- •Часть I
- •Часть I
- •Введение
- •I. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •Основные понятия
- •Действия над матрицами
- •§2. Определители
- •Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§3. Невырожденные матрицы
- •Основные понятия
- •Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§4. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
- •Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Системы линейных однородных уравнений
- •II. Элементы векторной алгебры
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Проекция вектора на ось
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§6. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •§8. Смешанное произведение векторов
- •8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
- •8.2. Свойства смешанного произведения
- •8.3. Выражение смешанного произведения через координаты
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Основные приложения метода координат на плоскости
- •9.3. Преобразование системы координат
- •§10. Линии на плоскости
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Уравнения прямой на плоскости
- •10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
- •§11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Окружность
- •11.3. Эллипс
- •11.4. Гипербола
- •IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§12. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •12.1. Основные понятия
- •12.2. Уравнения плоскости в пространстве
- •12.3. Плоскость. Основные задачи
- •12.4. Уравнения прямой в пространстве
- •12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
- •12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
- •12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •V. Введение в анализ
- •§13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
- •13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •§14. Функции
- •14.1. Понятие функции
- •14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций
- •14.3. Основные характеристики функции
- •14.4. Обратная функция
- •14.5. Сложная функция
- •14.6. Основные элементарные функции и их графики
- •§15. Последовательности
- •15.1. Числовая последовательность
- •15.2. Предел числовой последовательности
- •15.3. Предельный переход в неравенствах
- •15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы
- •§16. Предел функции
- •16.1. Предел функции в точке
- •16.2. Односторонние пределы
- •16.3. Предел функции при
- •16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)
- •§17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17.1. Определения и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •17.3. Основные теоремы о пределах
- •17.4. Признаки существования пределов
- •17.5. Первый замечательный предел
- •17.6. Второй замечательный предел
- •§18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18.1. Сравнение бесконечно малых функций
- •18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •§ 19. Непрерывность функций
- •19.1. Непрерывность функции в точке
- •19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19.3. Точки разрыва функции и их классификация
- •19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
- •19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть I
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
V. Введение в анализ
§13. Множества. Действительные числа
13.1. Основные понятия
Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики.
Определение. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.
Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения , о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита а их элементы — малыми буквами
Если элемент принадлежит множеству , то записывают ; запись или означает, что элемент не принадлежит множеству .
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом .
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.
Например, запись = {1, 3, 15} означает, что множество состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись = { : } означает, что множество состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству .
Определение. Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).
Определение. Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут , если и . Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.
Определение. Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают (или ). Кратко Можно записать = { : или }.
Определение. Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству и множеству . Пересечение (произведение) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать = { : и }.
В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:
— означает «из предложения следует предложение »;
— «предложения и равносильны», т.е. из следует и из следует ;
— означает «для любого», «для всякого»;
— «существует», «найдется»;
: — «имеет место», «такое что»;
— «соответствие».
Пример 13.1. 1) запись : означает: «для всякого элемента имеет место предложение »;
2) ( ) ( или ); эта запись определяет
объединение множеств и .
13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
Определение. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.
Примерами числовых множеств являются:
= {1; 2; 3; …; ; …} — множество натуральных чисел;
= {0; 1; 2; …; ; …} — множество целых неотрицательных чисел;
= {0; ±1; ±2; …; ± ; …} — множество целых чисел;
= — множество рациональных чисел.
— множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение
.
Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, = 0,5 (= 0,500…), = 0,333… — рациональные числа.
Определение. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.
Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.
Доказательство. Допустим, что существует рациональное число, представленное несократимой дробью , квадрат которого равен 2. Тогда имеем:
, т.е. (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное число. Отсюда следует, что (а значит, и ) — четное число, т.е. . Подставив в равенство , получим , т.е. . Отсюда следует, что число — четное, т.е. . Но тогда дробь сократима. Это противоречит допущению, что дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.
Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, = 1,4142356…, = 3,1415926… — иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать
= { : }, где , {0, 1, …,9}.
Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел и имеет место одно из двух соотношений либо .
Свойство 2. Множество плотное: между любыми двумя различными числами и содержится бесконечное множество действительных чисел , т.е. чисел, удовлетворяющих неравенству .
Так, если , то одним из них является число
.
Свойство 3. Множество непрерывное. Пусть множество разбито на два непустых класса и таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел и выполнено неравенство . Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству ( , ). Оно отделяет числа класса от чисел класса . Число с является либо наибольшим числом в классе (тогда в классе нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе (тогда в классе нет наибольшего).
Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу соответствует определенная (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».