13. Уравнения Лагранжа и Клеро
Уравнением Лагранжа называют уравнение вида
у = x f ( y' )+ ( y' ).
Введением параметра р = у' уравнение Лагранжа приводится к виду
у = х f ( р )+ ( р ).
Дифференцируя по х, получим
После замены у' через р и алгебраических преобразований придем к уравнению
Это
линейное уравнение относительно х
и производной
.
Его общий интеграл имеет вид Ф
( х,
р, С
) =
0. Совместно
с уравнением
у = x f ( р )+ ( р ).
он дает общий интеграл уравнения Лагранжа. Произведенное преобразование возможно лишь, если
р – f ( р ) 0.
Корни уравнения p – f ( p ) = 0 дадут также решения уравнения Лагранжа, это особое решение, представляющее собой прямую линию. К уравнениям, не разрешенным относительно производной, приводят чаще всего различные геометрические задачи такие, как задачи об изогональных траекториях и др.
Пример 7: Найти общее решение уравнения:
Решение. Положим, что . Тогда
или
.
Продифференцировав по x, имеем
.
После несложных преобразований, подставляя , получим
,
или
Произведя
потенцирование, находим:
.
Следовательно, общее решение в
параметрической форме примет вид:
Исключим параметр t. Для этого найдем выражение
и подставим в уравнение .
Таким
образом, общее решение
.
Уравнением
Клеро
называется частный случай уравнения
Лагранжа, когда
.
Общий вид уравнения Клеро
.
Положим
.
Тогда
.
Дифференцируя по x,
получим
,
то
есть
,
откуда
следует, что либо
либо
.
Из
уравнения
получаем
.
Подставляя C
вместо p
в уравнение
,
получим общее решение уравнения Клеро
,
представляющее
собой семейство прямых. Уравнение
вместе с
дает решение уравнения Клеро в
параметрической форме:
В самом деле, из этих уравнений находим, что
,
,
откуда
.
Подстановка в уравнение Клеро приводит к тождеству
.
Исключая
из двух уравнений системы параметр p,
получим интеграл уравнения
,
в виде
.
Этот интеграл не содержит C
и, следовательно, не может быть общим
интегралом. Он не может быть также
получен их общего не при каких значениях
С, так как не является линейной функцией.
Это особый интеграл.
Пример
8. Найти общее
решение уравнения
,
где
.
Решение. Общее решение получаем непосредственно из уравнения заменой p на C:
Для
получения особого решения найдем
Система уравнений
представляет
собой особое решение в параметрической
форме. Исключим параметр p.
Для этого возведем обе части второго
уравнения в квадрат и разделим их на
соответствующие части первого уравнения;
получим
,
откуда
.
Геометрически
общее решение представляет собой
однопараметрического семейство прямых
,
а особый интеграл параболу.
Рис.6
Непосредственно из чертежа видно, что особый интеграл (парабола) оказался огибающей семейства интегральных линий (прямых), определяемых общим решением. Это свойство не случайно.
Возможность существования особых решений связана с нарушением условий теоремы Коши. Как мы знаем, выполнение этих условий гарантирует существование и единственность решений – не может быть двух различных решений, удовлетворяющих одному тому же начальному условию. Условия единственности нарушаются во всех точках линии (параболы), которая сама оказывается решением уравнения. Это решение является особым решением уравнения.