§3. Невырожденные матрицы

1. Основные понятия

Пусть — квадратная матрица -го порядка

.

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если опре­делитель не равен нулю: . В противном случае ( ) матрица называется вырожденной.

Определение. Матрицей, союзной к матрице , называется матрица

,

где — алгебраическое дополнение элемента данной матрицы (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Определение. Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие

,

где — единичная матрица того же порядка, что и матрица . Ма­трица имеет те же размеры, что и матрица .

2. Обратная матрица

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Доказательство. Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

, причем .

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц и :

т.е.

.

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).

Аналогично убеждаемся, что

Равенства перепишем в виде

и .

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

, т.е.

Отметим свойства обратной матрицы:

1. ;

2. ;

3. .

Пример 3.1. Найти , если .

Решение.

1) Находим : .

2) Находим : , , , , поэтому .

3) Находим : .

Проверка:

.

Пример 3.2. Определить, при каких значениях существует ма­трица, обратная данной:

.

Решение. Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель матрицы :

.

Если , т. е. , то , т. е. матрица невырожденная, имеет обратную.

Пример 3.3. Показать, что матрица является обратной для ,

, .

Решение. Найдем произведение матриц и :

.

Аналогично . Следовательно, матрица является обратной для .

3.3. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера .

.

Выделим в ней строк и столбцов ( ). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить штук, где ( — число сочетаний без повторений из элементов по ).

Определение. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается , или .

Очевидно, что , где — меньшее из чисел и .

Определение. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 3.4. Найти ранг матрицы

.

Решение. Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля . Значит, . Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диа­гонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример 3.5. Найти ранг матрицы

,

используя результаты примера 1.4.

Решение. В примере 1.4 показано, что

,

то есть

.

Таким образом, ранг матрицы равен =2.