§18. Эквивалентные бесконечно малые функции

18.1. Сравнение бесконечно малых функций

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести се­бя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно боль­шой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к ка­кому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть и есть б.м.ф. при , т. е. и .

1.Если ( ), то и называются бесконечно малыми одного порядка.

2.Если , то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

3.Если , то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .

4.Если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при , .

Пример 18.1. Сравнить порядок функций и при .

Решение. При это б.м.ф. одного порядка, так как

.

Говорят, что б.м.ф. и одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью.

Пример 18.2. Являются ли функции и б.м.ф. одного порядка при ?

Решение. При функция есть б.м.ф. более высокого порядка, чем , так как . В этом случае б.м.ф. стремится к нулю быстрее, чем .

Пример 18.3. Сравнить порядок функций и при .

Решение. Так как

,

то есть б.м.ф. более низкого порядка, чем .

Пример 18.4. Можно ли сравнить функции и при ?

Решение. Функции и при являются несравнимыми б.м.ф., так как предел не существует.

18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Определение. Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми (при ); это обозначается так: . Например, при , т. к. ; при , т. к. .

Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Доказательство. Пусть и при . Тогда

,

т.е. .

Очевидно также, что .

Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функ­ций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Пусть при . Тогда

,

аналогично .

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. и есть бесконечно малая высшего порядка, чем или , то и — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как , то , т.е. . Отсюда , т.е. . Аналогично, если , то .

Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство. Докажем теорему для двух функций. Пусть , при , причем — б.м.ф. высшего порядка, чем , т. е.

.

Тогда

.

Следовательно, при .

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Пример 18.5. Найти предел .

Решение. , поскольку и при .