Пример 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение.
Введем
обозначение
.
Тогда
и исходное
уравнение преобразуется в уравнение
с разделяющимися переменными
Интегрируя
с помощью замены
и выделяя целую часть в левой части равенства
,
получаем
.
Возвращаясь к начальным переменным, получаем общий интеграл уравнения в виде
.
7. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к ним
Функция
называется однородной
функцией n-го порядка
относительно переменных х
и у,
если при любом l
справедливо тождество
.
Например,
функция
есть однородная функция второго порядка,
так как
.
1.Однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальное
уравнение
называется однородным,
если функция
есть однородная функция нулевого
порядка.
Покажем, что однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Если однородная функция нулевого порядка, то, по определению
Положив
,
получим
,
т.е. однородная функция нулевого порядка
зависит только от отношения
.
Поэтому сделаем подстановку
.
Дифференцирование
последнего равенства дает:
.
Подставляя производную в уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
,
.
Интегрируя, находим
Возвращаясь после интегрирования к исходной функции , получим общий интеграл уравнения.
Однородное дифференциальное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
.
В
этом случае функции
и
должны быть однородными функциями
одинакового порядка. Дифференциальное
уравнение переписывается в виде
,
где правая часть является однородной функцией нулевого порядка однородности.
Иными словами, дифференциальное уравнение первого порядка является однородным, если его можно привести к виду:
или
,
где
и
– однородные функции одного
порядка.
Пример 1. Найти общий интеграл уравнения
.
.
Решение.
Данное уравнение является однородным,
так как функции
и
- однородные функции второго порядка.
Положим
.
Тогда
.
Подставляем в исходное уравнение:
,
,
.
Разделяем
.
Обозначим
.
Тогда
.
Заменяя
на
,
получаем:
- общий интеграл исходного уравнения.
Особых решений нет.
Пример 2. Решить уравнение
.