- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •3. Определение общего, частного и особого решения
- •4. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения. Метод изоклин
- •5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •6. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Пример 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
- •7. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к ним
- •Решение. Запишем уравнение в виде
- •Откуда, разделяя переменные
- •И, интегрируя, находим
- •Уравнение примет вид
- •Разделяем переменные, тогда
- •Интегрируя
- •8. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •Решение уравнения (8.1) находят в виде
- •Откуда, выполняя замену и интегрируя по частям, находим
- •Следовательно, общим решением будет функция
- •9. Уравнения Бернулли и Риккати
- •10. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •11. Интегрирующий множитель
- •12.Уравнения, неразрешенные относительно производной
- •Отыскание решений уравнений вида
- •1. Пусть уравнение (12.1) удается разрешить относительно производной, тогда (12.1) распадается на уравнения вида
- •13. Уравнения Лагранжа и Клеро
- •14. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
- •Интегрируя его в пределах от до тождество
- •Таким образом, удовлетворяет интегральному уравнению при
- •4.Краснов м.Л. Обыкновенные ифференциальные
- •Часть 2. «Специальные разделы математического анализа» (под редакцией а.В. Ефимова, б.П. Демидовича). М., Наука,
- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений …………………………………………………….4
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Решение. Запишем уравнение в виде
.
Так как уравнение однородное, то положим или y=ux. Тогда . Подставляя в уравнение выражение для y и , получим
.
Далее, разделяя переменные
,
и интегрируя, находим (С1 > 0) или .
Так как , то обозначая , получим , где или . Заменяя u на , будем иметь общий интеграл:
.
Отсюда, общее решение будет иметь вид: .
При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение , поэтому могли потерять решения, которые обращают в нуль его сомножители. Положим теперь x=0 и .
Но x=0 не является решением уравнения, а из второго получаем, что , откуда . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции и являются решениями уравнения.
Следовательно, функции и являются особыми решениями данного уравнения.
2. Уравнения, приводящиеся к однородным
К однородным уравнениям приводятся и уравнения вида
Если то полагая x = u+, y = v+ (постоянные и определяются из системы уравнений
получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных u и v.
При получим уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 3. Решить уравнение
. (7.1)
Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:
Определитель этой систем:
.
Следовательно, система имеет единственное решение , . Делаем замену , .
Тогда уравнение (1) примет вид
(7.2)
Уравнение (7.2) является однородным уравнением. Полагая , получим
Откуда, разделяя переменные
.
И, интегрируя, находим
;.
Возвращаясь к переменным x, y, получаем общий интеграл
.
Выполняя преобразования, окончательно, получаем
.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Система линейных алгебраических уравнений
несовместна. Определитель системы:
В этом случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения используем подстановку
.
Уравнение примет вид
Разделяем переменные, тогда
.
Интегрируя
и возвращаясь к переменным x, y, получаем общий интеграл данного уравнения
.
3.Обобщенные однородные уравнения
Уравнение
называется обобщенным однородным уравнением, если существует такое число , что левая часть уравнения становится однородной функцией от величин х, у, dx, dy, при условии, что они считаются величинами соответственно первого, m-го, нулевого и (m-1)-го измерений.
Такие уравнения можно привести к однородным заменой . Число обычно заранее не известно. Чтобы его найти, надо в уравнении приравнять измерения вех членов . Если же этого сделать нельзя, то уравнение не приводится к однородному этим способом.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Функции, стоящие перед дифференциалами должны быть однородными функциями одного порядка, поэтому для определения числа m получаем систему уравнений
,
имеющую очевидное решение .
Выполняя замену приходим к однородному уравнению
.
.
Разделяя переменные и интегрируя,
- ; ,
получаем
,
Окончательно, выполняя преобразования и возвращаясь к независимой переменной, получаем общий интеграл в виде