Откуда, выполняя замену и интегрируя по частям, находим
.
Следовательно, общим решением будет функция
.
9. Уравнения Бернулли и Риккати
К линейным уравнениям приводятся и уравнения вида
,
называемые уравнениями Бернулли. Достаточно сделать
замену
.
Однако, решение уравнения Бернулли
удобнее искать в виде
,
не приводя к линейному.
Аналогично тому, как в анализе при интегрировании элементарных функций появляются интегралы, не выражающиеся через элементарные функции, тем самым порождающие новый класс трансцендентных функций, т и большинство дифференциальных уравнений не интегрируются в конечном виде, а их решения порождают новый еще более высокий класс трансцендентных функций. Классификация новых трансцендентных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения, и выяснение той или иной их природы есть одна из главных задач теории дифференциальных уравнений.
Уравнение Риккати
является именно таким
уравнением, в общем случае не интегрируемым
в квадратурах. Но если известно одно
частное решение
,
то заменой
уравнение Рикатти сводится к уравнению
Бернулли. Частное решение иногда можно
подобрать, исходя из вида свободного
члена уравнения.
Например, для уравнения
Частное решение будем
искать у в виде
.
Подставляя в уравнение, находим
и
.
Замена
приводит исходное уравнение к уравнению
Бернулли
.
Решая стандартными методами это уравнение, получаем общее решение
и
- особое решение, существование которого
является следствием нарушения
непрерывности в правой части уравнения
при
.
Пример 1. Найти общее решение уравнения Бернулли:
.
Решение.
Положим
.
Тогда будем иметь
.
Функцию
v(x)
найдём как частное решение уравнения
.
Имеем
.
Тогда
.
Откуда, разделяя переменные и интегрируя,
получим
.
Таким образом,
.
А общее решение уравнения будет иметь вид
.
Пример 2. Найти решение задачи Коши
+
= xy2
, y(0)=1.
Решение.
Уравнение
Бернулли будем интегрировать с помощью
подстановки
.
Тогда
.
И после подстановки первоначальное
уравнение примет вид:
+uv
= xu2v2
(8.7)
Найдем
функцию
из условия
Из общего решения выберем одно частное решение v = e-x , подставляя его в уравнение (8.7), получим уравнение относительно функции u = u(x)
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его
,
Следовательно, общее решение первоначального уравнения имеет вид
.
Для того, чтобы найти С, воспользуемся начальным условием.
Следовательно, решение задачи Коши будет иметь вид
или
.
Пример 3. Найти
общее решение уравнения
.
.
Решение.
Это – уравнение Бернулли. Проинтегрируем
его методом вариации произвольной
постоянной. Для этого интегрируем
сначала соответствующее линейное
однородное уравнение
,
решение которого
.
Ищем решение исходного уравнения Бернулли, полагая
,
.
Подстановка
и
в исходное уравнение дает
или
.
Для
определения
интегрируем
полученное уравнение
;
;
.
Следовательно общее решение будет иметь вид
