- •Часть I
- •Часть I
- •Введение
- •I. Элементы линейной алгебры
- •§1. Матрицы
- •Основные понятия
- •Действия над матрицами
- •§2. Определители
- •Основные понятия
- •2.2. Свойства определителей
- •§3. Невырожденные матрицы
- •Основные понятия
- •Обратная матрица
- •3.3. Ранг матрицы
- •§4. Системы линейных уравнений
- •Основные понятия
- •Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли
- •Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Системы линейных однородных уравнений
- •II. Элементы векторной алгебры
- •§5. Векторы
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Проекция вектора на ось
- •5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •5.5. Действия над векторами, заданными проекциями
- •§6. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •6.1. Определение скалярного произведения
- •6.2. Свойства скалярного произведения
- •6.3. Выражение скалярного произведения через координаты
- •6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
- •§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •§8. Смешанное произведение векторов
- •8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
- •8.2. Свойства смешанного произведения
- •8.3. Выражение смешанного произведения через координаты
- •8.4. Некоторые приложения смешанного произведения
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§9. Система координат на плоскости
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Основные приложения метода координат на плоскости
- •9.3. Преобразование системы координат
- •§10. Линии на плоскости
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Уравнения прямой на плоскости
- •10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи
- •§11. Линии второго порядка на плоскости
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Окружность
- •11.3. Эллипс
- •11.4. Гипербола
- •IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§12. Уравнения поверхности и линии в пространстве
- •12.1. Основные понятия
- •12.2. Уравнения плоскости в пространстве
- •12.3. Плоскость. Основные задачи
- •12.4. Уравнения прямой в пространстве
- •12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
- •12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
- •12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •V. Введение в анализ
- •§13. Множества. Действительные числа
- •13.1. Основные понятия
- •13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел
- •13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки
- •§14. Функции
- •14.1. Понятие функции
- •14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций
- •14.3. Основные характеристики функции
- •14.4. Обратная функция
- •14.5. Сложная функция
- •14.6. Основные элементарные функции и их графики
- •§15. Последовательности
- •15.1. Числовая последовательность
- •15.2. Предел числовой последовательности
- •15.3. Предельный переход в неравенствах
- •15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число . Натуральные логарифмы
- •§16. Предел функции
- •16.1. Предел функции в точке
- •16.2. Односторонние пределы
- •16.3. Предел функции при
- •16.4. Бесконечно большая функция (б.Б.Ф.)
- •§17. Бесконечно малые функции (б.М.Ф.)
- •17.1. Определения и основные теоремы
- •17.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •17.3. Основные теоремы о пределах
- •17.4. Признаки существования пределов
- •17.5. Первый замечательный предел
- •17.6. Второй замечательный предел
- •§18. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •18.1. Сравнение бесконечно малых функций
- •18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них
- •18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •§ 19. Непрерывность функций
- •19.1. Непрерывность функции в точке
- •19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
- •19.3. Точки разрыва функции и их классификация
- •19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
- •19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть I
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Определение. Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале и в точке непрерывна справа (т.е. ), а в точке непрерывна слева (т.е. ).
19.3. Точки разрыва функции и их классификация
Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если — точка разрыва функции , то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:
1.Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке .
Например, функция не определена в точке (см. рис. 19.2).
Рис. 19.2
2.Функция определена в точке и ее окрестности, но не существует предела при .
Например, функция
определена в точке ( ), однако в точке имеет разрыв (см. рис. 19.3), т. к. эта функция не имеет предела при :
, а .
Рис. 19.3
3.Функция определена в точке и ее окрестности, существует , но этот предел не равен значению функции в точке : .
Например, функция (см. рис. 19.4)
Здесь — точка разрыва:
,
а .
Рис. 19.4
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом:
а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;
б) если , то точка называется точкой конечного разрыва.
Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
1.Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 19.2). , — точка разрыва второго рода.
2.Для функции
является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен .
3.Для функции
является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив (вместо ) при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.
Пример 19.3. Дана функция . Найти точки разрыва, выяснить их тип.
Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой
оси, кроме точки . Очевидно, Следовательно, , а . Поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1 – (–1) = 2.
19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
Доказательство. Пусть функция и непрерывны на некотором множестве и — любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения . Применяя теорему о пределе произведения, получим:
.
Итак, , что и доказывает непрерывность функции в точке .
Теорема 19.2. Пусть функции непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .
Доказательство. В силу непрерывности функции , , т.е. при , имеем . Поэтому, вследствие непрерывности функции имеем:
.
Это и доказывает, что сложная функция непрерывна в точке .
Теорема 19.3. Если функция непрерывна и строго монотонна на оси , то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке оси (без доказательства).
Так, например, функция , в силу теоремы 19.1, есть функция непрерывная для всех значений , кроме тех, для которых , т.е. кроме значений , .
Функции , , , , в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях , при которых эти функции определены.
Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях , для которых они определены.
Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.
Пример 19.4. Найти .
Решение. Функция непрерывна в точке , поэтому
.