Раздел 6. Точность автоматических систем

6.1. Точность автоматических систем при медленно изменяющемся входном сигнале

При проектировании любой системы автоматического управления (САУ) к ней предъявляются, наряду с такими требованиями к качеству регулирования как время регулирования и перерегулирование, требования к точности воспроизведения задающего (входного) воздействия (сигнала).

Точность в теории управления оценивается величиной обратной ошибкой ε.

Выражение ошибки технической системы при любом медленно изменяющемся входном сигнале определяется по выражению

ε(t) = Со*x(t) + C1*dx(t) /dt + C2/2*d² x(t) /dt² +… ,

где ε(t) – ошибка системы; x(t) – задающий (входной) сигнал; Со – коэффициент позиционной или статической ошибки; С1 – коэффициент скоростной ошибки; С2 – коэффициент ошибки по ускорению.

Для определения коэффициентов ошибок необходимо использовать ММ систем с выходным сигналом ошибки.

В статических системах коэффициент Со отличен от нуля.

В системах с астатизмом первого порядка Со = 0, С₁ не равно нулю. В системах с астатизмом второго порядка Со = 0, С₁ = 0, С₂ не равно нулю.

Для исследования составляюших ошибки системы используются типовые входные сигналы.

Независимо от структурной схемы при различных типовых входных сигналах ошибка определяется по следующим формулам.

Ступенчатый входной сигнал x(t) = 1(t) позволяет наблюдать позиционную ошибку

ε(t) = Со*1(t).

Линейный входной сигнал x(t) = k*t позволяет наблюдать позиционную и скоростную ошибки

ε(t) = Со*k*t + C1*k.

Нелинейный входной сигнал x(t) = k*t²/2 позволяет наблюдать позиционную, скоростную и ошибку по ускорению

ε(t) = Со*k*t²/2 + C1*k*t + C2/2*k.

6.2. Определение ошибок статических и астатических автоматических систем

Коэффициенты ошибок Со, С1, С2 определяются из передаточной функции структурной схемы системы с выходным сигналом ошибкой. Для определения коэффициентов ошибок используются структурные схемы с выходным сигналом ошибкой ε(p).

Коэффициент статической ошибки Со определяется передаточной функцией структурной схемы с выходным сигналом ошибкой

Со = Wε(p) = 1 / 1 + W1*W2*W3*W4*W5,

где W1,W2,W3,W4,W5 – передаточные функции элементов системы.

При определении 1-й и 2-й производных Wε(p) вычисляются коэффициенты С1 и С2.

Коэффициент позиционной статической системы определяется:

Со = | Wε (p) |p=0 = 1 / (1 + Краз).

Коэффициент позиционной ошибки астатической 1-го порядка системы определяется:

Со = | Wε (p) |p=0 = 0.

На рис. 6.1 – 6.2 представлены переходные процессы по ошибке 1 – статической и 2 – астатической 1-го порядка систем при единичном ступенчатом входном сигнале и линейном входном сигнале соответственно.

Рис. 6.1. Переходные процессы по ошибке статической и астатической 1-го порядка систем при единичном ступенчатом входном сигнале

Рис. 6.2. Переходные процессы по ошибке статической и астатической 1-го порядка систем при линейном входном сигнале

6.3. Методы уменьшения составляющих ошибок

В технической системе, в зависимости от ее назначения и структурной схемы, добиваются уменьшения составляющих ошибки. Для этого используются следующие методы:

увеличение коэффициента передачи регулятора;

применение И - регуляторов;

изменение коэффициента передачи в цепи ОС.

Увеличение коэффициента передачи регулятора скорости (соответственно коэффициента передачи системы) уменьшает все составляющие ошибки.

Однако при увеличении коэффициента передачи Краз изменяется вид переходной характеристики системы и при значительном увеличении значения Краз нарушается работоспособность системы и переходная характеристика имеет незатухающие колебания.

Применение интегральных регуляторов вида И-регулятор и ПИ-регулятор изменяет порядок характеристического уравнения системы.

Изменение коэффициента передачи в цепи ОС статической системы (в системе существует позиционная ошибка) позволяет уменьшить одну составляющую ошибки – позиционную в статической системе. Этот способ называется масштабированием в цепи ОС.

Рассмотрим масштабирование для структурной схемы САР скорости в установившемся режиме, представленной регулятором скорости Крс, системой управления Ксу, двигателем с ПФ Wд(p) и датчиком скорости Кдс – рис. 6.3.

X Y

_

Рис. 6.3. Схема системы в установившемся режиме

Коэффициент передачи САР скорости Ко определяется:

Ко = Кпр / (1 + Кпр*Кдсо),

где Кпр = Крс*Ксу*Кд*Кдсо – коэффициент передачи элементов системы; Кдсо – требуемый коэффициент передачи элемента (датчика скорости) в цепи ОС.

Выходной сигнал в установившемся режиме Ууст при постоянном входном сигнале Хуст определяется

Ууст = Ко*Хуст.

Для обеспечения равенства входа и выхода необходимо иметь коэффициент передачи Ко = 1. Ошибка (позиционная) в этом случае определяется

ε = |Хуст – Ууст| = 0.

Отсюда из выше представленной формулы получаем новое значение коэффициента передачи в цепи ОС

Кдсо = 1 – 1/ Кпр = 1 – 1 / Крс*Ксу*Кд.

В структурной схеме САР скорости в цепи ОС устанавливается элемент с коэффициентом передачи

Кдоп = Кдсо / Кдс.

П ри Кдоп < 1 применяется схема подключения датчика, представленная на рис. 6.4.

Рис. 6.4. Схема подключения датчика

Полученный коэффициент Кдоп элемента, установленного дополнительно в цепь ООС статической системы, рассчитывается

Кдоп = R2 / (R1+R2).

Для статической системы зависимость установившееся значения позиционной ошибки εуст1=1/(1+Краз) при изменении Крег от 0 до ∞ и входном сигнале x(t) = 1(t) представлена на рис. 6.5.

Для астатической системы зависимость установившееся значения скоростной ошибки εуст2 = 1/Краз при изменении Крег от 0 до ∞ и входном сигнале x(t) = К*t представлена на рис. 6.6.

Необходимо учитывать, что увеличение коэффициента передачи разомкнутой системы Краз (при моделировании изменяемым коэффициентом передачи структурной схемы системы является коэффициент передачи регулятора Крег ) увеличивает перерегулирование переходной характеристики замкнутой системы.

Поэтому использование масштабирования в цепи ООС статической технической системы ухудшает вид и параметры переходного процесса.