Раздел 8. Методы проектирования автоматических систем

1. Виды коррекции

При исследовании различных технических автоматических систем (система автоматического управления перемещением, система автоматического регулирования скорости, напряжения, тока) приходится иметь дело с задачами синтеза.

Задача синтеза заключается в построении управляющего устройства, при котором исходная система удовлетворяла бы требованиям качества управления.

Возможны два способа постановки задачи синтеза:

исходя из заданных требований к системе, определить параметры управляющего устройства;

структура не задана и надо синтезировать управляющее устройство, обеспечивающие требования качества системы.

Целью коррекции динамических свойств автоматической системы является удовлетворение двух основных требований:

обеспечение устойчивости при любых режимах работы;

обеспечение заданных показателей качества переходных процессов.

Когда эти требования не могут быть выполнены простым изменением коэффициентов усиления или постоянных времени элементов системы, тогда эту задачу решают введением в систему корректирующих устройств.

При выборе схемы включения корректирующего устройства следует иметь в виду следующее:

последовательное включение дифференцирующего корректирующего устройства ведет к увеличению скорости воздействия на систему;

введение интегрирующего звена, делает автоматическую систему астатической.

Корректирующее устройство, как правило, включают после измерительного устройства.

На рис. 8.1 представлена структурная схема системы с последовательной коррекцией.

__

Рис. 8.1. Структурная схема системы с последовательной коррекцией

Для получения переходного процесса заданного вида, передаточная функция замкнутой системы будет выражена:

Wзад(р) = Wп(p) / [1+ Wп(p)],

где Wп(p) = W1(p)*W2(p)*W3(p)*Wк(p) – математическая модель элементов системы в прямой цепи с корректирующим устройством.

На рис. 8.2 представлена структурная схема системы с встречно-параллельной коррекцией или коррекция с помощью дополнительной обратной связи.

W_неохв W_охв

_ _

Рис. 8.2. Структурная схема системы с коррекцией с помощью дополнительной обратной связи

Передаточная функция нескорректированной замкнутой системы

Wзам1(p) = W₁(p)*W₂(p)*W₃(p) / [1 + W₁(p)* W₂(p)*W₃(p)].

Передаточная функция скорректированной замкнутой системы

Wзам2(p) = W₁(p)* W₂(p)*W₃(p) / [1 + W₂(p)*W₃(p)* W_ос(p) + + W₁(p)* W₂(p)*W₃(p) ].

Из сравнения передаточных функций исходной и скорректированной систем видно, что в этом случае существенно изменяется характеристическое уравнение системы и, следовательно, переходная характеристика системы.

8.2. Желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика и ее свойства

Рассмотрим выбор последовательного корректирующего устройства с использованием логарифмических частотных характеристик.

Структурная схема с последовательным корректирующим устройством для статической системы автоматического регулирования (САР) скорости с единичной ООС в составе пропорционального, апериодического 1-го порядка и колебательного типовых динамических звеньев изображена на рис.8.3.

Рис.8.3. Структурная схема статической системы автоматического регулирования скорости

При последовательной коррекции ЛАЧХ корректирующего устройства Lку(ω) определяется выбранной ЖЛАЧХ Lж(ω) и ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной системы Lнс(ω):

Lку(ω) = Lж(ω) – Lнс(ω).

Для выбора последовательного корректирующего устройства применяется построенная и выбранная асимптотическая желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЖЛАЧХ).

ЖЛАЧХ для статической и астатической систем состоит:

1 – низкочастотный;

2 – среднечастотный;

3 – высокочастотный;

4 – сопряжения.

Для статической системы низкочастотный участок 1 имеет наклон совпадающий с наклоном нескорректированной системы(0 дб./дек.) или наклон -20 дб/дек, а для астатической 1-го порядка – наклон -20 дб./дек. Среднечастотный участок 2 для статической или астатической систем имеет наклон -20дб./дек.

Высокочастотный участок 3 имеет наклон, совпадающий с наклоном ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной системы ( для нескорректированной статической системы на рис… наклон -60 дб./дек ).

Для сопряжения в ЖЛАЧХ среднечастотного участка 2 и слева низкочастотного участка 1, а справа высокочастотного участка 3 используются участки 4 сопряжения с наклоном -40дб./дек. или -60дб./дек.

Частота среза ЖЛАЧХ ωср определяется требуемым временем регулирования tp в скорректированной системе:

ωср = b*π / tp,

где b – коэффициент, определяющий требуемое перерегулирование по переходной характеристике.

На рис. 8.4 представлена выбранная асимптотическая и точная ЖЛАЧХ для статической системы.

Рис. 8.4. Асимптотическая и точная ЖЛАЧХ для статической системы

Структурная схема, реализующая ЖЛАЧХ, изображена на рис. 8.5. Структурная схема содержит типовые динамические звенья 1-го порядка.

Рис. 8.5. Структурная схема, реализующая ЖЛАЧХ

Длина среднечастотного участка lсч определяет перерегулирование σ переходной характеристики замкнутой структурной схемы.

При изменении длины среднечастотного участка 2, например от 2-х декад до 1-ой декады, перерегулирование σ изменяется в пределах (5-30)%. В этом случае изменяются постоянные Т2 и Т3.

При определении длины среднечастотного участка lсч для получения заданного времени регулирования tp ЖЛАЧХ смещают вдоль оси частот влево ( время регулирования увеличивается) или вправо (время регулирования уменьшается).

Коэффициент Ко увеличивается при уменьшении постоянных Т1,Т2,Т3,Т4 или уменьшается – при их увеличении.

При этом перерегулирование σ переходной характеристики структурной схемы для реализации ЖЛАЧХ не изменяется и соблюдается симметрия среднечастотного участка 2 относительно частоты среза ωср.

На рис. 8.6 представлены графические построения для получения ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства для выбранной ЖЛАЧХ и ЛАЧХ исходной нескорректированной системы.

Рис. 8.6. Графические построения для получения ЛАЧХ корректирующего устройства

Передаточная функция последовательного корректирующего устройства в составе типовых динамических звеньев 1-го порядка запишется

Wку(p)=Кку*1/(T1*p+1)*1/(T1*p+1)*(Ty*p+1)*(T2*p+1)*(T*p+1)*(T*p+1)*1/(T3*p+1) *1/(T4*p+1),

где Т1, Т2, Т3, Т4 – постоянные времени структурной схемы реализации ЖЛАЧХ; Ту, Т – постоянные времени апериодического 1-го порядка и колебательного типовых звеньев структурной схемы нескорректированной системы; Кку – коэффициент передачи корректирующего устройства.

Коэффициент передачи корректирующего устройства определяется

Кку = Ко/Кнс,

где Ко – коэффициент передачи разомкнутой структурной схемы ЖЛАЧХ; Кнс – коэффициент передачи разомкнутой структурной схемы нескорректированной системы.

8.3. Метод корневого годографа

Для выбора последовательного корректирующего устройства применяется так же метод корневого годографа.

Метод корневого годографа использует графики движения корней для определения передаточной функции корректирующего звена. Годографы эти легко строятся с помощью компьютера.

На рис. 8.7 представлен годограф автоматической системы с характеристическим уравнением 3-го порядка при уменьшении коэффициента передачи разомкнутой системы К от значения К1 до значения К6, что соответствует изменению переходного процесса замкнутой системы от колебательного до апериодического 2-го порядка.

Направление стрелки указывают на направление смещения комплексных и действительного корней характеристического уравнения.

Рис. 8.7. Годограф автоматической системы

Для исследования влияния корней дифференциального уравнения на параметры качества регулирования системы необходимо отталкиваться от следующих рассуждений:

технические системы, как правило, состоят из апериодических звеньев 1-го порядка;

получать системы высшего (чем первый) порядка можно сочетая апериодические звенья 1-го порядка.

на вид переходной характеристики можно влиять изменением корней.

Выбирая время регулирования переходного процесса, то есть первую постоянную времени, необходимо учитывать то, что эта постоянная находится в разомкнутой системе, а получаем переходную характеристику уже для замкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой простейшей автоматической системы в этом случае определяется

W_раз = 1 / (T*s +1).

В этом случае передаточная функция замкнутой автоматической системы с единичной отрицательной обратной связью определяется

W_зам = W_раз/(1+ W_раз) = 1/(T*s +2).

Таким образом, разомкнутую систему, состоящую из апериодических типовых динамических звеньев 1-го порядка, можно представить передаточной функцией вида

,

где n – порядок дифференциального уравнения.

Для таких технических систем можно определить следующие правила:

так как для устойчивости системы необходимо наличие отрицательных корней, диапазон работы на комплексной плоскости будет от минус бесконечности до нуля, который в свою очередь разобьется на два поддиапазона: от минус бесконечности до минус единицы и от минус единицы до нуля, постольку, чем больше модуль корня, тем меньше постоянная времени;

чем дальше корни от начала координат комплексной плоскости, тем быстрее протекает переходной процесс;

чем ближе кори расположены друг к другу, тем большее перерегулирование имеет переходная характеристика, причем в данном случае необходимо учитывать то, что максимальное перерегулирование будет тогда, когда корни будут одинаковыми.

Для исследования и синтеза систем автоматического управления методом корневого годографа в системе Matlab служит функция rltool.

В составе пакета прикладных программ Control System Toolbox программы Matlab имеется удобный инструмент для выбора параметров регуляторов (последовательных корректирующих устройств) путем построения корневого годографа замкнутой системы автоматического регулирования.

Данный метод применим для линейных непрерывных и дис­кретных систем. Структура анализируемой модели может быть произвольной.

В рассматриваемых автоматических системах регулирования скорости, в нашем случае, регулятор скорости находится в прямом канале автоматической системы, обратная связь – отрицательная, как показано на рис. 8.8.

Рис. 8.8. Модель для построения корневого годографа:

r, u, y – задающее, управляющее воздействия и регулируемая величина;

du – внешнее возмущение;

G – объект регулирования;

H – датчик обратной связи;

F – предварительный фильтр; если такового на самом деле нет, его удобно представить как пропорциональное звено для масштабирования значе­ний выходной величины на переходной характеристике;

C – компенсатор, настройкой которого обеспечивается заданное каче­ство регулирования.

Для системы автоматического регулирования скорости передаточная функция компенсатора подбира­ется в виде:

Wк(p) = K *(s – z1) / (s – p1),

где K – коэффициент усиления, по вариациям которого строится корне­вой годограф; z1– нуль компенсатора; р1 – полюс компенсатора.

Объектом регулирования G в этом случае является разомкнутая часть автоматической системы: предварительный усилитель, усилитель мощности, двигатель.

Размещая на плоскости распределения корней системы нуль и полюс, можно подобрать требуемый переходной процесс системы с заданными параметрами качества.

8.4. Метод стандартных переходных процессов

Синтез систем автоматического управления (САУ) полагает получение заданных показателей качества регулирования, определяемых прямыми способами по переходной характеристике или косвенными способами – по частотным характеристикам

Рассмотрим САУ с единичной обратной отрицательной связью (ООС) и передаточной функцией разомкнутой системы, записанной в виде полиномов числителя и знаменателя. Коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы входят в состав характеристического уравнения замкнутой системы. Значение коэффициентов характеристического уравнения САУ определяет вид ее переходной характеристики. Для получения необходимых значений коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы можно воспользоваться стандартными пере­ходными характеристиками.

Для большей общности эти характеристики строятся в нормированном виде. В этом случае по оси времени отклады­вается относительное время , где — среднегеометрический корень характеристического уравнения, определяющий быстродействие системы. При построении стандартных переходных характеристик необходимо задаться определенным распределением корней характеристического уравнения. Однако стандарт­ные переходные характеристики можно сравнительно просто построить для любого другого расположения корней, в том числе и для комплексных корней.

Предлагается, например, такое решение. Пусть характеристи­ческое уравнение записано в виде

,

где — среднегеометрический корень.

Если принять все корни равными и вещественными, то это характери­стическое уравнение приобретает вид

.

В этом случае безразмерные коэффициенты являются коэффициентами бинома Ньютона.

Однако переходный процесс затухает быстрее, если характеристическое уравнение при четном имеет вид

при нечетном

причем безразмерный параметр затухания = 0.7 – 0.8.

В табл. 8.1 для случая = 0,75 приведены значения безразмерных коэффициентов .

Причем и , для степени характеристического уравнения от 2 до 6.

Таблица 8.1

Значения безразмерных коэффициентов

2	1,5
3	2,5	2,5
4	3	4,25	3
5	4	7,25	7,25	4
6	4,5	9,25	12,375	9,25	4,5

Переходный процесс затухает еще быстрее, если принять некратное распределение комплексных корней. В этом случае все корни имеют одинаковую вещественную часть . Мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностью и первым членом также . Для каждой степени характеристического уравнения существует некоторое оптимальное соотношение , которому соответствует наибольшее быстродействие в безразмерном времени. Безразмерные коэффициенты характеристического уравнения для этого случая приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Значения безразмерных коэффициентов для случая некратного распределения корней

2	1	1.38
3	1.45	2.05	2.39
4	0.79	2.6	3.8	2.8
5	1.5	2.5	5.3	5.46	3.64
6	0.64	3.73	8.0	10.3	8.56	4.18
7	1,5	2,76	8,12	11,74	14,35	11,5	4,86
8	0,57	4,65	9,42	22,7	28,4	24,3	15,0	5,45

При наличии нулей у передаточной функции замкнутой системы принятые в табл. 8.2 распределения корней оказываются неудачными, вследствие появле­ния большого перерегулирования.

В реальных технических системах перерегулирование достигает значения σ = (20-30)%, а в некоторых системах переходная характеристика должна соответствовать типовому переходному процессу с перерегулированием σ = (4-5)%.

В этом случае оказывается более выгод­ным использование расположения корней характеристического уравнения на вещественной оси по арифмети­ческой прогрессии.

По полученным коэффициентам характеристического уравнения можно определить требуемые корни характеристического уравнения.

8.5. Векторно – матричные уравнения систем

Наряду с классической теорией автоматического управления, использующей аппарат передаточных функций и частотных функций и характеристик, теория автоматического управления включает обширный теоретический раздел, главной особенностью которого является рассмотрение систем преимущественно во временной области на основе понятия пространства состояний.

В этом случае математическим описанием элементов и систем при моделировании являются уравнения состояний или векторно-матричное уравнение.

Для автоматических систем с большим числом переменных состояния запись уравнений состояний в общем виде может быть сделана компактной, если представить их в векторно-матричной форме.

При этом уравнения автоиатической системы в векторно-матричной форме принимают вид

d x(t) /dt = A(t)*x(t) + B(t)*u(t)

y(t) = C(t)*x(t) + D(t)*u(t).

А(t) – матрица размера n x n (квадратная матрица n-го порядка), называемая матрицей системы. Она характеризует динамические свойства системы;

В(t) – прямоугольная n x r матрица, называемая матрицей управления. Она характеризует воздействие входных переменных u_j на переменные состояния x_i;

С(t) – m x n матрица измерения. Она характеризует связь выходных координат y_k (как правило, это измеряемые переменные) с переменными состояния x_i;

D(t) – m x r матрица. Она характеризует непосредственное воздействие входов и_j на выходы у_k. В электромеханических системах управления чаще всего D(t) = 0.

Если элементы матриц А, В, С и D не зависят от времени, то система стационарна, и уравнения в переменных состояния приобретают вид:

dx/dt = A*x + B*u

y = C*x + D*u.

Для перехода от представления математической модели элемента или системы в виде передаточных функций к модели пространства состояний в пакете программы Matlab применяется оператор преобразования SS.

При преобразовании структурной схемы, состоящей из типовых динамических звеньев, следует использовать SS преобразования для каждого типового динамического звена.

Так апериодическое звено может быть преобразовано следующим образом:

W(s) = .

На рис. 8.9 представлена структурная схема, реализующая преобразованное апериодическое звено.

Рис. 8.9. Преобразованное апериодическое звено

Для этой структурной схемы может быть получена система уравнений пространства состояний (векторно-матричное уравнение) со следующими параметрами:

При получении уравнений пространства состояний типового динамического звена 2-го порядка (например, двигателя постоянного тока с возбуждением от постоянных магнитов ) воспользуемся следующими преобразованиями:

Wпд(s) = Кд/(Тм*Тя*s² + Тм*s + 1) = (1/Тм*s)*[1/(Тя*s + 1)]/

/[1 + (1/Тм*s)*[1/(Тя*s + 1)]].

Структурная схема, реализующая полученную передаточную функцию типового звена 2-го порядка (на примере передаточной функции двигателя постоянного тока) с учетом преобразования апериодического типового динамического звена 1-го порядка и переноса элемента структурной схемы через сумматор против направления передачи сигнала, изображена на рис. 8.10.

Рис. 8.10. Структурная схема типового динамического звена 2-го порядка

Уравнения структурной схемы, связывающие значения dx/dt и значения x, запишутся в виде

dx2/dt = – 1/Tэ *х2 – 1/Тэ*Тм*х1 + Кпд/Тэ*Тм*u

dx1/dt = х2

у = х1.

Матрицы уравнения состояний типового динамического звена 2-го порядка определяются выражениями

х1 х2 u

dx1/dt 0 1 dx1/dt 0

А = В =

dx2/dt –1/ТяТм –1/Тя , dx2/dt Кд/ТяТм ,

х1 х2

С = у 1 0 , D = 0

Структурная схема, составленная из типовых динамических звеньев, преобразуется в структурную схему с доступом к переменным состояний, используя эти преобразования типовых динамических звеньев.

На рис. 8.11 представлена структурная схема системы с доступом к переменным состояний, состоящая из преобразованных двух апериодических типовых звеньев 1-го порядка.

Рис. 8.11. Структурная схема автоматической системы с доступом к переменным состояний

Из структурной схемы системы с доступом к переменным состояний записываются уравнения, связывающие составляющие вектора состояний х1, х2 и dx1/dt, dx2/dt.

dx2/dt = – 1/T1*х2 – К1/Т1*х1 + К1/Т1*u

dx1/dt = К2/Т2*х2 – 1/Т2*х1

у = х1.

Матрицы уравнения состояний системы определяются выражениями

х1 х2 u

dx1/dt –1/Т2 К2/Т2 dx1/dt 0

А = В =

dx2/dt –К1/Т1 –1/Т1 , dx2/dt К1/Т1 ,

х1 х2

С = у 1 0 , D = 0

Матрица А размером 2х2, В – матрица столбец длиной n=2 , С – матрица строка длиной n = 2, матрица D = 0.

8.6. Структурная схема автоматической системы с модальным регулятором

Известно, что динамические свойства технической системы определяются, главным образом, ее полюсами, т.е. корнями ее характеристического уравнения, или собственными числами матрицы А.

Так, необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является нахождение ее полюсов в левой полуплоскости комплексных чисел.

От взаимного расположе­ния этих полюсов и зависит характер переходных процессов в системе.

Исходная нескорректированная линейная стационарная техническая система описывается уравнением состояния:

dх/dt = А*х + В*u.

Желаемое расположение полюсов р передаточной функции на комплексной плоскости может быть обеспечено введением так называемой линейной обратной связи по состоянию, уравнение которой можно записать следующим образом:

U = V – К*х,

где V – это новое обозначение вектора входных (задающих) воздействий; К – матрица обратной связи.

Если V – скаляры, то К является матрицей-строкой, элементы которой представляют собой коэффициенты обратных связей по всем составляющим вектора х.

Исходная система и линейная обратная связь по состоянию образуют замкнутую техническую систему, то есть автоматическую систему (систему автоматического управления или систему автоматического регулирования) с так называемым модальным регулятором, что представлено на рис. 8.12.

Рис. 8.12. Автоматическая система с модальным регулятором

Уравнение замкнутой системы получается объединением выше приведенных уравнений и представляется выражением

dх/dt = Ах + В(V – К*х) = А*х + ВV – В*К*х,

Окончательно получим уравнение состояний системы с модальным регулятором

dх/dt = ( А – В*К )*х + В*V.

В то время как динамические свойства объекта ( технической системы) определяются матрицей А, динамические свойства полученной замкнутой технической системы определяются матрицей Ã = А – В*К, которая определяется

–1/Т2 К2/Т2 0

à = – * К11 К12 =

–К1/Т1 –1/Т1 К1/Т2

–1/Т2 К2/Т2

= .

–К1/Т1(1 + К11) –1/Т1(1 + К12)

Задача проектирования состоит в нахождении такой матрицы коэффициентов обратных связей К, чтобы замкнутая с помощью обратной связи по состоянию система имела желаемое распределение полюсов, что определяет заданные параметры качества регулирования переходной характеристики технической системы.

Эта задача получила название задачи модаль­ного управления, в связи с чем линейная обратная связь по состоя­нию, представляющая собой безинерционный регуля­тор в цепи обратной связи, называется модальным регулятором.

Известно, что колебательный и апериодический 2-го порядка переходной процессы можно получить, используя передаточную функцию типового динамического звена 2-го порядка.

Представим типовое динамическое звено 2-го порядка в виде ( в среде Matlab переменная s )

W(p) = k*ω²o/(s² + 2*Do*ωo*s + ω²o),

где k – коэффициент передачи; ωo = 1/To – собственная часто-та; To – постоянная времени; Do – коэффициент демпфирования.

При условии тождества характеристического уравнения динамического звена и характеристического уравнения системы с модальным регулятором имеем равенство

s +1/Т2 –К2/Т2

det (s-1– Ã ) = = a(s),

К1/Т1(1 + К11) s +1/Т1(1 + К12)

где a(s) – знаменатель передаточной функции звена.

Раскрывая определитель и приравнивая коэффициенты с одинаковыми степенями s, получаем алгебраические уравнения, из которых находятся коэффициенты К11 и К12.

В системе с таким модальным регулятором параметры качества регулирования переходной характеристики (tр и σ) аналогичны параметрам качества динамического звена.

Для получения матрицы коэффициентов обратных связей в сис­теме программы Matlab используются функции асker (одномерная система) и р1асе (многомерная система) в виде

>>К = асker (А, В, р),

>>К = р1асе(А, В, р).

Эти функции рассчитывают матрицу К коэффициентов обратных связей таких, что система в замкнутом состоянии при u = -Кх имеет полюсы, определяемые вектором р.

В этом случае, собственные значения матрицы [А–В*К] замкнутой системы, должны быть равны элементам вектора р с точностью до порядка следования.

8.7. Моделирование автоматической системы в среде Matlab

8.7.1. Автоматическая система с модальным регулятором

На рис. 8.13 представлена структурная схема двухконтурной автоматической системы с доступом к переменным состояний.

В соответствии с вышеприведённой теорией для описания элементов системы в виде уравнений состояний существующие типовые динамические звенья (апериодическое первого порядка и типовое динамическое звено второго порядка) представлены соответствующей структурной схемой.

Переменными состояний являются следующие сигналы:

Переменная состояний Х1 =У;

Переменная состояний Х2 = dХ1/dt;

Переменная состояний Х3 = dХ2/dt.

Переменная состояний Х4 = dХ3/dt.

Переменная состояния Х1 = У является угловым перемещением φвр, переменная состояний Х2 = dХ1/dt является скоростью вращения ω_вр, переменная состояний Х3 = dХ2/dt является током якоря двигателя Iн, переменная Х4 = dХ3/dt является напряжением усилителя мощности Uн.

Коррекция в пространстве состояний автоматической системы осуществляется в следующей последовательности.

На первом этапе исследуется структурная схема системы без модального регулятора ( выход модального регулятора отключен от входа системы) и определяются корни характеристического уравнения системы.

На втором этапе выбирается требуемые корни характеристического уравнения системы в соответствии с заданными показателями качества регулирования.

На третьем этапе формируются коэффициенты передач модального регулятора по переменным состояний Х1, Х2, Х3, Х4.

На четвёртом этапе в структурную схему вводится модальный регулятор с выбранными коэффициентами передач и исследуется переходная характеристика выходного сигнала системы.

На пятом этапе исследуются переходные характеристики по всем переменным состояний.

Путём неоднократного изменения корней характеристического уравнения системы осуществляется повтор всех этапов исследования до тех пор, пока не будут достигнуты показатели качества регулирования по переходной характеристике для всех переменных состояний Х1, Х2, Х3, Х4.

Чаще всего исследуются показатели качества по переменной Х1.

Для исследований используется в рабочей области MATLAB следующая последовательность команд:

»[a,b,c,d] =linmod(‘имя файла’)

»h=ss(a,b,c,d)

»step(h).

В этом случае выводится переходная характеристика системы без модального регулятора.

При задании команды:

»pole(h)

выводятся значения корней характеристического уравнения четвертого порядка.

При задании команды:

»p=[s1 s2 s3 s4]

формируются требуемые корни характеристического уравнения.

Корни s1 s2 s3 s4 подбираются с учётом корней характеристического уравнения исходной системы.

При задании команды:

»acker(a,b,p)

формируются значения коэффициентов К1, К2, К3, К4 усилителей, входящих в состав модального регулятора.

При подключении модального регулятора с полученными коэффициентами выводится переходная характеристика.

Особенностью исследования при задании структурных схем в области Simulink является то, что при исследовании системы в рабочей области Matlab матрицы А, В, С и D не соответствуют матрицам исходной системы.

В этом случае исследования автоматической системы проводится в рабочей области Matlab , а структурная схема системы с доступом к переменным состояний используется для определения уравнения системы в матрично-векторной форме.

Задаются матрицы исходной системы

»A=[0 Kp 0 0;0 0 1 0;0 -1/(Tm*Ta) -1/(Ta) Kd/(Tm*Ta); 220*Kpu*Krs*Ky/Ty -Kds*Krs*Ky/Ty 0 -1/Ty]

»B=[0;0;0;220*Kpu*Krs*Ky/Ty]

»C=[1 0 0 0];D=[0].

Просматривается переходной процесс

»h=ss(A,B,C,D).

Просматриваются корни системы

»pole(h).

Выбираются требуемые корни системы в соответствии с параметрами переходного процесса

»p=[s11 s22 s33 s44].

Формируется матрица корней модального регулятора

»K=acker(a,b,p).

Определяется приращение матрицы системы при подключении модального регулятора к системе

»dA=[0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0;-220*K*Kpu*Krs*Ky/Ty]

»A1=A+dA

»B1=B

»C1=[1 0 0 0]

»D1=[0]

Определяется матрица системы с модальным регулятором и просматривается переходная характеристика

»sys = ss(A1,B1,C1,D1);

»sys1 = augstate(sys);

»step(sys1)

8.7.2. Автоматическая система с последовательным корректирующим устройством

Для получения параметров качества регулирования автоматической системы по переходной характеристике используется последовательное корректирующее устройство.

Последовательное корректирующее устройство может быть реализовано в виде форсирующего и апериодического первого порядка типовых динамических звеньев.

Передаточная функция требуемого корректирующего устройства в среде Matlab определяется двумя выражениями.

Передаточная функция в tf –форме

Wку(p) = (T1*p+1) / (T2*p+1),

где Т1,Т2 – постоянные времени типовых динамических звеньев.

Передаточная функция в zpk – форме

H(s) = (s-z1) / (s-p1),

где z1 = -1/Т1, p1 = - 1/Т2 – нуль и полюс передаточной функции/

Для этих целей используется метод корневого годографа.

В рабочей области среды Matlab задаются следующие операторы при разомкнутой обратной связи схемы моделирования проектируемой системы:

>> [a,b,c,d]=linmod('tt')

>> h=ss(a,b,c,d)

>>G=f(h)

>>H=tf(Kдс)

>>c=tf(1)

>>f=tf(1)

Вызов структурной схемы для построения корневого годографа определяется оператором

>>rltool.

Выбор корректирующего устройства, которое обеспечит заданный переходной процесс замкнутой системы, проводится методом размещения нулей и полюсов передаточной функции требуемого корректирующего устройства на плоскость распределения корней этой системы.

В этом случае в среде Matlab одновременно вызываются окна, изображающие:

распределение корней замкнутой системы на плоскости,

ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

переходную характеристику замкнутой системы.

Размещение полюсов и нулей осуществляется или на комплексную плоскость распределения корней или на ЛАЧХ разомкнутой системы.

Наиболее наглядно использовать размещение нулей и полюсов на ЛАЧХ разомкнутой системы.

Введение в передаточную функцию системы нуля увеличивает перерегулирование по переходной характеристике замкнутой системы.

Смещение нуля по оси частот изменяет и время регулирования.

Введение в передаточную функцию системы полюса уменьшает перерегулирование и увеличивает время регулирования.

Размещая поочередно нуль и полюс, например на ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой системы или на плоскость распределения корней замкнутой системы при одновременном просмотре переходной характеристики замкнутой системы можно подобрать такое соотношение их параметров, которое обеспечит заданные параметры качества регулирования замкнутой системы по переходной характеристике.