673 |
0,15 |
0,4474 |
0,5352 |
0,5907 |
0,6054 |
0,20 |
0,4406 |
0,5148 |
0,5462 |
0,5440 |
0,25 |
0,4322 |
0,4909 |
0,5015 |
0,4921 |
0,30 |
0,4222 |
0,4648 |
0,4697 |
0,4476 |
0,35 |
0,4107 |
0,4375 |
0,4221 |
0,4098 |
0,40 |
0,3980 |
0,4100 |
0,3888 |
0,3773 |
0,45 |
0,3843 |
0,3833 |
0,3593 |
0,3488 |
0,50 |
0,3697 |
0,3577 |
0,3331 |
0,3235 |
0,55 |
0,3545 |
0,3335 |
0,3096 |
0,3008 |
0,60 |
0,3388 |
0,3110 |
0,2883 |
0,2803 |
0,65 |
0,3228 |
0,2900 |
0,2689 |
0,2616 |
0,70 |
0,3067 |
0,2707 |
0,2512 |
0,2446 |
0,75 |
0,2907 |
0,2527 |
0,2349 |
0,2286 |
0,80 |
0,2749 |
0,2362 |
0,2199 |
0,2144 |
0,85 |
0,2592 |
0,2208 |
0,2059 |
0,2099 |
0,90 |
0,2440 |
0,2066 |
0,1930 |
0,1884 |
0,95 |
0,2292 |
0,1932 |
0,1810 |
0,1768 |
1,00 |
0,2150 |
0,1809 |
0,1698 |
0,1660 |
1,05 |
0,2013 |
0,1693 |
0,1593 |
0,1559 |
1,10 |
0,1883 |
0,1586 |
0,1495 |
0,1464 |
1,15 |
0,1759 |
0,1485 |
0,1403 |
0,1375 |
1,20 |
0,1641 |
0,1390 |
0,1317 |
0,1291 |
1,25 |
0,1529 |
0,1302 |
0,1236 |
0,1213 |
1,30 |
0,1424 |
0,1219 |
0,1160 |
0,1140 |
1,35 |
0,1325 |
0,1141 |
0,1089 |
0,1070 |
1,40 |
0,1231 |
0,1068 |
0,1021 |
0,1005 |
1,45 |
0,1144 |
0,0996 |
0,0958 |
0,0944 |
1,50 |
0,1061 |
0,0935 |
0,0899 |
0,0886 |
1,55 |
0,0985 |
0,0875 |
0,0843 |
0,0832 |
1,60 |
0,0912 |
0,0818 |
0,0790 |
0,0780 |
1,65 |
0,0845 |
0,0764 |
0,0741 |
0,0732 |
1,70 |
0,0783 |
0,0714 |
0,0694 |
0,0696 |
1,75 |
0,0724 |
0,0667 |
0,0650 |
0,0644 |
1,80 |
0,0669 |
0,0622 |
0,0608 |
0,0603 |
1,85 |
0,0618 |
0,0581 |
0,0570 |
0,0565 |
1,90 |
0,0570 |
0,0542 |
0,0533 |
0,0529 |
1,95 |
0,0526 |
0,0506 |
0,0498 |
0,0495 . |
2,00 |
0,0485 |
0,0471 |
0,0466 |
0,0464 |
2,05 |
0,0447 |
0,0438 |
0,0436 |
0,0434 |
2,10 |
0,0411 |
0,0408 |
0,0406 |
0,0405 |
2,15 |
0,0378 |
0,0380 |
0,0379 |
0,0378 |
2,20 |
0,0348 |
0,0353 |
0,0354 |
0,0354 |
2,25 |
0,0319 |
0,0328 |
0,0330 |
0,0330 |
2,30 |
0,0293 |
0,0305 |
0,0307 |
0,0308 |
2,35 |
0,0269 |
0,0283 |
0,0286 |
0,0287 |
2,40 |
0,0264 |
0,0262 |
0,0267 |
0,0268 |
2,45 |
0,0226 |
0,0243 |
0,0248 |
0,0250 |
2,50 |
0,0206 |
0,0225 |
0,0231 |
0,0232 |
2,55 |
0,0188 |
0,0209 |
0,0214 |
0,0216 |
2,60 |
0,0172 |
0,0193 |
0,0199 |
0,0201 |
2,65 |
0,0157 |
0,0179 |
0,0185 |
0,0187 |
2,70 |
0,0143 |
0,0165 |
0,0172 |
0,0174 |
2,75 |
0,0131 |
0,0152 |
0,0159 |
0,0161 |
2,80 |
0,0119 |
0,0141 |
0,0148 |
0,0149 |
2,85 |
0,0108 |
0,0130 |
0,0137 |
0,0139 |
2,90 |
0,0098 |
0,0120 |
0,0127 |
0,0129 |
2,95 |
0,0089 |
0,0110 |
0,0117 |
0,0119 |
3,00 |
0,0081 |
0,0101 |
0,0108 |
0,0110 |
3,05 |
0,0075 |
0,0093 |
0,0099 |
0,0102 |
3,10 |
0,0066 |
0,0086 |
0,0092 |
0,0094 |
3,15 |
0,0060 |
0,0079 |
0,0085 |
0,0087 |
3,20 |
0,0054 |
0,0072 |
0,0078 |
0,0081 |
3,25 |
0,0049 |
0,0066 |
0,0072 |
0,0074 |
3,30 |
0,0044 |
0,0061 |
0,0067 |
0,0069 |
3,35 |
0,0040 |
0,0056 |
0,0061 |
0,0063 |
3,40 |
0,0036 |
0,0051 |
0,0056 |
0,0058 |
3,45 |
0,0032 |
0,0047 |
0,0052 |
0Г0053 |
3,50 |
0,0029 |
0,0043 |
0,0048 |
0,0049 |
3,55 |
0,0026 |
0,0039 |
0,0044 |
0,0045 |
3,60 |
0,0023 |
0,0036 |
0,0040 |
0,0042 |
3,65 |
0,0021 |
0,0032 |
0,0037 |
0,0038 |
3,70 |
0,0019 |
0,0030 |
0,0034 |
0,0035 |
3,75 |
0,0017 |
0,0027 |
0,0031 |
0,0032 |
3,80 |
0,0015 |
0,0024 |
0,0028 |
0,0029 |
3,85 |
0,0013 |
0,0022 |
0,0026 |
0,0027 |
3,90 |
0,0012 |
0,0020 |
0,0024 |
0,0025 |
3,95 |
0,0010 |
0,0018 |
0,0021 |
0,0023 |
4,00 |
0,0009 |
0,0017 |
0,0020 |
0,0021 |
4,05 |
0,0008 |
0,0015 |
0,0018 |
0,0018 |
4,10 |
0,0007 |
0,0014 |
0,0016 |
0,0017 |
4,15 |
0,0006 |
0,0012 |
0,0015 |
0,0016 |
4,20 |
0,0006 |
0,0011 |
0,0013 |
0,0014 |
4,25 |
0,0005 |
0,0010 |
0,0012 |
0,0013 |
4,30 |
0,0004 |
0,0009 |
0,0011 |
0,0012 |
4,35 |
0,0004 |
0,0008 |
0,0010 |
0,0011 |
4,40 |
0,0004 |
0,0007 |
0,0009 |
0,0010 |
4,45 |
0,0003 |
0,0007 |
0,0008 |
0,0009 |
4,50 |
0,0003 |
0,0006 |
0,0007 |
0,0008 |
4,55 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0007 |
0,0007 |
4,60 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0006 |
0,0007 |
4,65 |
0,0002 |
0,0004 |
0,0006 |
0,0006 |
4,70 |
0,0002 |
0,0004 |
0,0005 |
0,0005 |
4,75 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0004 |
0,0005 |
4,80 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0004 |
0,0004 |
4,85 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0004 |
0,0004 |
4,90 |
0,0001 |
0,0003 |
0,0003 |
0,0004 |
4,95 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0003 |
0,0003 |
5,00 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0003 |
0,0003 |
5,05 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0002 |
0,0003 |
5,10 |
— |
0,0002 |
0,0002 |
0,0002 |
5,15 |
— |
0,0001 |
0,0002 |
0,0002 |
5,20 |
— |
0,0001 |
0,0002 |
0,0002 |
5,25 |
— |
0,0001 |
0,0002 |
0,0002 |
5,30 |
— |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
5,35 |
— |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
5,40 |
— |
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
5,45 |
|
0,0001 |
0,0001 |
0,0001 |
Линейную функцию b (Т) в любой момент времени определяют по уравнению
(76)
Функция у = табулирована и ее значения в зависимости от и приведены в табл. 24.
На рис. 19 приведено семейство кривых распределения с линейной функцией b (Т). Как видно из графиков, все кривые распределения симметричны (А = 0) и более островершинны (Е > 0), чем кривые нормального распределения. С возрастанием параметра островершинность кривых увеличивается.
Интегральная
функция
закона
распределения с линейной функцией b
(Т) также
табулирована и ее значения приведены
в табл. 25.
Величина поля рассеяния распределения с линейной функцией b (Т) приведена в табл. 26 в зависимости от параметра .
Величина поля рассеяния рассчитана из условия, что 99,73% значений случайной величины находятся в пределах этого поля.
Для построения кривой распределения с функцией b(Т) следует вычислить теоретические частоты m' по формуле
(77)
Рис. 19. Семейство кривых распределения с функцией b (Т) [24]: 1 — кривая нормального распределения.
Пример. Поршневые кольца обрабатываются по торцам в размер h = 3-0.05 на плоскошлифовальных станках. Для анализа технологического процесса шлифования колец взята выборка объемом п = 150 шт. Опытные данные выборки приведены в табл. 27.
В соответствии с опытными данными на рис. 20 построены гистограмма и полигон распределения, рассчитаны характеристики распределения = 2,972 мм; S = 0,0034 мм. На основании предыдущих исследований среднее квадратическое отклонение мгновенной совокупности σм = 0,0005 мм. Есть основания предполагать, что данная партия деталей была обработана засаленными (затупившимися) шлифовальными кругами. В связи с этим предполагаем, что опытная партия колец по размеру толщины кольца подчиняется закону распределения с функцией b (Т).
Из формулы следует, что
Среднее
квадратическое отклонение генеральной
совокупности заменяем его оценкой S
= 0,0034 мм. Рассчитываем значение
и
соответствующее ему значение теоретической
частоты. По полученным данным строим
кривую распределения (рис. 20). Для
сравнения на этом же рисунке приведена
кривая нормального распределения.
Таблица 25
Функция нормированного распределения с линейной функцией b (Т) [24]
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
6 |
9 , |
0,00 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,5000 |
0,05 |
0,5226 |
0,5281 |
0,5324 |
0,5364 |
0,10 |
0,5453 |
0,5560 |
0,5653 |
0,5711 |
0,15 |
0,5678 |
0,5831 |
0,5959 |
0,6030 |
0,20 |
0,5900 |
0,6094 |
0,6243 |
0,6317 |
0,25 |
0,6118 |
0,6346 |
0,6505 |
0,6576 |
0,30 |
0,6332 |
0,6585 |
0,6745 |
0,6810 |
0,35 |
0,6540 |
0,6810 |
0,6965 |
0,7025 |
0,40 |
0,6742 |
0,7022 |
0,7168 |
0,7221 |
0,45 |
0,6938 |
0,7220 |
0,7355 |
0,7403 |
0,50 |
0,7126 |
0,7405 |
0,7527 |
0,7571 |
0,55 |
0,7307 |
0,7578 |
0,7688 |
0,7726 |
0,60 |
0,7481 |
0,7739 |
0,7837 |
0,7872 |
0,65 |
0,7646 |
0,7889 |
0,7977 |
0,8007 |
0,70 |
0,7803 |
0,8029 |
0,8107 |
0,8134 |
0,75 |
0,7953 |
0,8160 |
0,8228 |
0,8252 |
0,80 |
0,8094 |
0,8282 |
0,8342 |
0,8363 |
0,85 |
0,8228 |
0,8397 |
0,8448 |
0,8466 |
0,90 |
0,8354 |
0,8503 |
0,8548 |
0,8564 |
0,95 |
0,8472 |
0,8603 |
0,8642 |
0,8655 |
1,00 |
0,8583 |
0,8697 |
0,8729 |
0,8741 |
1,05 |
0,8687 |
0,9784 |
0,8812 |
0,8821 |
1,10 |
0,8784 |
0,8866 |
0,8889 |
0,8897 |
1,15 |
0,8875 |
0,8943 |
0,8961 |
0,8968 |
1,20 |
0,8960 |
0,9015 |
0,9029 |
0,9034 |
1,25 |
0,9039 |
0,9082 |
0,9093 |
0,9097 |
1,30 |
0,9113 |
0,9145 |
0,9153 |
0,9156 |
1,35 |
0,9182 |
0,9204 |
0,9209 |
0,9211 |
1,40 |
0,9246 |
0,9259 |
0,9262 |
0,9263 |
1,45 |
0,9305 ' |
0,9311 |
0,9311 |
0,9311 |
1,50 |
0,9360 |
0,9359 |
0,9358 |
0,9357 |
1,55 |
0,9411 |
0,9405 |
0,9401 |
0,9400 |
1,60 |
0,9459 |
0,9447 |
0,9442 |
0,9400 |
1,65 |
0,9503 |
0,9486 |
0,9480 |
0,9478 |
1,70 |
0,9543 |
0,9528 |
0,9516 |
0,9514 |
1,75 |
0,9581 |
0,9558 |
0,9550 |
0,9547 |
1,80 |
0,9616 |
0,9590 |
0,9581 |
0,9578 |
1,85 |
0,9648 |
0,9620 |
0,9611 |
0,9607 |
1,90 |
0,9678 |
0,9648 |
0,9638 |
0,9635 |
1,95 |
0,9705 |
0,9674 |
0,9664 |
0,9660 |
2,00 |
0,9730 |
0,9699 |
0,9688 |
0,9684 |
2,05 |
0,9754 |
0,9721 |
0,9710 |
0,9707 |
2,10 |
0,9775 |
0,9743 |
0,9731 |
0,9727 |
2,15 |
0,9795 |
0,9762 |
0,9751 |
0,9747 |
2,20 |
0,9813 |
0,9781 |
0,9769 |
0,9765 |
2,25 |
0,9830 |
0,9798 |
0,9785 |
0,9782 |
2,30 |
0,9845 |
0,9813 |
0,9802 |
0,9798 |
2,35 |
0,9859 |
0,9828 |
0,9817 |
0,9813 |
2,40 |
0,9872 |
0,9842 |
0,9831 |
0,9827 |
2,45 |
0,9884 |
0,9854 |
0,9844 |
0,9840 |
2,50 |
0,9894 |
0,9866 |
0,9856 |
0,9852 |
2,55 |
0,9904 |
0,9877 |
0,9867 |
0,9864 |
2,60 |
0,9913 |
0,9887 |
0,9877 |
0,9874 |
2,65 |
0,9922 |
0,9896 |
0,9887 |
0,9884 |
2,70 |
0,9929 |
0,9905 |
0,9896 |
0,9893 |
2,75 |
0,9936 |
0,9913 |
0,9904 |
0,9901 |
2,80 |
0,9942 |
0,9920 |
0,9912 |
0,9909 |
2,85 |
0,9948 |
0,9927 |
0,9919 |
0,9916 |
2,90 |
0,9953 |
0,9933 |
0,9925 |
0,9923 |
2,55 |
0,9958 |
0,9939 |
0,9932 |
0,9929 |
3,00 |
0,9962 |
0,9944 |
0,9937 |
0,9935 |
3,05 |
0,9966 |
0,9949 |
0,9942 |
0,9940 |
3,10 |
0,9969 |
0,9953 |
0,9947 |
0,9945 |
3,15 |
0,9972 |
0,9958 |
0,9952 |
0,9949 |
3,20 |
0,9975 |
0,9961 |
0,9956 |
0,9954 |
3,25 |
0,9978 |
0,9965 |
0,9959 |
0,9957 |
3,30 |
.0,9980 |
0,9968 |
0,9963 |
0,9961 |
3,35 |
0,9982 |
0,9971 ! |
0,9966 |
0,9964 |
3,40 |
0,9984 |
0,9974 |
0,9969 |
0,9967 |
3,45 |
0,9986 |
0,9976 |
0,9972 |
0,9970 |
3,50 |
0,9987 |
0,9978 |
0,9974 |
0,9973 |
3,55 |
0,9989 |
0,9980 |
0,9977 |
0,9975 |
3,60 |
0,9990 |
0,9982 |
0,9979 |
0,9977 |
3,65 |
0,9991 |
0,9984 |
0,9981 |
0,9979 |
3,70 |
0,9992 |
0,9985 |
0,9982 |
0,9981 |
3,80 |
0,9994 |
0,9988 |
0,9985 |
0,9984 |
3,85 |
0,9994 |
0,9989 |
0,9987 |
0,9986 |
3,90 |
0,9995 |
0,9990 |
0,9988 |
0,9987 |
3,95 |
0,9996 |
0,9991 |
0,9989 |
0,9988 |
4,00 |
0,9996 |
0,9992 |
0,9990 |
0,9989 |
4,05 |
0,9997 |
0,9993 |
0,9991 |
0,9990 |
4,10 |
0,9997 |
0,9994 |
0,9992 |
0,9991 |
4,15 |
0,9997 |
0,9994 |
0,9993 |
0,9992 |
4,20 |
0,9998 |
0,9995 |
0,9993 |
0,9993 |
4,25 |
0,9998 |
0,9995 |
0,9994 |
0,9994 |
4,30 |
0,9998 |
0,9996 |
0,9995 |
0,9994 |
4,35 |
0,9998 |
0,9996 |
0,9995 |
0,9995 |
4,40 |
0,9999 |
0,9995 |
0,9996 |
0,9995 |
4,45 |
|
0,9997 |
0,9996 |
0,9996 |
4,50 |
|
0,9997 |
0,9997 |
0,9996 |
4,55 |
|
0,9998 |
0,9997 |
0,9996 |
4,60 |
|
0,9998 |
0,9997 |
0,9997 |
4,65 |
|
0,9998 |
0,9998 |
.0,9997 |
4.70 4,70 |
|
0,9998 |
0,9998 |
0,9997 |
4,75 |
|
0,9998 |
0,9998 |
0,9998 |
4,80 |
|
0,9999 |
0,9998 |
0,9998 |
4,85 |
|
|
0,9998 |
0,9998 |
4,90 |
|
|
0,9998 |
0,9998 |
4,95 |
|
|
0,9999 |
0,9998 |
5,00 |
— |
— |
— |
0,9999 |
Таблица 26
Поле рассеяния Δр
|
1 |
3 |
6 |
9 |
Δр |
6,30 |
6,86 |
7,0 |
7,0 |
Таблица 27
Опытные данные
Номер интервала |
Интервал |
Середина интервала xi |
Частота |
|||
от |
до |
|||||
mi |
|
mi |
||||
1 |
2,960 |
2,962 |
2,961 |
1 |
3,24 |
0,64 |
2 |
2,962 |
2,964 |
2,963 |
4 |
2,65 |
1,63 |
3 |
2,964 |
2,966 |
2,965 |
2 |
2,05 |
3,86 |
4 |
2,966 |
2,968 |
2,967 |
8 |
1,47 |
8,3 |
5 |
2,968 |
2,970 |
2,969 |
19 |
0,88 |
17,5 |
6 |
2,970 |
2,972 |
2,971 |
54 |
0,29 |
42,0 |
7 |
2,972 |
2,974 |
2,973 |
38 |
0,29 |
42,0 |
8 |
2,974 |
2,976 |
2,975 |
10 |
0,88 |
17,5 |
9 |
2,976 |
2,978 |
2,977 |
8 |
1,47 |
8,3 |
10 |
2,978 |
2,980 |
2,979 |
2 |
2,05 |
3,86 |
11 |
2,980 |
2,982 |
2,981 |
3 |
2,65 |
1,63 |
12 |
2,982 |
2,984 |
2,983 |
1 |
3,24- |
0.64 |
|
|
|
|
∑=150 |
|
|
Следует отметить, что функции а (Т) и b (Т) соответствующих распределений могут изменяться во времени по нелинейным законам. Для закона распределения с функцией а (Т) в случае, если функция а (Т) изменяется нелинейно, в табл. 28 приведены соответствующие характеристики распределения
При изменении функции b (Т) по нелинейному закону А = О, Е > 0. Если одновременно изменяются в технологическом процессе центр рассеяния и среднее квадратическое отклонение σ во времени, то распределение значений признака качества будет соответствовать композиции законов распределения с функцией а (T) и b (Т) [2, 24].
Рис. 20. Гистограмма, полигон и кривая распределения с функцией b (Т).
Таблица 28
Характеристики распределения
-
Характеристика закона
Изменения функций a(T)
Асимметрия А
Экспресс Е
А>0
Е<0
А<0
Е<0
Закон эксцентриситета. Рассматриваемый закон распределения относится к группе законов распределения существенно положительных величин. Существенно положительными величинами в технологии машиностроения называют такие признаки качества продукции, отклонение которых от правильного размера, принятого за нуль, выражается положительными числами. Примером таких признаков качества является биение, эксцентриситет, непараллельность, неперпендикулярность и другие погрешности геометрической формы изделия.
Если исходные условия функционирования технологических процессов соответствует возникновению векторных погрешностей (например, величина эксцентриситета характеризуется величиной радиус-вектора и угловой координатой, т. е. рассеивание этих величин происходит на плоскости), распределение таких величин будет подчиняться закону эксцентриситета, который описывается уравнением
где R — переменная величина эксцентриситета или биения (рис. 21); σ0 — среднее квадратическое отклонение значений координат х и z (рис. 21).
Особенностью данного распределения является то, что в основе его лежит нормальное распределение, так как координаты х и z конца эксцентриситета R распределены нормально, но распределение эксцентриситета не подчиняется закону нормального распределения.
Рис. 21. Эксцентриситет оси отверстия относительно оси
валика.
Таблица 29
Функция φ(tЭ) нормированного распределения эксцентриситета
tЭ |
0,00 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,0 |
0,0000 |
0,0100 |
0,0200 |
0,0300 |
0,0400 |
0,1 |
0,0995 |
0,1093 |
0,1191 |
0,1289 |
0,1386 |
0,2 |
0,1960 |
0,2054 |
0,2147 |
0,2240 |
0,2332 |
0,3 |
0,2868 |
0,2955 |
0,3040 |
0,3125 |
0,3209 |
0,4 |
0,3692 |
0,3770 |
|
0,3920 |
0,3994 |
0,5 |
0,4413 |
0,4478 |
0,4542 |
0,4606 |
0,4667 |
0,6 |
0,5012 |
0,5065 |
0,5116 |
0,5166 |
0,5215 |
0,7 |
0,5479 |
0,5518 |
0,5556 |
0,5593 |
0,5628 |
0,8 |
0,5809 |
0,5835 |
0,5859 |
0,5881 |
0,5903 |
0,9 |
0,6003 |
0,6015 |
0,6025 |
0,6035 |
0,6043 |
1,0 |
0,6065 |
0,6065 |
0,6063 |
0,6061 |
0,6056 |
1,1 |
0,6007 |
0,5995 |
0,5982 |
0,5968 |
0,5953 |
1,2 |
0,5842 |
0,5819 |
0,5796 |
0,5772 |
0,5749 |
1,3 |
0,5585 |
0,5554 |
0,5523 |
0,5492 |
0,5461 |
1,4 |
0,5254 |
0,5218 |
0,5182 |
0,5144 |
0,5106 |
1,5 |
0,4870 |
0,4829 |
0,4788 |
0,4746 |
0,4705 |
1,6 |
0,4448 |
0,4405 |
0,4361 |
0,4318 |
0,4274 |
1,7 |
0,4007 |
0,3964 |
0,3918 |
0,3873 |
0,3830 |
1,8 |
0,3562 |
0,3519 |
0,3474 |
0,3429 |
0,3386 |
1,9 |
0,3126 |
0,3083 |
0,3039 |
0,2997 |
0,2955 |
2,0 |
0,2.706 |
0,2667 |
0,2626 |
0,2586 |
0,2546 |
2,1 |
0,2316 |
0,2279 |
0,2241 |
0,2205 |
0,2168 |
2,2 |
0,1956 |
.0,1923 |
0,1889 |
0,1855 |
0,1823 |
2,3 |
0.1633 |
0,1603 |
0,1573 |
0,1542 |
0,1514 |
2,4 |
0,1346 |
0,1321 |
0,1295 |
0,1268 |
0,1240 |
2,5 |
0,1098 |
0,1077 |
0,1053 |
0,1030 |
0,1008 |
2,6 |
0,0884 |
0,0867 |
0,0846 |
0,0828 |
0,0810 |
2,7 |
0,0705 |
0,0688 |
0,0672 |
0,0658 |
0,0641 |
2,8 |
0,0554 |
0,0542 |
0,0530 |
0,0515 |
0,0503 |
2,9 |
0,0432 |
0,0422 |
0,0412 |
0,0401 |
0,0391 |
3,0 |
0,0333 |
0,0325 |
0,0317 |
0,0306 |
0,0298 |
3,1 |
0,0254 |
0,0246 |
0,0240 |
0,0235 |
0,0226 |
3,2 |
0,0192 |
0,0186 |
0,0180 |
0,0174 |
0,0172 |
3,3 |
0,0142 |
0,0139 |
0,0133 |
0,0130 |
0,0127 |
3,4 |
0,0105 |
0,0102 |
0,0099 |
0,0096 |
0,0093 |
3,5 |
0,0077 |
0,0071 |
0,0072 |
0,0070 |
0,0067 |
3,6 |
0,0055 |
0,0054 |
0,0052 |
0,0051 |
0,0048 |
3,7 |
0,0039 |
0,0038 |
0,0037 |
0,0035 |
0,0034 |
3,8 |
0,0028 |
0,0027 |
0,0026 |
0,0025 |
0,0024 |
3,9 |
0,0020 |
0,0019 |
0,0018 |
0,0017 |
0,0017 |
4,0 |
0,0013 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0012 |
0,0012 |
Таблица З0
Функция F (tЭ) нормированного распределения эксцентриситета
tЭ |
0,00 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,0 |
0,0000 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0005 |
0,0008 |
0,1 |
0,0050 |
0,0060 |
0,0072 |
0,0084 |
0,0098 |
0,2 |
0,0198 |
0,0218 |
0,0239 |
0,0261 |
0,0284 |
0,3 |
0,0440 |
0,0469 |
0,0499 |
0,0530 |
0,0562 |
0,4 |
0,0769 |
0,0806 |
0,0844 |
0,0883 |
0,0923 |
0,5 |
0,1175 |
0,1220 |
0,1265 |
0,1310 |
0,1357 |
0,6 |
0,1647 |
0,1698 |
0,1749 |
0,1800 |
0,1852 |
0,7 |
0,2173 |
0,2228 |
0,2283 |
0,2339 |
0,2395 |
0,8 |
0,2739 |
0,2797 |
0,2855 |
0,2914 |
0,2973 |
0,9 |
0,3330 |
0,3390 |
0,3450 |
0,3511 |
0,3571 |
1,0 |
0,3935 |
0,3995 |
0,4056 |
0,4117 |
0,4177 |
1,1 |
0,4539 |
0,4599 |
0,4659 |
0,4719 |
0,4779 |
1,2 |
0,5132 |
0,5191 |
0,5249 |
0,5307 |
0,5364 |
1,3 |
0,5704 |
0,5760 |
0,5815 |
0,5871 |
0,5925 |
1,4 |
0,6247 |
0,6299 |
0,6351 |
0,6403 |
0,6454 |
1,5 |
0,6753 |
0,6802 |
0,6850 |
0,6898 |
0,6945 |
1,6 |
0,7220 |
0,6898 |
0,7308 |
0,7351 |
0,7394 |
1,7 |
0,7643 |
0,7682 |
0,7722 |
0,7761 |
0,7799 |
1,8 |
0,8021 |
0,8056 |
0,8092 |
0,8126 |
0,8160 |
1,9 |
0,8355 |
0,8386 |
0,8417 |
0,8447 |
0,8477 |
2,0 |
0,8647 |
0,8674 |
0,8700 |
0,8726 |
0,8752 |
2,1 |
0,8898 |
0,8920 |
0,8943 |
0,8965 |
0,8987 |
2,2 |
0,9111 |
0,9130 |
0,9149 |
0,9168 |
0,9186 |
2,3 |
0,9290 |
0,9306 |
0,9322 |
0,9338 |
0,9353 |
2,4 |
0,9439 |
0,9452 |
0,9465 |
0,9478 |
0,9490 |
2,5 |
0,9561 |
0,9572 |
0,9582 |
0,9583 |
0,9603 |
2,6 |
0,9660 |
0,9668 |
0,9677 |
0,9685 |
0,9693 |
2,7 |
0,9739 |
0,9746 |
0,9753 |
0,9760 |
0,9766 |
2,8 |
0,9802 |
0,9807 |
0,9813 |
0,9818 |
0,9823 |
2,9 |
0,9851 |
0,9855 |
0,9859 |
0,9863 |
0,9867 |
3,0 |
0,9889 |
0,9892 |
0,9896 |
0,9899 |
0,9902 |
3,1 |
0,9918 |
0,9921 |
0,9923 |
0,9925 |
0,9928 |
3,2 |
0,9940 |
0,9942 |
0,9944 |
0,9946 |
0,9947 |
3,3 |
0,995 |
0,9958 |
0,9960 |
0,9961 |
0,9962 |
3,4 |
0,9969 |
0,9970 |
0,9971 |
0,9972 |
0,9973 |
3,5 |
0,9978 |
0,9979 |
0,9980 |
0,9980 |
0,9981 |
3,6 |
0,9985 |
0,9985 |
0,9986 |
0,9986 |
0,9987 |
3,7 |
0,9990 |
0,9990 |
0,9990 |
0,9991 |
0,9991 |
3,8 |
0,9993 |
0,9993 |
0,9993 |
0,9994 |
0,9994 |
3,9 |
0,9995 |
0,9995 |
0,9995 |
0,9996 |
0,9996 |
4,0 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9997 |
Если
обозначить через σR—
среднее квадратическое отклонение
эксцентриситета, а через
—
среднее арифметическое значение
эксцентриситета, то связь между σR,
R
и σ0
выражается
следующими формулами:
Заменив переменные в уравнении (78) на 4, которое равно
(79)
получим уравнение кривой распределения эксцентриситета в нормированном виде
(80)
Функция
табулирована и ее значения в зависимости
от аргумента
приведены в табл. 29.
Интегральный закон распределения эксцентриситета в нормированном виде
(81)
Функция
также
табулирована и ее значения приведены
в табл. 30 в зависимости от аргумента
.
Поле рассеяния значений признака качества при их распределении по закону эксцентриситета может быть подсчитано по формулам
(82)
(83)
Однако
оценка
0
и
по
данным выборочной совокупности вносит
определенную погрешность в расчет поля
рассеяния. В табл. 31 приведены величины
коэффициента kэ
в
зависимости от объема выборки п
для
расчета практического поля рассеяния
по формуле
(84)
Практическое поле рассеяния рассчитано из предположения, что 99,73% значений случайной величины находятся в пределах этого поля.
Таблица 31
Значение коэффициента
n |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
80 |
100 |
200 |
>200 |
kэ |
7,66 |
7,30 |
7,05 |
6,75 |
6,55 |
6,40 |
6,22 |
6,1 |
5,82 |
5,25 |
Кривая распределения эксцентриситета (рис. 22) имеет положительную асимметрию (А > 0) и более острую вершину (Е > 0), чем кривая нормального распределения. Для построения этой кривой необходимо рассчитать теоретическую частоту по формуле
(85)
где
SR
— выборочное среднее квадратическое
отклонение;
— функция, которую находят по табл. 29
в зависимости от аргумента tЭ.
Рис. 22. Кривая распределения эксцентриситета.
Пример. По результатам измерений (табл. 32) партии двухступенчатых валиков построить гистограмму полигон и кривую распределения эксцентриситета меньшей ступени.
Таблица 32
Опытные данные
Номер |
Интервал |
Середина интервала Ri
|
Частота mi |
|
|
|
|
|
|
|
От |
До |
|||||||||
1 |
0 |
5 |
2,5 |
1 |
0,184 |
0,1809 |
4,7 |
2,3 |
5,29 |
1,13 |
2 |
5 |
10 |
7,5 |
12 |
0,55 |
0,4728 |
12,2 |
0,2 |
0,04 |
0,003 |
3 |
10 |
15 |
12,5 |
14 |
0,92 |
0,6025 |
15,6 |
1,6 |
2,56 |
0,164 |
4 |
15 |
20 |
17,5 |
14 |
1,29 |
0,5614 |
14,5 |
0,5 |
0,25 |
0,017 |
5 |
20 |
25 |
22,5 |
8 |
1,66 |
0,4185 |
10,8 |
2,8 |
7,84 |
0,726 |
6 |
25 |
30 |
27,5 |
10 |
2,02 |
0,2626 |
6,7 |
|
|
|
7 |
30 |
35 |
32,5 |
4 15 |
2,4 |
0,1346 |
3,5 11,8 |
3,2 |
10,24 |
0,87 |
8 |
35 |
40 |
37,5 |
1 |
2,76 |
0,0613 |
1,6 |
|
|
|
|
|
|
|
∑=70 |
|
|
|
|
|
∑=2,91 |
В результате обработки опытных данных = 16,43 мкм, SR = 8,89 мкм.
Предполагаем, что опытное распределение подчиняется закону эксцентриситета. Пользуясь формулой (79), вычисляем значение аргумента . Для первого интервала
Аналогично вычисляем . для остальных интервалов. По табл. 29 в зависимости от находим соответствующее значение функции .
По формуле (85) рассчитываем значения теоретических частот . Для первого интервала
Рис. 23.Гистограмма, полигон и кривая распределения эксцентриситета.
Аналогично вычисляем для остальных интервалов.
По данным табл. 32 строим гистограмму, полигон распределения и кривую распределения эксцентриситета (рис. 23). Визуальная оценка дает основание полагать, что опытное распределение близко к теоретическому закону эксцентриситета.
Закон модуля разности. Как и другие законы распределения,— этот закон также описывает распределение существенно положительных величин. Однако в данном случае за случайную величину принимается абсолютная величина
(86)
где х1, х2 — случайные величины.
Установлено [13, 14], что данному закону могут подчиняться следующие погрешности: несимметричность поверхностей, имеющих общую ось или плоскость симметрии; непараллельность плоскостей, которые в номинале должны быть параллельны; непараллельность осей цилиндрических поверхностей в фиксированной плоскости; неперпендикулярность двух осей; овальность, определяемая как разность между максимальным и минимальным диаметрами; отклонение в углах от их номинального значения и др.
Если распределение случайных величин х1 и х2 подчиняется закону нормального распределения, то уравнение закона модуля разности в нормализованном виде выглядит так:
Где
(87)
соответственно среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонения разности \х1—хг\.
Если
дано непосредственно распределение
случайной величины разности r
и
определены характеристики этого
распределения
,
то
ρ0
может быть определено при помощи
параметра распределения (табл. 33)
(88)
Таблица 33
Значения
ρ0 в
зависимости от
|
ρ0 |
|
ρ0 |
|
ρ0 |
1,3236 |
0,00 |
1,490 |
,07 |
2,030 |
1,93 |
1,324 |
0,19 |
1,510 |
,12 |
2,070 |
1,98 |
1,325 |
0,27 |
1,530 |
,16 |
2,110 |
2,02 |
1,326 |
0,31 |
1,550 |
,20 |
2,150 |
2,07 |
1,327 |
0,34 |
1,570 |
,24 |
2,190 |
2,12 |
1,329 |
0,38 |
1,590 |
,28 |
2,230 |
2,17 |
1,331 |
0,41 |
1,610 |
,32 |
2,270 |
2,21 |
1,333 |
0,44 |
1,630 |
,35 |
2,310 |
2,26 |
1,335 |
0,47 |
1,650 |
,39 |
2,350 |
2,30 |
1,337 |
0,49 |
1,670 |
,42 |
2,390 |
2,35 |
1,339 |
0,51 |
1,690 |
,45 |
2,430 |
2,39 |
1,342 |
0,53 |
1,710 |
,48 |
2,470 |
2,44 |
1,346 |
0,57 |
1,730 |
,51 |
2,510 |
2,48 |
1,350 |
0,59 |
1,750 |
1,54 |
2,550 |
2,52 |
1,360 |
0,65 |
1,770 |
1,57 |
2,590 |
2,56 |
1,370 |
0,70 |
1,790 |
1,60 |
2,630 |
2,61 |
1,380 |
0,75 |
1,810 |
1,63 |
2,670 |
2,65 |
1,390 |
0,79 |
1,840 |
1,68 |
2,710 |
2,69 |
1,400 |
0,82 |
1,870 |
1,72 |
2,760 |
2,74 |
1,410 |
0,86 |
1,900 |
1,76 |
2,810 |
2,80 |
1,430 |
0,92 |
1,930 |
1,80 |
2,860 |
2,85 |
1,450 |
0,97 |
1,960 |
1,84 |
2,910 |
2,90 |
1,470 |
1,03 |
1,990 |
1,88 |
2,960 |
2,95 |
|
|
|
|
3,000 |
2,99 |
Таблица 34
Интегральная функция F(ρ) модуля разности
ρ |
Значения р0 |
|
|||
0,0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
||
0,10 |
0,07966 |
0,07808 |
0,07355 |
0,06658 |
|
0,20 |
0,15852 |
0,15542 |
0,14648 |
0,13272 |
|
0,30 |
0,23582 |
0,23129 |
0,21821 |
0,19803 |
|
0,40 |
0,31084 |
0,30500 |
0,28814 |
0,26208 |
|
0,50 |
0,38292 |
0,37595 |
0,35577 |
0,32451 |
|
0,60 |
0,45148 |
0,44356 |
0,42060 |
0,38493 |
|
0,70 |
0,51608 |
0,50740 |
0,48225 |
0,44303 |
|
0,80 |
0,57628 |
0,56708 |
0,54035 |
0,49850 |
|
0,90 |
0,63188 |
0,62238 |
0,59466 |
0,55111 |
|
1,00 |
0,68268 |
0,67307 |
0,64498 |
0,60062 |
|
1,10 |
0,72868 |
0,71914 |
0,69124 |
0,64690 |
|
1,20 |
0,76986 |
0,76058 |
0,73314 |
0,68981 |
|
1,30 |
0,80640 |
0,79754 |
0,77138 |
0,72932 |
|
1,40 |
0,83848 |
0,83013 |
0,80541 |
0,76539 |
|
1,50 |
0,86640 |
0,85864 |
0,83562 |
0,79808 |
|
1,60 |
0,89040 |
0,88331 |
0,86218 |
0,82743 |
|
1,70 |
0,91088 |
0,90448 |
0,88534 |
0,85362 |
|
1,80 |
0,92814 |
0,92245 |
0,90533 |
0,87673 |
|
1,90 |
0,94256 |
0,93758 |
0,92248 |
0,89699 |
|
2,00 |
0,95440 |
0,95016 |
0,93700 |
0,91458 |
|
2,10 |
0,96428 |
0,96056 |
0,94923 |
0,92974 |
|
2,20 |
0,97218 |
0,98143 |
0,95941 |
0,94264 |
|
2,30 |
0,97856 |
0,98582 |
0,96882 |
0,95358 |
|
2,40 |
0,98360 |
0,98924 |
0,97469 |
0,96272 |
|
2,50 |
0,98758 |
0,98582 |
0,98028 |
0,97031 |
|
2,60 |
0,99068 |
0,98924 |
0,98474 |
0,97656 |
|
2,70 |
0,99308 |
0,99193 |
0,98831 |
0,98166 |
|
2,80 |
0,99488 |
0,99399 |
0,99111 |
0,98575 |
|
2,90 |
0,99628 |
0,99557 |
0,99331 |
0,98905 |
|
3,00 |
0,99730 |
0,99675 |
0,99500 |
0,99164 |
|
3,20 |
0,99862 |
0,99831 |
0,99728 |
0,99521 |
|
3,40 |
0,99932 |
0,99915 |
0,99858 |
0,99740 |
|
3,60 |
0,99968 |
0,99959 |
0,99927 |
0,99863 |
|
3,80 |
0,99986 |
0,99981 |
0,99964 |
0,99930 |
|
4,00 |
0,999937 |
0,999908 |
0,99983 |
0,99966 |
|
На рис. 24 дано семейство кривых распределения, отвечающих различным значениям параметра ρ0. Как видно из рис. 24 при ρ0 = 0 кривая распределения резко асимметрична и при ρо = 3 кривая распределения совпадает с кривой нормального распределения.
Интегральная функция распределения модуля разности может быть представлена в следующем виде:
(89)
где
—
функции Лапласа;
-аргументы
этих функций
Значения
интегральной функции
приведены в табл. 34 в зависимости от
параметра ρо для каждого значения ρ.
Среднее квадратическое отклонение σ0 разности \х1—х2\ определяют по формуле
(90)
Значения
приведены
в табл. 35.
Практическое поле рассеяния распределения модуля разности
(91)
Рис. 24. Семейство кривых распределения модуля разности [14].
Таблица 35
Значения σр в зависимости от ρ0
ρ0 |
σρ |
ρ0 |
σρ |
ρ0 |
σρ |
0,0 |
0,603 |
1,0 |
0,799 |
2,0 |
0,966 |
0,1 |
0,607 |
1,1 |
0,824 |
2,1 |
0,972 |
0,2 |
0,615 |
1,2 |
0,847 |
2,2 |
0,978 |
0,3 |
0,629 |
1,3 |
0,869 |
2,3 |
0,983 |
0,4 |
0,647 |
1,4 |
0,888 |
2,4 |
0,987 |
0,5 |
0,669 |
1,5 |
0,906 |
2,5 |
0,990 |
0,6 |
0,964 |
1,6 |
0,921 |
2,6 |
0,992 |
0,7 |
0,720 |
1,7 |
0,935 |
2,7 |
0,994 |
0,8 |
0,747 |
1,8 |
0,947 |
2,8 |
0,996 |
0,9 |
0,772 |
1,9 |
0,957 |
2,9 |
0,997 |
|
|
|
|
3,0 |
0,998 |
где lr и η коэффициенты (табл. 36 и 37); Sr — выборочное среднее квадратическое отклонение.
Теоретические частоты для построения кривой распределения вычисляют по формуле
(92)
Таблица 36
Значения коэффициента lГ в зависимости от λ0
λ0 |
1,324 |
1,35 |
1,49 |
1,66 |
1,86 |
2,26 |
2,81 |
3,00 |
lr |
4,97 |
4,89 |
4,72 |
4,71 |
4,80 |
5,10 |
5,61 |
5,80 |
Таблица 37
Значения коэффициента η в зависимости от объема выборки п при α=0,95
N |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
80 |
100 |
200 |
>200 |
η |
1,46 |
1,391 |
1,344 |
1,284 |
1,246 |
1,220 |
1,184 |
1,162 |
1,109 |
1,000 |
где
—
значение интегральной функции
распределения для i-го
интервала (табл. 34);
—значение интегральной функции
распределения для (i
—
1)-го интервала (табл. 34).
Пример. Построить гистограмму, полигон и кривую распределения погрешностей, характеризующих разностенность втулки после внутреннего шлифования. Опытные данные распределения в сгруппированном виде представлены в табл. 38.
Предполагаем, что опытное распределение подчиняется закону модуля разности.
В результате обработки опытных данных = 5,044 мкм; Sr = 2,61 мкм.
По формуле (88) определяем параметр распределения
По табл. 33 в зависимости от λ0 находим, что, ρ0 = 1,80, а по табл. 35 — σρ = 0,947.
По формуле (90) находим среднее квадратическое отклонение
Таблица 38
Опытные данные
Номер интервала |
Интервал |
Частота mi |
|
F(ρ) |
|
|
|
От |
До |
||||||
1 2 3 4 5 6 7
|
1 3 5 7 9 11 13 |
1 3 5 7 9 11 13 |
22 32 17 13 6 1 1
|
1,08 1,79 2,51 3,24 3,94 4,66 5,37 |
0,2401 0,4998 0,7580 0,9192 0,9821 0,9965 0,9999 |
0,2401 0,2597 0,2582 0,1612 0,0629 0,0144 0,0034 |
22,1 23,9 23,8 14,8 5,8 1,3 0,3 |
Затем для каждого интервала определяем величину ρi по формуле (87). Для первого интервала
По табл. 34 находим значение интегральной функции Fρ для каждого интервала в зависимости от ρi и ρ0 = 1,80.
Теоретические частоты определяют по формуле (91). Для первого интервала
Пользуясь данными табл. 38, строим гистограмму, полигон и кривую распределения модуля разности (рис. 25).