Раздел 10. Проектирование автоматических систем с фильтром калмана

10.1. Понятие фильтра Калмана

Пусть многомерная система определяется как система с l-входами и n-выходами, у которой преобразование “вход-выход” задано в виде матричной импульсной переходной функции Ф(t,τ). (Импульсная переходной функция, по определению, это преобразование, описывающее реакцию системы, когда на вход поступает дельта-функция.)

Пусть U(t) – l-мерный вектор входа фильтра, а - n-мерный вектор выхода. Тогда связь между векторами и Y(t) определена интегралом

Пусть Y(t) – действительный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией R_YY(t,  ). Обозначим норму произвольной квадратной матрицы B через ||B|| и определим её следующим образом: ,где tr(^.) – след, т.е. сумма диагональных элементов матрицы.

Пусть на вход многомерного фильтра поступает искаженный сигнал как сумма полезного сигнала M(t) и помехи N(t), т.е. ,

где M(t) и N(t) – l-мерные векторы с известными корреляционными функциями R_MM(t, ) и R_NN(t, ).

Предположим, что существует идеальный вход X(t) некоторой системы, который определяет желаемый выход и связан с полезным сигналом соотношением

,

где Ф_ИД(t,  ) – МИПФ идеальной системы.

Рассмотрим вектор ошибок .

Задача состоит в том, чтобы выбрать такую физическую реализуемую матричную ИПФ Ф^*(t,  ), чтобы математическое ожидание квадрата нормы ошибок было минимальным

,

где K(t,  ) = 0.

В зависимости от того, какая задача стоит: прогнозирование, фильтрации или сглаживания, определяется МИПФ идеальной системы. В задаче фильтрации X(t)=M(t), т.е. Ф_ИД(t, )=I* (t– ). При такой постановке задачи минимум среднеквадратической ошибки (2) определяется МИПФ Ф^*(t, ), получаемой из обобщенного уравнения Винера-Хопфа для многомерных систем [6].

Известно, что если на вход системы поступает случайный сигнал Y(t), являющийся стационарным, в широком смысле, случайным процессом, оптимальную матричную передаточную функцию W^*(s) многомерного фильтра можно получить факторизацией рациональной матрицы спектральных плоскостей.

В случае нестационарного случайного процесса решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода даже для скалярного случая представляет серьезные трудности, не говоря уже о векторном.

Р. Калман в своих работах модифицировал постановку задачи многомерной фильтрации Винера, придав ей форму проблемы пространства состояния.

В результате такой модификации был получен фильтр Калмана, осуществляющий процедуру рекурсивного оценивания, когда подлежащий оцениванию сигнал является входным сигналом линейной нестационарной динамической системы.

Пусть задана непрерывная модель объекта управления

с известными входами u и возмущениями по входам w и измерениям ν, которые являются "белым" шумом со следующими характеристиками:

Требуется выполнить синтез наблюдателя для оценивания вектора переменных состояния объекта, который минимизирует установившуюся ошибку оценивания .

Оптимальным решением является фильтр Калмана, описываемый уравнениями

где матрица коэффициентов обратных связей L определяется на основе решения алгебраического матричного уравнения.

Например, при Н = 0 дисперсия P определяется из уравнения

AP + PA^T - (PC^T +GN)R^-1(CP+N^TG^T) + GQG^T = 0.

При этом матрица L – L = APC^T(N+CPC^T)^-1.

Рис. 10.1. Наблюдатель Калмана

Наблюдатель (рис. 10.1) объединяет фильтр Калмана и объект управления; он использует известные входы u и результаты измерений y_v, искаженные случайными помехами, для того, чтобы вычислить оценки вектора переменных состояния и выходов .

10.2. Дискретный фильтр Калмана

Пусть задана дискретная модель объекта управления

с известными входами u и возмущениями по входам w и измерениям v, которые являются "белым" шумом со следующими характеристиками:

Требуется выполнить синтез наблюдателя для оценивания вектора переменных состояния объекта управления, который минимизирует установившуюся ошибку оценивания, .

Оптимальным решением является фильтр Калмана, описываемый уравнениями

;

где матрица коэффициентов обратных связей L и новая матрица коэффициентов обратных связей М определяются на основе решения матричного алгебраического уравнения.

Наблюдатель объединяет фильтр Калмана и объект управления; он использует известные входы u[n] и результаты измерений у_v[n], искаженные случайными помехами, для того, чтобы вычислить оценки вектора переменных состояния х[n] и выходов у[n].

Обновленная матрица коэффициентов обратных связей М применяется для того, чтобы уточнить предсказание х[n] на основе измерения у_v [n]

.

Рассмотрим дискретную модель вида

с гауссовым шумом w[n] по входу.

Задача заключается в том, чтобы спроектировать фильтр Калмана для оценки вектора выхода у[n] при условии, что известны вход u[n] и измерения выхода, замешанные с шумом w[n].

Определим матрицы описания системы стабилизации

a =

-333.33 0 -43.267

4.5746 -38.462 -12.219

0 200 0

b =

7333.3

0

0

c =

0 0 1

Уравнения стационарного дискретного фильтра Калмана для этой задачи определяются следующим образом:

где - оценка вектора х[n], полученная на основе измерений до включительно;

- обновленная оценка, полученная на основе измерений до включительно [7].

Данная текущая оценка позволяет предсказать значение состояния для следующей выборки (прогноз на один шаг вперед). Это предсказание затем корректируется новым измерением .

Возникает корректирующая функция, которая учитывает вклад нового измерения и которая определяется как разность между измеренным и предсказанным значением вектора выхода . Обновленная матрица усилений М выбирается так, чтобы минимизировать установившуюся дисперсию ошибки.

Добавим в уравнения системы дополнительный вход для сигнала шума

P =s s(a,[b b],c,[d d])

a =

x1 x2 x3

x1 -333.3 0 -43.27

x2 4.575 -38.46 -12.22

x3 0 200 0

b =

u1 u2

x1 7333 7333

x2 0 0

x3 0 0

c =

x1 x2 x3

y1 0 0 1

d =

u1 u2

y1 0 0

Изменим знак коэффициента передачи сигнала шума (u2), так как при поступлении по каналу обратной связи он должен быть отрицательным:

b(1,2)=-22/0.003

b =

7333.3 -7333.3

0 0

0 0

Приступим собственно к синтезу самого фильтра.

Kes t= kalman(P,1,785)

a =

x1_e x2_e x3_e

x1_e -333.3 0 -43.69

x2_e 4.575 -38.46 -12.23

x3_e 0 200 -2.46

b =

u1 y1

x1_e 7333 0.4263

x2_e 0 0.01513

x3_e 0 2.46

c =

x1_e x2_e x3_e

y1_e 0 0 1

x1_e 1 0 0

x2_e 0 1 0

x3_e 0 0 1

d =

u1 y1

y1_e 0 0

x1_e 0 0

x2_e 0 0

x3_e 0 0

Input groups:

Name Channels

KnownInput 1

Measurement 2

Output groups:

Name Channels

OutputEstimate 1

StateEstimate 2,3,4

Continuous-time model.

Оценим график переходного процесса измеренный и синтезированный с помощью фильтра Калмана

Рис. 10.2. Переходный процесс системы при наличии шума в канале обратной связи (а) и выходная переменная, синтезированная с помощью фильтра Калмана (б)

Таким образом, использование фильтра Калмана, в отличие от модельного регулятора, способно полностью исключить влияние случайных помех в канале обратной связи.

Подключив выход фильтра Калмана вместо сигнала обратной связи по скорости, получим следующий переходный процесс – рис. 10.3.

а)

б)

Рис. 10.3. Подключение фильтра Калмана а) и переходный процесс при его использовании б).

Как видно из структурной схемы системы с фильтром Калмана, сигнал обратной связи с наложенным шумом поступает на вход фильтра Калмана, а его выход используется в качестве сигнала обратной связи по скорости вращения.

При этом выходная характеристика в установившемся режиме имеет ровный характер, что и требовалось по заданию. Перспективный способ избавления от помех, который практически не влияет на быстродействие системы, однако для нашего задания не применим, так как программа регулятора не имеет возможности использовать информацию о задании и выходной координате системы.