3. Определение общего, частного и особого решения

Рассмотрим задачу Коши

(3.1)

(3.2)

Определение_1. Общим решением дифференциального уравнения (3.1) называется функция

у = Ф(х,C), зависящая от одной произвольной постоянной С, такая, что

1. у = Ф(х,C) удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом С;

2. при любом начальном условии существует значение постоянной С = С_о, при котором функция у=Ф(х,C_o) удовлетворяет начальному условию .

Равенство вида Ф(у,х,C) = 0, неявно задающее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 2. Частным решением называется любая функция у = Ф ( х, С_о), получающаяся из общего решения при С = С_о.

Соотношение Ф(x, у, C_o) = 0 называется частным интегралом.

Например, общий интеграл уравнения имеет вид , частным решением данного уравнения будет функция y = ln x.

Определение 3. Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особые решения могут проходить только через те точки, где производная не ограничена. Особое решение не может быть получено из общего решения с помощью подбора числа С.

Так в примере 2 для уравнения решение является особым, и оно не может быть получено из общего ни при каком значении параметра.

Геометрически, особая интегральная кривая - это огибающая семейства интегральных кривых дифференциального уравнения, определяемого его общим интегралом, т.е. кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства.

4. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения. Метод изоклин

Рассмотрим применение геометрического подхода к построению решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнение

(4.1)

определяет в каждой точке М (x,у), где существует функция f (x,у), значение производной, то есть угловой коэффициент

касательной к единственной интегральной кривой в точке.

Если в каждой точке области D задано значение некоторой величины, то говорят, что в области D задано поле этой величины.

Таким образом, геометрическая интерпретация самого уравнения (4.1) дает поле направлений в области D, которое получается, если через каждую точку (x,у), принадлежащую области D, провести отрезок малой длины с угловым коэффициентом f(x,у). Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений. Любая интегральная кривая в каждой своей точке касается отрезка .

Задача интегрирования дифференциального уравнения (4.1) может быть теперь истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке

На рисунке (1) представлено поле направлений уравнения Риккати , решение которого не выражается через интеграл. Рисунок (1) позволяет ясно представить, как должны выглядеть интегральные кривые.

Рис.1

Задача построения интегральной кривой часто решается с помощью метода изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и тоже направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (4.1) определяется уравнением

(4.2)

где k – параметр. Строя достаточно густую сеть изоклин, т.е. давая k близкие числовые значения, мы можем достаточно точно построить интегральную кривую дифференциального уравнения (4.1) .

Замечание 1. Нулевая изоклина f (x, y) = 0 дает уравнение линий, на которых могут располагаться точки максимума и минимума интегральных кривых. Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба. Для этого находят .В силу уравнения ( 4.1) имеем

Линия, определяемая уравнением ,т.е.

и есть геометрическое место точек перегиба, если они существуют.

Замечание 2. Точки пересечения двух или нескольких изоклин являются особыми точками дифференциального уравнения (4.1), так как в них направление интегральных кривых становится неопределенным.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

.

Семейство изоклин для данного дифференциального уравнения определяется равенством . Это семейство прямых, проходящих через начало координат. В начале координат, пересекаются изоклины, отвечающие различным наклонам касательных к интегральным кривым. Не трудно убедиться, что общее решение данного уравнения имеет вид y = C x, а точка (0,0) является особой точкой дифференциального уравнения. Здесь изоклины являются интегральными кривыми уравнения (рис. 2)

y

x

o

рис. 2

Пример 2. С помощью изоклин построить приближенно интегральные кривые дифференциального уравнения

Решение. Для получения уравнения изоклин положим (k=const). Имеем или . Таким образом, изоклинами являются параллельные прямые. При k = 0 получим изоклину . Эта прямая делит плоскость XOY на две части, в каждой из которых производная имеет один и тот же знак (рис. 3).

Интегральные кривые, пересекая прямую , переходят из области убывания функции y (х) в область возрастания, и наоборот. Значит, на этой прямой находятся точки экстремума интегральных кривых, а именно, точки минимума.

Возьмем еще две изоклины:

и .

Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересечения с изоклинами k =-1 и k =1, образуют с осью OX углы в 135^о и 45^о соответственно. Найдем далее вторую производную

Прямая , на которой , является изоклиной, получаемой при k = 2, и в тоже время интегральной линией, в чем можно убедиться подстановкой в уравнение. Так как правая часть данного уравнения удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности во всей плоскости XOY, то остальные интегральные кривые не пересекают эту изоклину. Изоклина , на которой находятся точки минимума интегральных кривых, расположена над изоклиной , а поэтому интегральные кривые, проходящие ниже изоклины , не имеют точек экстремума.

Прямая делит плоскость XOY на две части, в одной из которых ( расположенной над прямой) y>0, а значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, а в другой <0 и значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вниз.

Так как интегральные кривые не пересекают прямой , то она не является геометрическим местом точек перегиба. Следовательно, интегральные кривые данного уравнения не имеют точек перегиба. Проведенное исследование позволяет нам приближенно построить семейство интегральных кривых уравнения

(рис. 3).

Рис.3

Пример 3. Для дифференциального уравнения

методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку.

Запишем уравнение в виде:

Построим поле направлений для данного дифференциального уравнения. Изоклины, соответствующие направлениям поля с угловым коэффициентом равным , есть  или , т.е. прямые, проходящие через начало координат.

Рис.4

Интегральная кривая имеет, очевидно, форму эллипса.