Раздел 7. Чувствительность автоматических систем

7.1. Понятие функции чувствительности

При эксплуатации автоматической системы значения ее элементов и прежде всего объекта регулирования вследствие различных причин могут отличаться от расчетных.

При этом действительные статические и динамические свойства также, конечно, оказываются отличными от расчетных.

Поэтому возникает задача уже при синтезе автоматической системы выяснить, какие изменения свойств возможны при эксплуатации.

Зависимость свойств САР от изменения параметров элементов есть ее чувствительность.

Для ее количественной оценки исполь­зуют различные функции чувствительности, которые позволяют оценивать вариации (изменения) передаточ­ных функций, временных характеристик или показателей ка­чества при вариациях (малых изменениях) параметров.

Будем предполагать, что вариации достаточно малы и, кроме того, не изменяют степени уравнений (порядка передаточных функций) как отдельных элементов, так и системы в целом.

Функции чувствительности передаточных функций. Функция чувствительности передаточной функции к па­раметру есть частная производная от по при номиналь­ных (расчетных) значениях всех параметров:

, (7.1)

где .

Для определения функции чувствительности передаточной функции системы к параметру какого-то i-го элемента удобно сначала отыскать функцию чувствительности пере­даточной функции к передаточной функции этого i-го элемента:

, (7.2)

где .

Затем определяется функция чувствительности передаточной функции , к параметру :

. (7.3)

В ряде источников / / приведены значения функций чувствительности передаточных функций САР двух наиболее характерных структур. Здесь и есть функции чувствительности передаточных функций соответственно и к передаточной функции участка CAP. Значения передаточных функ­ций должны быть взяты при номинальных (рас­четных) значениях параметров.

Рассмотрим функции чувствительности временных характеристик. Они позволяют определить дополнительное движение, т. е. наиболее наглядно выяснить влияние вариаций параметров.

Дополнитель­ным движением называют разность между движением системы, в которой произошли вариации параметров, и ее движением при расчетных значениях параметров.

Функция чувствительности i-й координаты САР к параметру

, (7.4)

где .

Предположим, что  регулируемая координата: и к системе приложено только задающее воздействие. Тогда

L (7.5)

где  изображение по Лапласу задающего воздействия.

Следовательно:

. (7.6)

Теперь можно определить дополнительное движение регули­руемой координаты при вариации параметра :

. (7.7)

Аналогично можно выяснить, как влияет вариация параметров на движение регулируемой координаты, создаваемое возмуще­нием.

Также можно отыскать дополнительное движение рассогла­сования х. Если предположить, что задающее воздействие есть единичное ступенчатое воздействие, то формула (7.5) будет определять вариацию переходной характеристики системы отно­сительно задающего воздействия при вариации параметра .

7.2. Исследование чувствительности в среде Matlab

Рассмотрим исследование чувствительности в среде Matlab и выясним влияние вариаций на переходную характери­стику САР, если = 0,002 с. Передаточная функция разомкнутой системы в первом приближении

,

где k = 50, Т = 0,1 с и = 0,02 с.

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

.

Функция чувствительности этой передаточной функции к постоянной вре­мени будет

.

Следовательно, вариация переходной характеристики (дополнительное дви­жение)

.