Раздел 12. Нелинейные системы

12.1. Типовые нелинейности

Реальные технические автоматические системы описываются нелинейными уравнениями, то есть являются нелинейными автоматическими системами (НАС).

Для построении структурных схем НАС используются нелинейные элементы (НЭ)– типовые нелинейности.

При составлении структурной схемы в автоматической системе выделяется основная нелинейность, описываемая нелинейным дифференциальным уравнением с математической моделью Wнэ, а остальные технические элементы составляют линейную часть системы в виде математической модели Wлч – рис. 12.1.

Рис. 12.1. Структурная схема нелинейной автоматической схемы

В этом случае, типовые нелинейности для нелинейных систем, аналогичны использованию типовых динамических звеньев для линейных систем. Основные типовые нелинейности представлены в табл.12.1.

Нелинейности, наблюдаемые в реальных технических системах, являются либо физическим свойствами (люфт в кинематической схеме, насыщение в усилителе мощности, зона нечувствительности датчика обратной связи), либо специально в водятся в схему системы для придания желаемых показателей качества регулирования переходной характеристике (нелинейное корректирующее устройство, релейный регулятор ).

Таблица 12.1

Типовые нелинейности

Название	Типовая нелинейность	Уравнение
Идеальное реле		С при х > 0 У= -С при х< 0
Мертвая зона		к*х-к*b х >b У= 0 x<|b | к*х-к*b х<-b
Насыщение		С х >b У= к*x x<|b | -С х<-b
Реле с гистерезисом	У С -b b Х -С Relay	к*( х - с ) dх/dt >0 У= C х >b к*(x +c ) dх/dt <0 -C х<-b
Люфт	У С -С Backlash	к*( х – с ) dх/dt >0 У= к*( x +c ) dх/dt <0

В табл. 12.1принято обозначение к = tgβ

Для анализа НАС используются упрощенные методы, основанные на линеаризации характеристик нелинейных элементов- метод гармонической линеаризации.

Если на вход НЭ подан гармонический входной сигнал X(t), то на выходе – нелинейный выходной сигнал У(t), что представлено на рис. 12.2.

Рис. 12.2. Входной и выходной сигналы НЭ

При разложении выходного сигнала У(t) НЭ в ряд Фурье учитывают следующее:

высшие гармоники при прохождении через элементы НАС фильтруются ее ЛЧ;

выходной сигнал НАС У(t) является симметричной функцией.

В этом случае при использовании метода гармонической линеаризации выходной сигнал НЭ для гармонического входного сигнала представится выражением

У(t) = А*[g(A)*sinωt + g1(A)*cosωt)].

При дифференцировании выражения гармонического входного сигнала X(t) = А*sinωt для НЭ вводим обозначение dX(t)/dt = A*ω*cosωt и получим уравнение звена, заменяющего уравнение НЭ

У(t) = g(A)*X(t) + [g1(A)/ω ]* dX(t)/dt,

где g(A) и g1(A) – коэффициенты гармонической линеаризации.

Коэффициенты гармонической линеаризации для двух типов нелинейностей приведены в табл. 12.2.

Коэффициенты гармонической линеаризации двух типов нелинейностей

Таблица 12.2

Название	Коэффициент g(A)	Коэффициент g1(A)
Идеальное Реле	4*С/π*A	0
Реле с гистерезисом	[4*С/π*A]*√1 –b²/A²	-4*С*b/π*A²

Для НЭ вводятся понятия эквивалентной передаточной функции

W(A) = g(A) + jg1(A).

Для НЭ вводится понятие модуля эквивалентной передаточной функции

| W(A) | = J(А) = √ g²(A) + g1²(A).

Для НЭ вводится понятие фазы эквивалентной передаточной функции

φ(А) = arctg [g(A)/g1(A)].

Модуль и фаза эквивалентной передаточной функции W(A) для НЭ являются функциями амплитуды входного гармонического сигнала.

При составлении структурной схемы НАС нелинейный элемент может быть установлен как в прямой цепи, так и в обратной цепи схемы НАС, при этом характеристическое уравнение остается одинаковым 1 + Wлч(р)*Wнэ(A) = 0.

12.2. Анализ устойчивости

Так же как для линейной системы при анализе устойчивости НАС можно использовать частотные, временные или алгебраические критерии устойчивости.

При анализе устойчивости НАС учитывают, что в зависимости от ее структурной схемы и параметров входного сигнала возможны следующие режимы:

возникают колебания выходного сигнала с заданной амплитудой Ак и заданной частотой ωк;

отсутствуют колебания выходного сигнала, то есть Ак=0 или частота ωк=0.

Пусть ЛЧ НАС представляется передаточной функцией

W(p) = Краз*1/p*1/[(T1*p+1)(T2*p+1)],

где Краз – коэффициент передачи разомкнутой ЛЧ системы; Т1, Т2 – постоянные времени типовых динамических звеньев.

Характеристическое уравнение НАС с единичной ООС определяется выражением

p*(T1*p+1)*(T2*p+1) +Wнэ(А) *Краз = 0

Переходя к операционной форме записи характеристического уравнения НАС при замене p=s=jω, выделим действительную часть X(ω,A) и мнимую часть Y(ω,A) комплексной частотной функции W(jω)

X(ω, A) = Краз*Wнэ(А) – (T1 + T2)*ω² = 0

Y(ω, A) = -T1*T2*ω + ω.=0

Решая совместно приведенные выше уравнения относительно амплитуды Ак и частоты ωк, при заданной эквивалентной передаточной функции Wнэ(А), возможно определение наличия или отсутствия колебаний в НАС.