- •Часть I
- •Часть I
- •Введение
- •I. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •Основные понятия
- •Действия над матрицами
- •§2. Определители
- •Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§3. Невырожденные матрицы
- •Основные понятия
- •Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§4. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
- •Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Системы линейных однородных уравнений
- •II. Элементы векторной алгебры
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Проекция вектора на ось
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§6. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •§8. Смешанное произведение векторов
- •8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
- •8.2. Свойства смешанного произведения
- •8.3. Выражение смешанного произведения через координаты
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Основные приложения метода координат на плоскости
- •9.3. Преобразование системы координат
- •§10. Линии на плоскости
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Уравнения прямой на плоскости
- •10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
- •§11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Окружность
- •11.3. Эллипс
- •11.4. Гипербола
- •IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§12. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •12.1. Основные понятия
- •12.2. Уравнения плоскости в пространстве
- •12.3. Плоскость. Основные задачи
- •12.4. Уравнения прямой в пространстве
- •12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
- •12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
- •12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •V. Введение в анализ
- •§13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
- •13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •§14. Функции
- •14.1. Понятие функции
- •14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций
- •14.3. Основные характеристики функции
- •14.4. Обратная функция
- •14.5. Сложная функция
- •14.6. Основные элементарные функции и их графики
- •§15. Последовательности
- •15.1. Числовая последовательность
- •15.2. Предел числовой последовательности
- •15.3. Предельный переход в неравенствах
- •15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы
- •§16. Предел функции
- •16.1. Предел функции в точке
- •16.2. Односторонние пределы
- •16.3. Предел функции при
- •16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)
- •§17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17.1. Определения и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •17.3. Основные теоремы о пределах
- •17.4. Признаки существования пределов
- •17.5. Первый замечательный предел
- •17.6. Второй замечательный предел
- •§18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18.1. Сравнение бесконечно малых функций
- •18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •§ 19. Непрерывность функций
- •19.1. Непрерывность функции в точке
- •19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19.3. Точки разрыва функции и их классификация
- •19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
- •19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть I
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы
Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности.
Теорема 15.3 (Вейерштрасса). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность , .
По формуле бинома Ньютона
Полагая , , получим
или
Из равенства (15.3) следует, что с увеличением число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении число убывает, поэтому величины , , … возрастают.
Поэтому последовательность — возрастающая, при этом
. (15.4)
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство
.
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,…, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому
. (15.5).
Итак, последовательность ограничена, при этом для выполняются неравенства (15.4) и (15.5):
.
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность , , имеет предел, обозначаемый обычно буквой :
. (15.6)
Число называют неперовым числом. Число иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 ( = 2,718281828459045…). Число принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию называется натуральным логарифмом и обозначается , т. е. .
Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем . Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:
, т.е. .
Пользуясь десятичными логарифмами, находим . Значит, . Из этой формулы следует, что , т.е. . Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.
§16. Предел функции
16.1. Предел функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , ( ), сходящейся к (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции , , сходится к числу (т.е. ).
В этом случае пишут или при . Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек , достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа .
Определение (на «языке - », или по Коши). Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Записывают . Это определение коротко можно записать так:
.
Геометрический смысл предела функции: , если для
любой -окрестности точки найдется такая ( -окрестность точки , что для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки . Иными словами, точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми , (см. рис. 16.1). Очевидно, что величина зависит от выбора , поэтому пишут .
Рис. 16.1
Пример 16.1. Доказать, что .
Решение. Возьмем произвольное , найдем такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. . Взяв , видим, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Следовательно, .
Пример 16.2. Доказать, что, если , то .
Решение. Для можно взять . Тогда при , имеем . Следовательно, .