- •Часть I
- •Часть I
- •Введение
- •I. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •Основные понятия
- •Действия над матрицами
- •§2. Определители
- •Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§3. Невырожденные матрицы
- •Основные понятия
- •Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§4. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
- •Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Системы линейных однородных уравнений
- •II. Элементы векторной алгебры
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Проекция вектора на ось
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§6. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •§8. Смешанное произведение векторов
- •8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
- •8.2. Свойства смешанного произведения
- •8.3. Выражение смешанного произведения через координаты
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Основные приложения метода координат на плоскости
- •9.3. Преобразование системы координат
- •§10. Линии на плоскости
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Уравнения прямой на плоскости
- •10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
- •§11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Окружность
- •11.3. Эллипс
- •11.4. Гипербола
- •IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§12. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •12.1. Основные понятия
- •12.2. Уравнения плоскости в пространстве
- •12.3. Плоскость. Основные задачи
- •12.4. Уравнения прямой в пространстве
- •12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
- •12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
- •12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •V. Введение в анализ
- •§13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
- •13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •§14. Функции
- •14.1. Понятие функции
- •14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций
- •14.3. Основные характеристики функции
- •14.4. Обратная функция
- •14.5. Сложная функция
- •14.6. Основные элементарные функции и их графики
- •§15. Последовательности
- •15.1. Числовая последовательность
- •15.2. Предел числовой последовательности
- •15.3. Предельный переход в неравенствах
- •15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы
- •§16. Предел функции
- •16.1. Предел функции в точке
- •16.2. Односторонние пределы
- •16.3. Предел функции при
- •16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)
- •§17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17.1. Определения и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •17.3. Основные теоремы о пределах
- •17.4. Признаки существования пределов
- •17.5. Первый замечательный предел
- •17.6. Второй замечательный предел
- •§18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18.1. Сравнение бесконечно малых функций
- •18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •§ 19. Непрерывность функций
- •19.1. Непрерывность функции в точке
- •19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19.3. Точки разрыва функции и их классификация
- •19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
- •19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть I
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и (см. рис. 10.15).
Требуется найти угол , на который надо повернуть в положительном направлении прямую вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой .
Рис. 10.15
Имеем (теорема о внешнем угле треугольника) или . Если , то
.
Ho , , поэтому
(10.12)
откуда легко получим величину искомого угла.
Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая — второй, то правая часть
формулы (10.12) берется по модулю, т. е.
Если прямые и параллельны, то и . Из формулы (10.12) следует , т. е. . И обратно, если прямые и таковы, что , то , т. е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: .
Если прямые и перпендикулярны, то . Следовательно,
. Отсюда , т.е. (или ). Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство .
Расстояние от точки до прямой.
Пусть заданы прямая уравнением и точка (см. рис. 10.16). Требуется найти расстояние от точки до прямой .
Решение: Расстояние от точки до прямой равно модулю проекции вектора , где — произвольная точка прямой , на направление нормального вектора . Следовательно,
.
Так как точка принадлежит прямой , то , т. е. . Поэтому
,
что и требовалось получить.
Рис. 10.16
Пример 10.3. Найти расстояние от точки до прямой .
Решение: По формуле (10.13) получаем
.
§11. Линии второго порядка на плоскости
11.1. Основные понятия
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат
. (11.1)
Коэффициенты уравнения — действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел , или Отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.
11.2. Окружность
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса с центром в точке называется множество всех точек плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка в прямоугольной системе координат имеет координаты , , а — произвольная точка окружности (см. рис. 11.1).
Рис. 11.1
Тогда из условия получаем уравнение
,
то есть
(11.2)
Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.
Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности.
В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат .
Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:
1) коэффициенты при и равны между собой;
2) отсутствует член, содержащий произведение текущих координат.
Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения и получим
(11.3)
Преобразуем это уравнение:
,
т.е.
,
т.е.
. (11.4)
Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии
.
Ее центр находится в точке , а радиус
.
Если же , то уравнение (11.3) имеет вид
.
Ему удовлетворяют координаты единственной точки . В этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).
Если
,
то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть — не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).