Раздел 2. Математическое описание

И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.1. Формы записи дифференциальных уравнений

Переходные процессы описываются уравнениями динамики – дифференциальными уравнениями.

Уравнение динамики – это дифференциальное уравнение (ДУ) с постоянными коэффициентами, которое описывает процессы в механических, электромеханических и электрических цепях технических систем.

Уравнения динамики представлены 3–мя формами:

1. Классическая.

2. Операторная.

3. Операционная.

1. Классическая форма ДУ в качестве переменной имеет текущее время t, в функции которого задаются входные и вычисляются выходные сигналы. Рассмотрим элемент САУ, который имеет выходную величину ‘y’ и две входные величины ‘u’ и ‘f’ (рис. …..). Например этот элемент описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

Рис.2.1

, ( 2.1 )

где a₀, a₁, a₂,b₀,b₁,b₂ c₀ – const.

2. Введем для оперциии дифференцирования оператор ‘p’, тогда дифференциальное уравнение элемента будет иметь вид:

( 2.2 )

Оператор ‘p’ можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение “p*y” как произведение, не обладающее свойством коммутативности, т.е. p*y y*p.

Вынесем y и u за скобки получим уравнение в операторной форме:

Q(p)y = R₁(p)u + R₂(p)f, ( 2.3 )

где Q(p) = - собственный оператор; R₁(p) = и R₂(p) = - операторы воздействий

Передаточной функцией звена в операторной форме называют отношение оператора воздействия к собственному оператору .

Для дифференциального уравнения ( 2.3 ) получим две передаточных функции:

W₁(p) = , W₂(p) = ( 2.4 )

Перейдя в исходном дифференциальном уравнении (2.1) к изображениям Лапласа при нулевых начальных условиях, получим уравнение элемента в операционной форме:

,

где у(s), u(s), f(s) – изображения Лапласа переменных у(t), u(t), f(t) – оригиналом.

Преобразование Лапласа ставит вещественной функции вещественной переменной t в соответствие функцию комплексногй переменной s = j.

При моделировании любое дифференциальное уравнение стараются свести к стандартной форме записи, где выходной сигнал и его производные расположены в левой части, а входной сигнал – в правой части.

2.2. Передаточные функции в tf-форме, zpk-форме и ss-форме

При моделировании в среде программы Matlab (переменная s = p) математические модели (ММ) представ-лены tf – формой или zpk – формой. Для tf – формы ММ представляется в виде передаточной функции, где числитель и знаменатель это полиномы, например, 2-го порядка

W (s) = (b2 s² + b1 s + bo) / (c2 s² + c1 s + co),

где bi, сi – коэффициенты полиномов; s – переменная.

В этом случае дифференциальное уравнение 1-го и 2-го порядка стандартных форм представляется в общем виде

с1*dy(t)/dt + со*y(t) = b1*dx(t)/dt + bо*x(t)

c2*d²y(t)/dt² + c1*dy(t)/dt + co*y(t) = b2*d²x(t)/dt² + +b1*dx(t)/dt + bо*x(t).

Для zpk – формы ММ уравнения n-го порядка представляется в виде нулей, полюсов и обобщенного коэффициента передачи

H (s) = K*(s-z1)*(s – z2) …(s - zm) / (s – p1)*(s – p2)…(s – pn),

где zi, pi и К – нуль, полюс и обобщенный коэффициент передачи.

Третьей формой МО элементов является ss-форма, то есть уравнение состояний или векторно-матричное уравнение. Для автоматических систем с большим числом переменных состояния запись уравнений состояний в общем виде может быть сделана компактной, если представить их в векторно-матричной форме. При этом уравнения автоматической системы в векторно-матричной форме принимают вид

dx(t) /dt = A(t)*x(t) + B(t)*u(t)

y(t) = C(t)*x(t) + D(t)*u(t).

А(t) – матрица размера n x n (квадратная матрица n-го порядка), называемая матрицей системы. Она характеризует динамические свойства системы;

В(t) – прямоугольная n x r матрица, называемая матрицей управления. Она характеризует воздействие входных переменных u_j на переменные состояния x_i;

С(t) – m x n матрица измерения. Она характеризует связь выходных координат y_k (как правило, это измеряемые переменные) с переменными состояния x_i;

D(t) – m x r матрица. Она характеризует непосредственное воздействие входов и_j на выходы у_k.

Если элементы матриц А, В, С и D не зависят от времени, то система стационарна, и уравнения в переменных состояния приобретают вид:

dx/dt = A*x + B*u

y = C*x + D*u.

На рис.2.2 изображена структурная схема, построенная по уравнению состояний.

Рис. 2.2. Структурная схема, построенная по уравнению состояний

2.3. Частотные и временные функции типовых динамических звеньев

Частотные функции и характеристики, наиболее часто используемых при моделировании технических систем типовых динамических звеньев 1-го и 2-го порядков, представлены в табл.2.1-2.2.

Временные функции наиболее часто используемых при моделировании технических систем динамических звеньев представлены в табл 2.3.

В таблицах 2.1 – 2.3 использованы следующие обозначения для типовых динамических звеньев:

П – пропорциональное

И – интегрирующее

Д – дифференцирующее

И с зам. – интегрирующее с замедлением или реальное интегрирующее

Д с зам. – дифференцирующее с замедлением или реальное дифференцирующее

Из - изодромное

А 1-го – апериодическое 1-го порядка

Ф 1-го – форсирующее 1-го порядка

К – колебательное

А 2-го – апериодическое 2-го порядка

Кн – консервативное

Параметры частотных и временных функций типовых динамических звеньев:

К – коэффициент передачи

Т – постоянная времени

ζ – коэффициент демпфирования

ω – круговая частота

Для временных функций К-звена ω = √1-ζ ²/T.

Ф азовая частотная функция φ(ω)	6	0	-π/2	+π/2	-π/2-arctgωT	+π/2-arctgωT
Логарифмическая амплитудная частотная функция 20lg A(ω)	5	20lgК	20lgК – 20lgω	20lgК +20lgω	20lgК – 20lgω -20lg√1+ω²T²	20lgК + 20lgω-20lg√1+ω²T²
Амплитудная частотная функция A(ω)	4	К	К/ ω	К*ω	К/ω√1+ω²T²	К*ω/√1+ω²T²
Частотная передаточная Функция W(jω)	3	К+j*0	-j*K/ ω	j*Kω	-jK/ω(1+jωT)	jK*ω/(1+jωT)
Передаточная функция W(p	2	К	К/p	К*p	K/p(T*p+1)	K*p/(T*p+1)
Звено	1	П	И	Д	И с зам	Д С зам

6	π/2+arctgωT	-arctgωT	+arctgωT	0 ω <1/T -π ω ≥1/T	0 ω <1/T -π ω ≥1/T T=√T3*T4	0 ω <1/T -π ω ≥1/T
5	20lgК – 20lgω+ +20lg√1+ω²T²	20lgК+ -20lg√1+ω²T²	20lgК+ +20lg√1+ω²T²	20lgК -20lg√[(1-ω²T²)²+ +(2 ζT ω)²]	20lgК- -20lg(1-ω²T²3) -20lg(1-ω²T²4)	20lgК- -20lg(1-ω²T²)
4	К*√1+ω²T²/ω	К/√1+ω²T²	К*√1+ω²T²	К/√(1-ω²T²)² +(2ζTω)²	K/√²)/*(1-ω²T3²)²)/*(1-ω²T3²) +(1-ω²T3²)/ +(1-ω²T3²)²	K/(1-ω²T²)
3	-jK(1+jωT)/ω	K/(1+jωT)	K*(1+jωT)	K*[(1-ω²T²)-j2 ζTω]/[ (1-ω²T²)²+ +(2ζT ω)²]	K*(1-ω²T3²) *(1-ω²T3²) /*(1-ω²T3²)+ +(1-ω²T3²)/	K/(1-ω²T²)
2	K(T*p+1)/p	K/(T*p+1)	K(T*p+1)	____K_____ (T²p²+2ζT+1)	____K_____ [T3T4p²+(T3+ +T4)p+1]	____K_____ (T²*p²+1)
1	Из	A 1-го	Ф 1-го	К	А 2-го	Кн

Логарифмическая амплитудная частотная функция φ(ω)	4
Амплитудная и фазовая частотные функции A(ω) и φ(ω	3
Частотная передаточная Функция W(jω)	2
ередаточная функция W(p)	1	П	А 1-го	А 2-го
Логарифмическая амплитудная частотная функция φ(ω)	4
Амплитудная и фазовая частотные функции A(ω) и φ(ω	3
Частотная передаточная Функция W(jω)	2
Передаточная функция W(p)	1	К	Кн

Таблица 2.3

Временные функции типовых динамических звеньев

Звено	Дифференциальное уравнение	Переходная функция	Импульсная переходная функция
П	y(t) = k*x(t)	h(t) = k*1(t)	w(t) = k*δ(t)
И	y(t) = k*∫x(t)dt	h(t) = k*t	w(t) = k
Д	y(t) = k*dx(t)/dt	h(t) = k*δ(t)	w(t) = k*dδ(t)/dt
И с зам.	T*dy(t)/dt + y(t) = k*∫x(t)dt	h(t)=kt-k(1-Te-t/T) *1(t)	w(t)=k – ke-t/T
Д С зам	T*dy(t)/dt + y(t) = k*dx(t)/dt	h(t)=k/T*e-t/T ) *1(t)	w(t)=k/T* δ(t)- k/ T²*e-t/T
Из	y(t) = k*T*x(t) + +k*∫x(t)dt	h(t)=kT1(t)+ kt	w(t) = kTδ(t) +k
A 1-го	T*dy(t)/dt + y(t) = k*x(t)	h(t)=k(1–e-t/T) *1(t)	w(t) = k/T*e-t/T
Ф 1-го	y(t) = k*T*dx(t)/dt + k*x(t)	h(t) = kT*δ(t) + k*1(t)	w(t)= kTdδ(t)/dt + k*δ(t)
К	T²d²y(t)/dt²+2Tζdy(t)/ dt +y(t) = k*x(t)	h(t)=k(1-1/√1-ζ ² *e-t²/T*sinωt )*1(t)	w(t)= k /ωT²*e-t²/T * sinωt
А 2-го	T3T4 d²y(t)/dt² + +(T3+T4)dy(t)/dt+ +y(t)= k*x(t)	h(t)=k*(1-T3/(T3-T4)*e-t/T +T4/(T3-T4) )e-t/T *1(t)	w(t) = k/T*t*e-t/T при Т3= Т4=Т
Кн	T²d²y(t)/dt²+y(t)= k*x(t)	h(t) = k*(1 – sinωt)	w(t) = k*ω*cosωt)
Зп	y(t) = k*x(t-τ)	h(t) = k*1(t-τ)	w(t) = k*δ(t-τ)