Раздел 4. Частотные функции

И ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТЫХ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

4.1. Амплитудно-фазовые частотные функции и характеристики

Амплитудно-фазовые частотные функции (комплексные частотные функции) разомкнутых структурных схем статических или астатических 1-го порядка автоматических систем представляются последовательным соединением позиционных или позиционных и интегрирующего ТДЗ:

Wраз(jω) = Краз*1/(1 + jωT1)* 1/(1 + jωT2)* …..*1/(1 + jωTn)

Wраз(jω) = Краз/S*1/(1 + jωT1)* 1/(1 + jωT2)* ….*1/(1 + jωTn)

А мплитудно-фазовая частотная характеристика статической разомкнутой системы в составе 4-х апериодических 1-го порядка звеньев и астатической 1-го порядка разомкнутой системы в составе 3-х апериодических 1-го порядка и одного интегрирующего звеньев этом случае при изменении частоты ω от 0 до ∞ представляются двумя видами – рис. 4.1 и рис. 4.2.

Рис.4.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой статической системы

Рис. 4.2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой астатической 1-го порядка системы

4.2. Амплитудные и фазовые частотные функции и характеристики

Амплитудные и фазовые частотные функции могут быть получены из комплексной частотной функции.

Комплексная частотная функция записывается в виде

Wраз(jω) = A(ω)*еjφ(ω) = U(ω) + V(ω),

где A(ω) – амплитудная частотная функция или длина вектора амплитудно-фазовой частотной характеристики; φ(ω) – фазовая частотная функция или угол между вектором A(ω) на комплексной плоскости и действительной ость u(ω); U(ω),V(ω) - проекции вектора A(ω).

Амплитудная частотная характеристика статической разомкнутой системы в составе позиционных звеньев и астатической 1-го порядка разомкнутой системы в составе позиционных и одного интегрирующего звеньев при изменении частоты ω от 0 до ∞ представляются двумя видами – рис.4.3 и рис.4.4.

Рис. 4.3. Амплитудная частотная характеристика статической разомкнутой системы в составе апериодических 1-го порядка типовых звеньев

Рис. 4.4. Амплитудная частотная характеристика астатической разомкнутой системы в составе апериодических 1-го порядка и одного интегрирующего типовых звеньев

Фазовые частотные функции статической разомкнутой системы в составе апериодических 1-го порядка звеньев и астатической разомкнутой системы в составе апериодических 1-го порядка и одного интегрирующего звеньев представляются выражениями

φстат(ω) = Σ (–arctg ωTi)

φастат(ω) = -π/2 +Σ (–arctg ωTi)

Фазовые частотные характеристики этом случае при изменении частоты ω от 0 до ∞ для статической разомкнутой системы изменяются от 0 до n*(-π/2), для астатической разомкнутой системы изменяются от -π/2 до n*(-π/2).

Раздел 5. Устойчивость автоматических систем

5.1. Понятие устойчивости автоматических систем

Автоматическая система, как динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающим в ней при нарушении ее равновесия каким – либо воздействием (сигналы управления, настройки, помехи, возмущения).

В переходном процессе любой технической системы различают две составляющие:

свободное движение системы, определяемое начальными условиями и свойствами самой системой y_c(t);

вынужденное движение, определяемое возмущающим воздействием и свойствами системы y_в(t).

В этом случае выходной сигнал системы описывается

y(t) = y_c(t) + y_в(t).

Чтобы САУ могла правильно реагировать на сигналы управления или возмущения в переходном процессе свободная составляющая с течением времени должна стремиться к нулю.

Как правило, элементы и система в целом описываются с помощью дифференциальных уравнений.

При оценке показателей качества переходного процесса технической системы вводится понятие устойчивости или работоспособности системы.

Устойчивость определяется из решения дифференциального уравнения системы по свободной составляющей движения системы.

Если с течением времени свободная составляющая уменьшается, то система устойчивая при данных воздействиях.

Если с течением времени свободная составляющая увеличивается, то система неустойчивая при данных воздействиях.

Если с течением времени свободная составляющая постоянная, то система на границе устойчивости при данных воздействиях.

Свободное движение линейной системы описывается однородным дифференциальным уравнением (правая часть приравнивается к нулю).

Это уравнение в операторной форме называется характеристическим уравнением вида

где С₀, С₁, … С_n-1, С_n – постоянные коэффициенты, определяемые параметрами системы.

Корни характеристического уравнения, например 3-го порядка, могут быть действительными отрицательными, комплексными с отрицательной действительной частью, мнимыми и комплексными с положительной действительной частью.

Переходной процесс для замкнутой технической системы с характеристическим уравнением 3-го порядка и более может быть:

апериодический 2-го порядка;

колебательный с затухающими колебаниями;

колебательный с постоянными колебаниями;

колебательный с возрастающими колебаниями.

Необходимым и достаточным условием линейной непрерывной автоматической системы является отсутствие среди корней характеристического уравнения чисто мнимых корней и вещественные части корней должны быть отрицательными.

5.2. Устойчивость по расположению корней характеристического уравнения

Передаточная функция автоматической системы с уравнением 3-го порядка в tf-форме представляется в виде

W (s) = (b1 s + bo) / (a3 s³ + a2 s² + a1 s + ao).

Передаточная функция в zpk-форме определяется

H (s) = K (s – z1) / (s – p1)*(s – p2)*(s – p3),

где z1– корень (нуль) числителя; р1, р2, р3 – корень (полюс) знаменателя передаточной функции; К – обобщенный коэффициент передачи.

Варианты корней характеристического уравнения (полюса р) для устойчивой системы определяются:

первый – два комплексных и один вещественный;

второй – три вещественных.

На рис. 5.1 представлено расположение полюсов и нуля устойчивой системы для первого варианта.

Рис. 5.1. Расположение корней на комплексной плоскости для устойчивой системы с уравнением 3-го порядка

Ближайшими корнями к комплексной оси jβ являются комплексные корни (полюса р2 и р3), поэтому переходной процесс в системе колебательный.

Степень устойчивости определяется по формуле

η = IαI,

где α – значение вещественной части ближайшего корня.

Колебательность (перерегулирование) переходной характеристики системы характеризуется отношением

tgφ = β / α.

где φ – угол относительно оси α, ограничивающий область устойчивости системы.

Если корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, среди корней нет нулевых, то система при заданных параметрах устойчивая.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, среди корней уравнения нет нулевых, то система при заданных параметрах неустойчивая.

Если среди корней характеристического уравнения имеются мнимые корни, то система на границе устойчивости.

По расположения корней на плоскости α, jβ следующие выводы:

если корни левые – система устойчивая;

если корни – правые – системы неустойчивая;

если корни на оси jβ – система на границе устойчивости.

3. Критерий устойчивости

В инженерной практике для систем с уравнением 3-4 порядков используются правила определения устойчивости – критерии устойчивости.

Рассмотрим алгебраический критерий устойчивости Гурвица. Из коэффициентов характеристического уравнения n-го порядка строится сначала главный определитель Гурвица по следующему правилу:

по главной диагонали слева направо выписываются все коэффициенты характеристического уравнения в порядке возрастания индексов;

столбцы вверх от главной диагонали дополняется коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами;

столбцы вниз – с последовательно убывающими индексами;

на места с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули.

Выделяя в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка.

,

, , …

Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры были одного знака ( например, положительными).

Таким образом, для устойчивости системы необходимо выполнение следующих условий:

Система первого порядка: С₀λ + С₁ = 0. С₁ > 0, при С₀ > 0.

Система второго порядка: С₀λ² + С₁λ + С₂ = 0. С₂ > 0, = С₁> 0. Если С₀ > 0, тогда С ₂> 0, С₁ > 0.

Система третьего порядка: С₀λ^³ + С₁λ² +С₂λ + С3 = 0. Если С₀ > 0, С ₂ > 0, С₁ > 0, тогда С₂С₁ > С₀С₃.

3. Устойчивость по ЛАЧХ И ЛФЧХ

Устойчивость замкнутой системы определяется по логарифмическим частотным характеристикам ( ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы. На рис. 5.2 представлены ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой астатической 1-го порядка системы, устойчивой при замыкании единичной ООС.

Вводятся понятия запаса устойчивости по амплитуде ΔL

Lраз(ω)

и запаса устойчивости по фазе Δφ.

50

0

ΔL

-50

-100

-150

-200

φр(ω)

-90

-135

Δφ

-180

-225

-270

-315

10

-1

10

0

10

1

10

2

ω

-360

Рис. 5.2. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой астатической системы

Запас устойчивости по амплитуде ΔL, это значение коэффициента передачи К [дБ] при значении фазой характеристики φраз(ω) = - 180º , на который нужно увеличить коэффициент передачи разомкнутой системы Краз [дБ], чтобы замкнутая система находилась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе Δφ определяется на частоте среза ωср ЛАЧХ, где Lраз(ωср) = 0 дБ, как разность (-180º) и текущего значения φраз(ωср).