- •Часть I
- •Часть I
- •Введение
- •I. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •Основные понятия
- •Действия над матрицами
- •§2. Определители
- •Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§3. Невырожденные матрицы
- •Основные понятия
- •Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§4. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
- •Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Системы линейных однородных уравнений
- •II. Элементы векторной алгебры
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Проекция вектора на ось
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§6. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •§8. Смешанное произведение векторов
- •8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
- •8.2. Свойства смешанного произведения
- •8.3. Выражение смешанного произведения через координаты
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Основные приложения метода координат на плоскости
- •9.3. Преобразование системы координат
- •§10. Линии на плоскости
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Уравнения прямой на плоскости
- •10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
- •§11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Окружность
- •11.3. Эллипс
- •11.4. Гипербола
- •IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§12. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •12.1. Основные понятия
- •12.2. Уравнения плоскости в пространстве
- •12.3. Плоскость. Основные задачи
- •12.4. Уравнения прямой в пространстве
- •12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
- •12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
- •12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •V. Введение в анализ
- •§13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
- •13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •§14. Функции
- •14.1. Понятие функции
- •14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций
- •14.3. Основные характеристики функции
- •14.4. Обратная функция
- •14.5. Сложная функция
- •14.6. Основные элементарные функции и их графики
- •§15. Последовательности
- •15.1. Числовая последовательность
- •15.2. Предел числовой последовательности
- •15.3. Предельный переход в неравенствах
- •15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы
- •§16. Предел функции
- •16.1. Предел функции в точке
- •16.2. Односторонние пределы
- •16.3. Предел функции при
- •16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)
- •§17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17.1. Определения и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •17.3. Основные теоремы о пределах
- •17.4. Признаки существования пределов
- •17.5. Первый замечательный предел
- •17.6. Второй замечательный предел
- •§18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18.1. Сравнение бесконечно малых функций
- •18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •§ 19. Непрерывность функций
- •19.1. Непрерывность функции в точке
- •19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19.3. Точки разрыва функции и их классификация
- •19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
- •19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть I
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
Теорема 17.5. Если функция имеем предел, равный , то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции , т.е. если , то .
Доказательство. Пусть . Следовательно,
,
т.е. . Это означает, что функция имеет предел, равный нулю, т.е. является б.м.ф., которую обозначим через : . Отсюда .
Теорема 17.6 (обратная). Если функцию можно представить в виде суммы числа и бесконечно малой функции , то число является пределом функции , т. е. если , то .
Доказательство. Пусть , где — б.м.ф. при , т.е. . Тогда
.
А так как по условию , то . Получаем
.
А это и означает, что
Пример 17.2. Доказать, что .
Решение. Функцию можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. (при ), т. е. выполнено равенство . Следовательно, по теореме 17.6 получаем .
17.3. Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда и , аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы и существуют.
Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
.
Доказательство. Пусть , . Тогда по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать и . Следовательно, . Здесь — б.м.ф. как сумма б.м.ф. По теореме 17.6 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать , т.е.
.
В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.
Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при .
Пусть и . По теореме 17.7 имеем:
.
Отсюда , т.е. .
Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
.
Доказательство. Аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как , то
, .
где и — б.м.ф. Следовательно,
,
т.е.
.
Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому
,
т.е.
.
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.
Следствие 17.4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
.
Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности, , .
.
Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
.
Доказательство. Аналогично предыдущему. Из равенств
и
следуют соотношения , . Тогда
.
Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.
Поэтому
, т.е. .
Пример 17.3. Вычислить .
Решение.
Пример 17.4. Вычислить
Решение. Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при , равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на ( , но ):
.
Пример 17.5. Вычислить .
Решение. Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на :
.
Функция есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому
; .