Раздел 9. Методы проектирования автоматических систем с наблюдателем

9.1. Наблюдаемость и управляемость

Создание корректирующего устройства – модального регулятора придающего системе заданные (любые желаемые) ди­намические свойства, может быть гарантировано только в том случае, если структура самого объекта не накладывает ограни­чений на возможность управления состоянием объекта X с по­мощью входного воздействия U.

В то же время для формиро­вания матрицы коэффициентов обратной связи К необходимо иметь информацию о всех со­стояниях объекта управления.

Реализация линейной обратной связи по состоянию часто бывает затруднена тем, что не все координаты объекта, т.е. составляющие вектора состоя­ния, доступны непосредственному измерению.

Для таких систем возможно создание устройство, на­зываемое наблюдателем, вырабатывающее оценки тех коорди­нат объекта управления, измерение которых нельзя осущест­вить непосредственно с помощью датчиков обратных связей.

Пусть задано уравнение состояний объекта

dx/dt = A*x + B*u (9.1 )

y = C*x

В этом случае уравнение состояний наблюдателя имеет следующий вид:

dx`/dt = A*x + B*u + G*(y +u) ( 9.2 )

где G y = C*x; G – произвольная постоянная матрица

Из этого уравнения и структурной схемы объекта (изображено на рис. 9.1.) видно, что входами наблюдателя служат входы и измеряемые выходы объекта управления.

Решая совместно уравнения (9.1) и (9.2), получаем уравнения для ошибки оценивания х - х :

(dx`/dt - dx/dt) = (A-GC)( -x).

И звестно, что если собственные числа матрицы A-GC, т.е. полюса системы объект-наблюдатель лежат в левой полу­плоскости, то при t→0 ошибка оценивания -х→0, т.е. пе­ременные состояния наблюдателя асимптотически сходятся к аналогичным переменным объекта и, таким образом, являются их оценками.

Рис. 9.1. Система с наблюдателем

Скорость сходимости оценок координат к их ис­тинным значениям зависит от расположения полюсов системы объект-наблюдатель. Поэтому весьма важно иметь возмож­ность выбирать эти полюса по своему усмотрению.

Возмож­ность построения наблюдателя и произвольного выбора его динамики (расположения полюсов) определяется важным свойством системы, называемом наблюдаемостью.

Объект называется полностью управляемым, если существует такое управляющее воздействие u(t), определенное на конечном интервале времени которое переводит его из любого начального состояния в любое заданное конечное состояние

Очевидно, что при осуществлении такого перевода управляющее воздействие должно прямо или косвенно влиять на все переменные состояния.

Управляемый объект называется полностью наблюдаемым, если все переменные состояния входят в выражение для управляемой величины.

Понятия управляемости и наблюдаемости особенно важны, когда алгоритмы управления формируются не в зависимости от ошибки системы, а в функциях переменных состояний.

На практике, даже если какая-либо переменная состояния может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам, обработка этих величин особенно при наличии помех может быть сложной. Поэтому практически наблюдаемыми переменными считаются те из них, которые могут быть непосредственно измерены датчиками.

Система, представленная уравнением

x(t) = A(t)x(t) ₊ B(t)u(t)

y(t) = C(t)x(t)

называется полностью наблюдаемой, если для всех t₀ можно единственным образом определить x(t₀) по данным измере­ния и (t) и y{t} на конечном интервале времени t_o<t<t_x. Для линейной стационарной системы необходимым и достаточ­ным условием полной наблюдаемости является условие

rank Q = n где матрица наблюдаемости

Для формирования матрицы наблюдаемости можно вос­пользоваться встроенной функцией obsv пакета MATLAB.

Синтаксис функции:

Ob = obsv(A, С), Ob = obsv(sys).

Функция obsv формирует матрицу наблюдаемости Ob для системы, заданной в пространстве состояний. Система является наблюдаемой, если матрица наблюдаемости Ob имеет пол­ный ранг.

Функция Ob = obsv(sys) формирует для пары матриц {А, С} размера соответственно п*п и пр*п матрицу наблюдае­мости Ob, которая имеет п * пр строк и пр столбцов, соответ­ствующих количеству выходов модели.

9.2. Синтез наблюдателя в среде MATLAB

Для формирования наблюдателя используется функция estim. Синтаксис функции:

est = estim (sys, L),

est = estim(sys, L, sensor, known}.

Функция est = estim (sys, L) формирует наблюдающее уст­ройство (наблюдатель) в виде ss-объекта est для оценивания вектора переменных состояния модели объекта управления sys и для заданной матрицы коэффициентов обратных связей на­блюдателя L. Все входы системы sys предполагаются случай­ными и не измеряемыми, а все выходы измеряемыми. Наблю­датель est возвращается в форме объекта подкласса ss.

Функция estim генерирует оценки переменных состояния и выхода объекта управления х и у в соответствии с уравне­ниями

Наблюдатель для дискретной модели описывается анало­гичными уравнениями.

Функция est = estim (sys, L, sensors, known) работает с объ­ектами управления sys более общей структуры, позволяя учи­тывать известные управления u, случайные неизменяемые вхо­ды w, а также измеряемые выходы у и неизмеряемые выходы z:

Индексы векторов sensors и known определяют, какие вы­ходы являются измеряемыми и какие входы известными. По­лученный наблюдатель est использует для вычисления оценок переменных состояния как вектор и , так и вектор у.

Для расчета коэффициентов обратных связей наблюдате­ля (матрицы L), можно воспользоваться функциями acker или place. С целью повышения точности оценивания полюса наблюда­теля (собственные значения матрицы A-L*C₂) должны обес­печить более быстрые процессы, чем в объекте наблюдения. Т.е. полюса наблюдателя должны в несколько раз быть больше плюсов объект.

Рассмотрим практический пример использования систе­мы MATLAB для определения параметров наблюдателя.

Задан объект с передаточной функцией

7.018e007

W(p) = ------------------------------------------------

s ³ + 2053 s² + 1.08e005 s + 5.737e006

Задаем объект с использованием матриц состояний:

» a1=[-2000 0 -0.0039*2.2*2000; 6.38 -8.24*6.38 -1.79*6.38; 0 250 0]

» b1=[2.2*20000; 0;0];

» c1=[0 0 1];

» d1=0

» hh=ss(a1,b1,c1,d1) создаем объект

» h=tf(hh) получаем трансфер-функцию

»step(h) получение переходной характеристики некорректированной системы

Рис. 9.2. Переходная характеристика некорректированной системы

Для формирования матриц коэффициентов обратных связей наблюдателя необходимо задать вектор корней характеристического уравнения наблюдателя.

Корни характеристического уравнения наблюдателя должны быть аналогичными корням системы, но в тоже время должны обеспечивать необходимую скорость вычислений в реальном времени, тогда корни должны в 4-8 раз превышать корни системы.

Определяем желаемые корни х. у. наблюдателя:

>>k=8*roots(h.den{1})

k =

1.0e+004 *

-1.6000

-0.0210 + 0.0373i

-0.0210 - 0.0373i

Определяем коэффициенты наблюдателя: Для этого используют транспонированые матрицы a1, c1 и к. Сам вектор f также транспонируют :

f=acker(a1',c1',k)'

f =

1.0e+007 *

2.9339

-0.0091

0.0014

Формируем наблюдатель:

est =estim(hh,f,[1],[1])

a =

x1 x2 x3

x1 -2000 0 -2.934e+007

x2 6.38 -52.57 9.074e+004

x3 0 250 -1.437e+004

b =

u1 u2

x1 4.4e+004 2.934e+007

x2 0 -9.075e+004

x3 0 1.437e+004

c =

x1 x2 x3

y1 0 0 1

y2 1 0 0

y3 0 1 0

y4 0 0 1

d =

u1 u2

y1 0 0

y2 0 0

y3 0 0

y4 0 0

I/O groups:

Group name I/O Channel(s)

KnownInput I 1

Measurement I 2

OutputEstimate O 1

StateEstimate O 2,3,4

Continuous-time model.

Коэффициенты обратных связей по входу u2 матрицей b

u1 u2

x1 4.4e+004 2.934e+007

x2 0 -9.075e+004

x3 0 1.437e+004

Проверим адекватность полученного наблюдателя в Simulink, то есть реализуем по полученным матрицам наблюдатель - рис. 9.3.

Переходные характеристики выходов наблюдателя и объекта управления аналогичны – рис. 9.4 и рис. 9.5.

Рис. 9.4. Выход объекта Рис. 9.5. Выход наблюдателя

управления

В Simulink реализуем модель системы управления с наблюдателем и модальным регулятором - рис. 9.6.

Объект управления задаем при помощи tf-функции.

LTI system (раздел Control System Toolbox) моделирует наблюдатель, полученный в рабочей области - объект est. LTI объект имеет 1 вход и 1 выход, потому необходимо использовать мультиплексор и демультиплексор (Signal Routing). Mux на выхода, Demux на 4 выхода.

Коэффициенты модального регулятора можно также получить с использованием MATLAB.

На рис. 9.7 приведена переходная характеристика системы с модальным регулятором и наблюдателем

Рис. 9.7. Переходная характеристика системы с модальным регулятором и наблюдателем